Adaline的LMS算法

1、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)論實(shí)驗(yàn)報告-Adaline 的 LMS算法專 業(yè)：信息與通信工程班級： 5030 班學(xué) 號： 3115091011姓名：王 靜神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)論實(shí)驗(yàn)- Adaline 的 LMS 算法'、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、通過實(shí)驗(yàn)了解Adaline的工作原理2、對比LMS的三種算法，并通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)掌握具體實(shí)現(xiàn)方法3、與采用硬限幅函數(shù)的單個神經(jīng)元模型進(jìn)行對比，比較其異同】、實(shí)驗(yàn)原理采用硬限幅函數(shù)的單個神經(jīng)元，通過簡單的學(xué)習(xí)算法，可以成功實(shí)現(xiàn)兩類線 性可分類的分類功能。但對于大多數(shù)的非線性可分類來說，則無法完成分類功能， 為此我們轉(zhuǎn)而采用具有線性功能函數(shù)的神經(jīng)元Adaline(Adaptive Linear

2、 Elemen)方法。設(shè)輸入矢量X=?,?, ,?，加權(quán)矢量W=?,?,？?，則神經(jīng)元的輸出 可以通過下式來計算：I = WXT = XW1y= f(l) = WXT = XWT要實(shí)現(xiàn)Adaline的分類功能，按照最小二乘法的統(tǒng)計意義而言，就是要求所有樣 本的實(shí)際輸出值與理想預(yù)期值之間的誤差的均方值最小。 設(shè)輸入觀察矢量X的期望輸出是d，當(dāng)權(quán)向量為W時的實(shí)際輸出是y，定義?= ? ?考慮所有可能出現(xiàn)樣本的均方誤差： 將(1)式代入，可得:? = ?(? ?)? = ? + ?- 2?其中，？?？ ？?是輸入向量的自相關(guān)矩陣，？?？ ？?是輸入向量與期望輸出 的互相關(guān)向量。由(3)式可知必定存在

3、最佳的加權(quán)矢量？?使均方誤差達(dá)到最小， 對(3)式求梯度可得:? = 2?- 2?由(4)式可解最優(yōu)權(quán)向量:? = ?(5)式給出了求最佳加權(quán)矢量的方法，但是需要做大量的統(tǒng)計計算，而且當(dāng)輸入 矢量X的維數(shù)很大時，需要解決高階矩陣求逆的問題，這些都是非常困難的。于 是我們給出下面三種遞推求解的方法。2.1 LMS學(xué)習(xí)問題的嚴(yán)格遞推學(xué)習(xí)算法1. 任意設(shè)置初始權(quán)向量 w(o)；2. 對于每一個時序變量k，按下式調(diào)整權(quán)向量 W:W(k+ 1) = W(k) + a -?(?), ?= 1,2,(6)式的含義為，應(yīng)該向梯度的負(fù)方向調(diào)整加權(quán)向量W(k)，只要選定合適的步幅系數(shù)a就能保證學(xué)習(xí)的收斂性。求出(

4、6)式中的梯度：?= -2?(?)?(|?)(7)于是(6)式變?yōu)椋篧(k+ 1) = W(k) + 2 aE?(?)?(?)(8)用這種方法可以保證求得嚴(yán)格的最佳解， 而且避開了矩陣求逆的困難，但學(xué)習(xí)過 程中的每一步仍需完成大量的統(tǒng)計計算，統(tǒng)計計算的困難尚需解決。2.2 LMS學(xué)習(xí)問題的隨機(jī)逼近算法將(8)是修正為如下形式：W(k+ 1) = W(k) + 2a£ (k)X(k)(9)即得到隨機(jī)逼近算法，與其嚴(yán)格遞推算法的區(qū)別在于：用& (k)X(k)代替E & (k)X(k)，由此避免了統(tǒng)計計算的困難，但同時也給加權(quán)矢量的變化趨勢 帶來了隨機(jī)性。2.3 LMS學(xué)習(xí)

5、問題的基于統(tǒng)計的算法這是一種具有一定統(tǒng)計特性的學(xué)習(xí)算法 假設(shè)學(xué)習(xí)進(jìn)行到第k步時，可能出現(xiàn)的樣本有 P個，分別用？(?表示， 下標(biāo)p=1,2,表示在第k步學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)的不同樣本編號。第p個樣本的理想輸出和實(shí)際輸出分別用？?(？?和?孜?表示。我們定義“誤差平方和”J(k)如下：1?(?= ?E?(?)(10)其中 戀？ = ?(?- ?(?，?(?相對于 W的梯度為：2?(?=-初呂?(？?張?)(11)令誤差朝J(k)減小的方向調(diào)整，可得如下遞推算法：2?廠?(?+ 1) = ?(?+ -? E?(? ?i(?)(12)當(dāng)P的數(shù)量非常大，使上式右端的求和項足以代表輸入的統(tǒng)計特性時，(12

6、)式與(8)式 (嚴(yán)格遞推算法)一致，當(dāng)P取1時，(12)式與(9)式(隨機(jī)逼近算法) 一致。、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟3.1 LMS算法根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理，？?？ ？?即輸入矢量的自相關(guān)陣，可得:2.0106 1.1515 R1.1515 1.7398? ?是輸入向量與期望輸出的互相關(guān)向量，可得：P 1.1058 1.0074最佳權(quán)向量？?？ = ?，則有：W PR 10.3517 0.3463檔W=?時，均方誤差取得最小值：可得：E? ?= ?= ?- ?=0.26233.2隨機(jī)逼近算法隨機(jī)逼近算法，根據(jù)給出的權(quán)向量初始值，每步從樣本中隨機(jī)的選擇一 個，按照迭代公式(9)，計算下一步的權(quán)向量，根據(jù)計算出的

7、權(quán)向量，計算 此時系統(tǒng)的輸出矢量Y,與理想輸出比較，得到此時系統(tǒng)的均方誤差，若均 方誤差滿足要求，則迭代結(jié)束，否則再選擇樣本進(jìn)行訓(xùn)練。下圖為隨機(jī)逼近算法的簡單結(jié)構(gòu)框圖：隨機(jī)逼近算法框圖其中，步幅系數(shù)a= 0.01，加權(quán)系數(shù)的初始值選擇為 W(1)=0.1, 0.1，學(xué)習(xí) 結(jié)束的條件為隨機(jī)逼近算法的均方誤差E(?) < ? 0.001圖1 a= 0.01時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線迭代結(jié)束后，隨機(jī)逼近算法計算出的加權(quán)系數(shù)矩陣：W=0.3793, 0.3257如圖1所示為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在a= 0.01時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線，隨著 學(xué)習(xí)的進(jìn)行，均方誤差逐漸減小。但是從圖中可以看見會有

8、微小的起伏，這是因?yàn)槊恳徊郊訖?quán)系數(shù)的調(diào)整量是向所選樣本的誤差梯度的負(fù)方向調(diào)整，但是總的趨勢是誤差減小的方向，最后滿足誤差的要求。F列各圖為o取值不同時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)變化的曲線。圖3 a= 0.008時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線O.出比需5圖2 a= 0.002時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線|-| L% |i|i”j|j'i 10 sa 30 jo 50 en to somo訓(xùn)探.工欝kU -b0 25'111D510162C訓(xùn)練次救k-麵擴(kuò)L逞近諄珪旳方返歪Ernin3壬0.5苦 2口圖4 a = 0.01時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線圖5 a= 0.02時，均方

9、誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線IS機(jī)毎退宜進(jìn)，alptia=O 33 3-UO.2.6隨加世近舁忌均為氏莖Emini拒1=1運(yùn)止遠(yuǎn)越萬吐Eirnin1.5L.G門 iii一_一 0102030 in "1 e（l Hl圖6 a= 0.1時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線Uo 5qo irm 15D0 ?nm ssqd jdoo 3SC0 £DQO fitVBflE圖7 a= 0.3時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線從圖中可以看出，在a= 0.002，0.008，0.01，0.02時，學(xué)習(xí)均是收斂的,只是對于不同的步幅系數(shù)，收斂速度不同。在a = 0.02時收斂最快，在a =0.002

10、時收斂較慢，但是當(dāng)a= 0.1和a = 0.3時學(xué)習(xí)是不收斂的。原因：步幅系數(shù)影響每次對于加權(quán)系數(shù) W的調(diào)整量，因此，在步幅系數(shù)較 小時（例a= 0.002），每次學(xué)習(xí)對于加權(quán)系數(shù)的調(diào)整很小，因此訓(xùn)練的次數(shù) 較多，但是會收斂。在步幅系數(shù)較大時（例a= 0.1），每次學(xué)習(xí)對于加權(quán)系數(shù)的調(diào)整也會較大，所以，可能會出現(xiàn)這次學(xué)習(xí)之前，誤差沒有達(dá)到指定的 精度，但是學(xué)習(xí)之后，由于調(diào)整量太大而又超過了指定精度。 所以會出現(xiàn)想 圖6所示的振蕩現(xiàn)象。3.3基于統(tǒng)計的算法基于統(tǒng)計的算法，根據(jù)給出的權(quán)向量初始值，每步隨機(jī)的選擇幾個樣本，(在本次實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)的選擇 5個樣本)按照迭代公式(12)，計算下一步的 權(quán)向

11、量，根據(jù)計算出的權(quán)向量，計算出此時系統(tǒng)的輸出矢量丫，與理想輸出比較，得到此時的均方誤差，若均方誤差滿足要求，貝泄代結(jié)束，否則再選 擇樣本進(jìn)行訓(xùn)練。下圖為基于統(tǒng)計算法的簡單結(jié)構(gòu)框圖：基于統(tǒng)計的算法框圖其中，步幅系數(shù)a= 0.02，輸入矢量樣本P=5,加權(quán)系數(shù)的初始值選擇為 W(1)=0.1,0.1，學(xué)習(xí)結(jié)束的條件為此算法的均方誤差E(?) < ? 0.0010.5越U4OIXn ?圖8P=5時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線q1f縣于統(tǒng)計鼻法命涉逞型015I荃于坑計豈法，Z165迭代結(jié)束后，基于統(tǒng)計的算法計算出的加權(quán)系數(shù)矩陣為：W=0.3283, 0.3506如圖8所示為基于統(tǒng)計的算法的實(shí)驗(yàn)

12、結(jié)果。 在P=5時，隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)行，均方誤 差逐漸減小。與隨機(jī)逼近算法一樣，圖中可以看出在逼近過程中會有微小的起伏， 這是因?yàn)槊恳徊郊訖?quán)系數(shù)的調(diào)整量是向所選5個樣本的誤差平方和的梯度的負(fù)方向調(diào)整。但是總的趨勢是誤差減小的方向，最后滿足誤差的要求。下列各圖為P取值不同時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)變化的曲線。圖9P=2時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線縣于貌計聲法戶包.6S0.50 553 50 45|： 3S0 i0 如0 >1Q EflOIDOL I2DD bKQ19J0圖10P=50時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線從圖中可以看出在合適的步幅系數(shù) a= 0.02時，學(xué)習(xí)過程均是收斂的，隨著 P取

13、 值的不同，訓(xùn)練次數(shù)不同。P取值越大，每步調(diào)整的加權(quán)系數(shù) W越精確，所以 訓(xùn)練的次數(shù)應(yīng)該越小。但是我的實(shí)驗(yàn)中，在P=50時，雖然收斂的效果很好，但是訓(xùn)練次數(shù)太多。3.4 Widrow嚴(yán)格遞推算法Widrow嚴(yán)格遞推算法，與前兩種方法不同的是，每一步調(diào)整都是利用 所有的樣本，計算其理想輸出與實(shí)際輸出的誤差， 權(quán)向量向誤差梯度的負(fù)方 向調(diào)整。即每一步利用所有的樣本計算調(diào)整量，根據(jù)給出的權(quán)向量初始值， 按照迭代公式(8)，計算下一步的權(quán)向量，再計算此時系統(tǒng)的輸出矢量丫，與理想輸出比較，得到此時系統(tǒng)的均方誤差，若均方誤差滿足要求，則迭代結(jié) 束，否則選擇樣本進(jìn)行訓(xùn)練。下圖為Widrow嚴(yán)格遞推算法的簡單

14、結(jié)構(gòu)框圖：所有的輸入矢量計算 E( ?) = ?(? ?2E(?)- ?> 0.001Widrow嚴(yán)格遞推算法框圖其中，步幅系數(shù)a= 0.02，加權(quán)系數(shù)的初始值選擇為W(1)=0.1，0.1，學(xué)習(xí)結(jié)束的條件為此算法的均方誤差E(?) < ? 0.001溫draw的嚴(yán)格攔堆 lEnw1015200135O2ft圖11 a = 0.02時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化迭代結(jié)束后，Widrow嚴(yán)格遞推算法計算出的加權(quán)系數(shù)矩陣:W=0.3454, 0.3296如圖11所示，為a= 0.02時，Widrow的嚴(yán)格遞推算法計算的系統(tǒng)的均方誤差隨 訓(xùn)練次數(shù)的變化情況，從圖中可以看見，因?yàn)榇怂惴看螌?/p>

15、于加權(quán)系數(shù)的調(diào)整是 利用所有的輸入矢量，即向系統(tǒng)的均方誤差減小的方向調(diào)整， 所以迭代次數(shù)比起 另外兩種方法少很多。而且均方誤差隨著訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線是一直減小的，因?yàn)槊恳徊接嬎愕木秸`差也是系統(tǒng)的均方誤差。圖12 a = 0.02時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化圖13 a= 0.05時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化S-33ITIITII032-uiL ff z92B-坤100030007000MOO3X04000H斗3；班圖14 a = 0.1時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲圖15 a= 0.35時，均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化網(wǎng)桁-W丁叢 如己叫«?嚴(yán)怡芯, *b=o.osis irrraiQW

16、rJ 嚴(yán) EmniH 44ErnmO.fl>0.42I0刖L L0 3-jMJ 0149-ET0.4-0.35M5-Q3S3g-r"JjQ. JO-21415W153Q75如上圖所示為a取不同的值的時候，系統(tǒng)均方誤差隨訓(xùn)練次數(shù)的變化曲線，步幅 系數(shù)o影響每一次加權(quán)系數(shù)的調(diào)整量。從圖中可以看見當(dāng) 取 0.02, 0.05, 0.1時, 迭代均是收斂的，而且a越大，收斂的越快，訓(xùn)練次數(shù)越少。但是當(dāng)a過大時，像實(shí)驗(yàn)中的a= 0.35迭代不收斂。3.5檢驗(yàn)本實(shí)驗(yàn)在檢驗(yàn)時，對于用于測試的200個樣本，按照三種方法計算出的加權(quán) 系數(shù)分別計算其對應(yīng)的實(shí)際輸出，再與理想輸出對比，確定分類是否正

17、確。其中確定錯誤分類的個數(shù)時，用每一個樣本的實(shí)際輸出與對應(yīng)的理想輸出相 乘，結(jié)果為正則分類正確，結(jié)果為負(fù)則分類錯誤。下面為三種方法分類的結(jié)果算法加權(quán)系數(shù)錯誤個數(shù)正確率（%）隨機(jī)逼近算法W=0.3793, 0.3257995.5基于統(tǒng)計的算法W=0.3283, 0.3506995.5WidrowW=0.3454，0.32961095四、實(shí)驗(yàn)總結(jié)與思考4.1實(shí)驗(yàn)總結(jié)本次實(shí)驗(yàn)，由于我對MATLAB掌握的不是很好，所以剛開始在編程方面有一 點(diǎn)困難，但是在理解了整體的思想和學(xué)習(xí)之后，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。三種方法實(shí)質(zhì)上就是運(yùn)用不同的方法計算加權(quán)系數(shù) W，隨機(jī)逼近算法每次隨機(jī)的選擇一個樣本進(jìn) 行調(diào)整，基于統(tǒng)計的算法

18、每次選擇 P個樣本進(jìn)行調(diào)整，Widrow嚴(yán)格遞推算法每 次用所有的輸入矢量進(jìn)行調(diào)整。所以 Widrow嚴(yán)格遞推算法最快，因?yàn)樗看握{(diào) 整的方向都是向系統(tǒng)誤差減小的方向調(diào)整。算出加權(quán)系數(shù)W之后，接下來三種方法都一樣，就是根據(jù)W計算實(shí)際輸出， 再計算均方誤差，根據(jù)誤差精度的要求確定迭代是否結(jié)束。問題：在基于統(tǒng)計的算法中，隨著P的增加，應(yīng)該訓(xùn)練次數(shù)減少，但是在我 的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)P=50時，雖然收斂結(jié)果很好，但是訓(xùn)練次數(shù)太多。比 P=5的時候 還多。4.2實(shí)驗(yàn)思考題1、 如果想采用硬限幅函數(shù)的單個神經(jīng)元完成該分類任務(wù)，會出現(xiàn)什么樣的現(xiàn)象？可能結(jié)果會不收斂，因?yàn)椴捎糜蚕薹瘮?shù)的單個神經(jīng)元只能完成線性可分類

19、 問題，但是對于非線性的分類問題可能結(jié)果會不收斂。2、通過觀察比較隨機(jī)逼近算法與不同 P時最陡下降算法的均方誤差曲線隨 時序變量k的變化有什么不同，并簡要解釋原因。隨機(jī)逼近算法與基于統(tǒng)計的算法都是利用少量的樣本進(jìn)行加權(quán)系數(shù)的計算，每次調(diào)整都是向所選樣本誤差減小的方向調(diào)整，所以誤差曲線都有微小的波動。但是基于統(tǒng)計的算法隨著樣本 P的增加，其誤差曲線趨近平滑， 因?yàn)樗x樣本越多，越能反映總體的誤差情況。五、代碼5.1 LMS算法計算輸入矢量的自相關(guān)矩陣 R,矩陣P,最佳權(quán)向量W*和最小均方誤差Eminclose allclearload(9 E:、諜程神徑網(wǎng)絡(luò) I 實(shí)號'實(shí)m.ineV ,

20、 str cat C lns_saip') ) :%加載數(shù)據(jù)X=samp (:, 1： 2):嚅輸入矢重X為亙前兩列d-sanLpf .3) A理想輸出為第三列Rsun=zF05(2):E.S.UJfzerostL, 2):ELsun-X3 :R=R_sun./200R=EfX' 痕P-.suni=d3 :tP_ sun為肯葡出與對應(yīng)輸入的乗租P*P_Eun. /200.f-P+R"(-l)計算最佳權(quán)向里d2=d. ' 2 :Ed2-sun(d2)/200;En)i.n=Ed2-P*V :魯小均方罠差5.2隨機(jī)逼近算法close all門旨曲leBdC'

21、; E : 1 課程l祁經(jīng)網(wǎng)搐實(shí)XB-ineX1 , streat C lns_sanip，)當(dāng)加載數(shù)據(jù)aIpha=0* 01;餐I；E-EI：%K . E分別為最后顯示時迭代的次戲和每步的均方誤差柜時1=1：ki-ro.Lo. 1:弔加収系數(shù)的初始值題目要求誤差不鉛過E.nt+a OCH,所以B=ERROR-EniTi<=Ci. 001F-tfhile(m>0- 001)n隨機(jī)的抽職一個ir=raridL (size(saiiip31):巾椅潔一個隨機(jī)眾nt=samp(n, :;Sj0SP saiap 的 chri 行x-b(: ,1：2) :丫輸入矢里X為亙前兩列d-b(:,

22、3) D這個X的理想輔出為第三列«用一個隨機(jī)矢塑K計算咖權(quán)系麹曽 yk>=lt*x,:A W =d-y U：J ;S k+L =1 (!<+2*:alpha»e ft) tx ;S由一個甌機(jī)SS入計算的加權(quán)系嫌迭代公式 n 計算當(dāng)前丑對應(yīng)的總的均方誤差A(yù)-samp : n 1: 2）匚輸入矢里D=samp（:, 3）沁理想輸出T=Wk+l*X,:方實(shí)際輸出ERROR_sum=sunC（I-r）, "2）:EREOR=E KROR_suh/200 ;衍均 方溟差b）»ERROR-0- 2623：K（k"k：E（k）=ERK0h:lt=

23、k+L:丈nd曲L 口；E=CO- 2623 0. 2623瑪顯亍最小的均方誤Emin plot （K| E»A, G .Legend（'帯機(jī)謂近直迭均方誤差.,'Emm' :titL&（'逼近JJ法* alphas0. 01r ）;MlabH 訓(xùn)練次敎h ）:ylabel（,均方誤差）:5.3基于統(tǒng)計的算法close allclearload(3 E: 課翟、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)騎褻監(jiān)*uib, strcat C 1b3_3st ) J )厲加養(yǎng)觀擁K-tl：E=：:血、E分別対最啟顯示時迭代的次救和每歩的均方誤差矩陣alpha=0. Q2;k-1：W

24、(M=£0,1, 0.1；詹加權(quán)素徽的初整HI?=1 ；*按照題目要求誤差不蠱過EnirrW. 001,所以rEREOR-Eiir.O. 101Fibile(a>0. 00111得至希個協(xié)機(jī)樣本n=ranii(5anp» I".):勺恂世一牛隨機(jī)數(shù)匕if n<5nit+5;else if n>19?r._n-D;endend b囲為要取5個樣本誼個觀厚冥現(xiàn)時是咅生一個暄機(jī)埶兀取從第iv-棄苗的連續(xù)弓個作詢樣本醫(yī)就要區(qū)免和21妬肘的情驍 b=saap (n:n+4f:)汁取從吐開始的呂個乍為樣本x=b(:,l 2)理輸入矢敷為其前兩列d=b(：,3

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