山東科技大學(xué)概率論期末試題

1、山東科技大學(xué)20112012學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（A卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三總得分評卷人審核人得分一、計算題（共18分）1、(6分)設(shè)隨機(jī)事件及的概率分別為及，計算（1） (2) 2、（6分）甲、乙兩人獨立的對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.5和0.4，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是乙射中的概率是多少？3、（6分）甲, 乙兩部機(jī)器制造大量的同一種機(jī)器零件, 根據(jù)長期資料總結(jié), 甲機(jī)器制造出的零件廢品率為1%, 乙機(jī)器制造出的廢品率為2%, 甲機(jī)器生產(chǎn)的零件是乙機(jī)器生產(chǎn)的兩倍，今從該批零件中任意取出一件, 經(jīng)檢查恰好是廢品, 試由此檢查結(jié)果計算這批零件為甲機(jī)器制造的概率。二

2、、解答題（共64分）1、（8分）設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，計算（1）求常數(shù)的值； （2）求隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （3）計算。2、（10分）二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，求（1）常數(shù)K； （2）的邊緣密度函數(shù)； （3）計算。3、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為問與是否獨立？是否不相關(guān)？4、（8分）設(shè)與獨立同分布，且求的概率密度。5、（10分）用兩種工藝生產(chǎn)的某種電子元件的抗擊穿強(qiáng)度為隨機(jī)變量，分布分別為和（單位：V）.某日分別抽取9只和6只樣品，測得抗擊穿強(qiáng)度數(shù)據(jù)分別為和并算得（1） 檢驗的方差有無明顯差異（取）.（2） 利用(1)的結(jié)果，求的置信度為0.95的置信區(qū)間.6、（10分）設(shè)是

3、取自總體X的一個樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其中未知，求的矩估計與最大似然估計，如得到一組樣本觀測值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計值與最大似然估計值。7、（8分）一加法器同時收到20個噪聲電壓 ，設(shè)它們是相互獨立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布。記，求的近似值。三、證明題（共18分）1、（6分）設(shè)隨機(jī)變量,證明.2、（6分）設(shè)為總體的樣本，證明都是總體均值的無偏估計，并進(jìn)一步判斷哪一個估計有效。3、（6分）設(shè)是獨立且服從相同分布的隨機(jī)變量，且每一個都服從。試給出常數(shù)，使得服從分布，并指出它的自由度附表： 山東科技大學(xué)20092010學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計

4、考試試卷（A卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三總得分評卷人審核人得分一、填空題（每空2分，共26分）1設(shè),為隨機(jī)事件，且, , 若事件與互斥, 則= ；若事件與獨立，則= 。2若, , 則 。3 均勻正八面體兩個面涂紅色，兩個面涂白色，四個面涂黑色，分別用、和 表示擲一次該正八面體，朝下的一面為紅色、黑色和白色，則分布函數(shù)為_，的分布列為 。4設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則= ， 處的條件為 ； 處的條件為 。5設(shè)，均服從正態(tài)分布，與的相關(guān)系數(shù)為0，則 ；方差 。6設(shè)總體均服從 分布且 來自總體的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計量服從 分布；服從 分布；服從 分布。二、選擇題（每題3分，共18分）1若用事

5、件表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷”，則事件表示（ ）。 甲產(chǎn)品滯銷，乙產(chǎn)品暢銷； . 甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷；. 甲產(chǎn)品滯銷； 甲產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品暢銷2設(shè)兩事件與滿足P(B|A)=1, ，則（ ）正確。. 是必然事件； . ；. AB ； . 3設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布，XN(,16)，YN(,25),記PX-4=,PY+5=, 則（ ）正確。. 只對的個別值才有 =； . 對任意實數(shù)，均有；. 對任意實數(shù)，均有=； . 對任意實數(shù)，均有4設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，存在。若令， ，則的值分別為. 1, ； . 0.5, ； . 1, ； . 1, 0.55若，則（）正確。； ；與獨立； 與

6、不獨立.6由來自正態(tài)總體，容量為的簡單隨機(jī)樣本，得到樣本方差，則未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為（）。(已知). ； . ； . ； . 三、計算與證明題（1、2、3、5題每題10分，4題16分，共56分）1設(shè)考生的報名表來自三個地區(qū)，分別有10份，15份，25份，其中女生的分別為3份，7份，5份。隨機(jī)地選一地區(qū)，然后從選出的地區(qū)先后任取兩份報名表， (1) 求先取的那份報名表是女生的概率； (2) 已知后取到的報名表是男生的，求先取的那份報名表是女生的概率。2設(shè)的聯(lián)合密度為 （1）求和的邊緣密度函數(shù)； （2）求概率.3設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求（1）的概率密度函數(shù)； （2

7、）的概率密度函數(shù)。4設(shè)總體（U為均勻分布），來自總體的樣本為（1）證明的矩估計量和極大似然估計量；（2）證明的密度函數(shù)為；（3）令證明與均是的無偏估計；并比較與的有效性。5. 某工廠采用新法處理廢水，對處理后的水測量所含某種有毒物質(zhì)的濃度，得到10個數(shù)據(jù)：22，14，17，13，21，16，15，16，19，18. （單位：mg/L）而以往用老方法處理廢水后，該種有毒物質(zhì)的平均濃度為19. 欲檢驗新方法是否比老法效果好，假設(shè)檢驗水平 有毒物質(zhì)濃度 （1）證明在顯著性水平下，假設(shè)檢驗的一個拒絕域為；（2）顯著性水平下，能否認(rèn)為新方法是否比老法效果好？ （）山東科技大學(xué)20092010學(xué)年第二學(xué)期

8、概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（B卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三總得分評卷人審核人得分一、填空題（每空2分，共24分）1若在區(qū)間（0，1）內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)和，則的分布密度函數(shù)為 ；事件“這兩數(shù)之和小于”的概率為 。2設(shè)隨機(jī)事件,滿足，則， 。3設(shè)兩隨機(jī)變量與的方差分別是4和9 ，相關(guān)系數(shù)為0.5，則 ， 。4設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為： 且，則。5設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，存在。若令，則 ， 。（已知）6設(shè)總體X服從正態(tài)分布，而是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，則 服從 分布；服從 分布。二、選擇題（每題3分，共18分）1袋中有5個球（3個新球2個舊球）每次取一個，無放回地取兩次，則第二次取到新球的

9、概率是（ ） (A)； (B)； (C) ； (D)。2設(shè)兩事件與互斥，且P（A）0，P（B）0，則（ ）正確（A）與互斥 （B） 與互不相容（C） P（AB）=P（A）P（B） （D） P（A-B）=P（A）3已知隨機(jī)變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)的值可取為（ ）。 （）； （）；（）； （）。4設(shè)隨機(jī)變量，則隨的增大，概率應(yīng)（ ）(A) 單調(diào)增大； (B) 單調(diào)減小； (C) 保持不變； (D) 增減不定。5若隨機(jī)變量和的協(xié)方差等于0，則以下結(jié)論正確的是（ ）。 （）和相互獨立； （）； （）； （）。6設(shè)總體，據(jù)來自的容量為的簡單隨機(jī)樣本，測得均值為，則的置信度等于的置信區(qū)間為（

10、）。() (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。三、計算與證明題（1題10分，2、3、4、 5題每題12分，共58）1某工廠生產(chǎn)的機(jī)床包括車床、鉆床、磨床、刨床，它們的臺數(shù)之比為9:3:2:1，在使用期間每臺車床、鉆床、磨床、刨床需要修理的概率分別為0.1、0.2、0.3、0.1。（1）任取一臺機(jī)床，求它在使用期間需要修理的概率；（2）當(dāng)有一臺機(jī)床需要修理時，問這臺機(jī)床是車床的概率是多少？ 2設(shè)隨機(jī)變量與獨立，均服從，試求和的分布密度函數(shù)。3設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求：（1）常數(shù)；（2）邊際分布；（3）判斷與是否相互獨立.4 設(shè)總體，其中為未知參數(shù)，為樣本，求的矩估計和極大似然估計，并驗

11、證所求矩估計的無偏性。5某部門對當(dāng)前雞蛋價格是否存在較大波動進(jìn)行市場調(diào)查，假設(shè)設(shè)雞蛋價格（單位：元/斤）服從正態(tài)分布，即，根據(jù)過去統(tǒng)計，雞蛋價格標(biāo)準(zhǔn)差，現(xiàn)抽查個市場，得樣本方差的觀測值為，（1）證明在顯著性水平下，假設(shè)檢驗的一個拒絕域為（2）若，和，則在顯著性水平下，能否認(rèn)為雞蛋價格存在較大波動？ (，)山東科技大學(xué)20102011 學(xué)年第 一 學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（B卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三四五六七八總得分評卷人審核人得分一、填空題（每題5分，共15分）1、設(shè)相互獨立，若，且，則_。2、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令，則_。3、設(shè)，其中是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，為使

12、分布，則_，_。二、選擇題（每題5分，共15分）1、設(shè)分別為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，應(yīng)取下列何值。、 ，、 ， 、 ， 、。 答（ ）2、設(shè)隨機(jī)變量，且，相互獨立，若令，則下列結(jié)論正確的是：、，、，、，、。答（ ）3、設(shè)總體，是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，為使是的無偏估計量，則的值為：、 ， 、 ， 、， 、。 答（ ）三、（10分）三個人獨立破譯一份密碼，已知各人能破譯出的概率分別為0.4，0.5，0.7，試求：（1）三人中恰有一人能破譯出密碼的概率；（2）至少有一人能破譯出密碼的概率。四、（10分）設(shè)隨機(jī)變量，試求的概率密度函數(shù)。1/81/81/81/81/81/81

13、/81/8五、（12分）設(shè)二維隨機(jī)變量的分布率為求：（1）、；（2）； （3）；（4）判斷是否相互獨立，并說明原因。六、（16分）設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 ，求：（1）常數(shù)；（2）關(guān)于的邊緣密度函數(shù)；（3）是否相互獨立； （4）的密度函數(shù)。七、（12分）已知總體的概率密度為 ，其中已知，為未知參數(shù)，為來自的一個樣本，為相應(yīng)的樣本值。求未知參數(shù)的最大似然估計量與最大似然估計值。八、（10分）根據(jù)長期的經(jīng)驗，某工廠生產(chǎn)的特種金屬絲的折斷力（單位：kg）. 已知 kg， 現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一大批特種金屬絲中隨機(jī)抽取10個樣品，測得樣本均值 kg. 問這批特種金屬絲的平均折斷力可否認(rèn)為是570 kg

14、 ？ （）附表：山東科技大學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（A卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三四五總得分評卷人得分一、填空題（每小題5分，共15分）1、設(shè)，則 。2、設(shè)，且與獨立，則 。3、設(shè)滿足，則由契比雪夫不等式有 。二、單項選擇題（每小題5分，共15分）1、設(shè)隨機(jī)變量，則方程沒有實根的概率為（ ）。； ； ； 。2、設(shè)總體，其中均未知。現(xiàn)隨機(jī)抽取樣本容量為16的一個樣本，算得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，則的置信水平為0.90的置信區(qū)間是（ ）。 3、與相互獨立，則 ； ； ； 。三、計算題（每小題10分，共30分）1、某倉庫有同種產(chǎn)品6箱，其中3箱、2箱、1箱依次是由甲、

15、乙、丙廠生產(chǎn)的，三廠的次品率分別為，現(xiàn)從6箱中任取一箱，再從取得的一箱中任取一件產(chǎn)品，試求：（1）取得的產(chǎn)品是次品的概率；（2）若已知取得的是一件次品，試求是丙廠生產(chǎn)的概率。 2、已知隨機(jī)變量，令，試求：（1）；（2）；（3）。3、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為， 試求：（1）的分布函數(shù)；（2）；（3）。四、解答題（共34分）1、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為， 試求：（1）常數(shù)；（2）邊緣概率密度和，并判斷是否獨立？（3）。2、（10分）已知總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即概率密度 ，其中未知參數(shù)，設(shè)為樣本，試求：（1）的矩估計量；（2）的最大似然估計量。3、（6分）已知隨機(jī)變量服從上的均勻分布，試求

16、的概率密度。4、（8分）一批燈泡的壽命，其中與未知。今隨機(jī)抽取6只，算得樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差。在顯著性水平下，檢驗是否等于520？（附表，）五、證明題（6分）設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，,證明：是的無偏估計量。山東科技大學(xué)20112012學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（A卷）班級 姓名 學(xué)號 題號一二三總得分評卷人審核人得分一、填空題（每題5分，共30分）1已知事件相互獨立，且，_ 0.7_。2設(shè)是來自正態(tài)總體的一組樣本，則分布參數(shù)的一個置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間為_。3設(shè)某電子元件的使用壽命(單位：小時)是一個隨機(jī)變量，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則這種電子元件的使用壽命在1200小時以上

17、的概率為_。注：指數(shù)分布的概率密度為4設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從參數(shù)為3的泊松分布，則_9D(x)+4D(y)=21_。5. 設(shè)是來自總體的一組樣本，統(tǒng)計量服從的抽樣分布為_F（1，1）_ F（n，1）_?_。6口袋中有六個球，球上分別標(biāo)有數(shù)字：-3，-3，-1，1，1，2，任取 一個球，用表示取出的球上的數(shù)字，則=_-0.5_。二、計算題（每題10分，共50分）1. 甲盒內(nèi)裝有2個紅球3個黑球；乙盒內(nèi)裝有3個紅球2個黑球；丙盒裝有3個紅球3個黑球；丁盒中4個紅球1個黑球。設(shè)到4個盒子取球的機(jī)會相等，從中任取一球，求(1) 取到紅球的概率；全概率公式(2) 已知取出的球是紅球

18、，問其來自于乙盒的概率。P（B/A）=P（AB）/P(A)2. 袋子中有6個球，其中紅、白、黑球各有1、2、3個，從中任取2個球。假設(shè)取到每個球的可能性都相同，取到紅球的個數(shù)記為，取到白球的個數(shù)記為，試求隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律，并求Cov(X，Y)。3. 設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，且,試求：E(X)= xf（x）dx(1) 參數(shù)的值；(2)隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；(3)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 4. 設(shè)隨機(jī)變量與獨立同分布于參數(shù)為的指數(shù)分布，求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。；5. 設(shè)隨機(jī)變量與獨立，均服從區(qū)間上的均勻分布，求概率。三、解答題（每題10分，共20分）1. 設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，

19、是來自總體的一個樣本，為其樣本觀測值，試求分布參數(shù)的最大似然估計量。2. 已知某機(jī)器包裝的每袋糖果重量服從正態(tài)分布，機(jī)器正常情況下，包裝的每袋糖果重量的均值為500克?，F(xiàn)隨機(jī)抽取了9袋糖果，測得樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（單位：克）。試在顯著性水平下，判定機(jī)器是否運(yùn)轉(zhuǎn)正常。山東科技大學(xué)20112012學(xué)年第一學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（A卷答案）一、 計算題（共18分）1、(6分) 2、（6分） 記=甲射擊，=乙射擊，=擊中目標(biāo)則由全概率公式 故，由貝葉斯公式 3、（6分）解: 設(shè)A為零件由甲機(jī)器制造, 則為零件由乙機(jī)器制造, A與構(gòu)成完備事件組. 由P(A+)=P(A)+P()=1并由題

20、意知P()=2P(A), 得P(A)=1/3, P()=2/3.設(shè)B為零件為廢品, 則由題意知P(B|A)=0.01, P(B|)=0.02, 則根據(jù)貝葉斯公式, 任抽一件檢查為廢品條件下零件由甲機(jī)器制造的概率為二、 解答題（共64分）1、（8分）解：（1）由于 故（2） （3）2、（10分） （1）由于 故。（2）當(dāng)時，同理， 當(dāng)時，（3）3、（10分）解：。同理，。由于，所以與不相互獨立。又因關(guān)于或關(guān)于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關(guān)。4、（8分）解：由卷積公式得要使被積函數(shù)不等于零，應(yīng)有：即 （2分） 畫出區(qū)域（2分）當(dāng)，；（2分）當(dāng)，；（2分）當(dāng)，。（2分）；（5分）5、（10分）解：

21、 (1) 選檢驗，在成立條件下，此檢驗法的否定域為查分布表，得 算值，不在否定域.故接受，認(rèn)為的方差無明顯差異.（2）利用（1）的結(jié)果，但未知，故選隨機(jī)變量 記其的置信區(qū)間為由觀測值計算 查分布表，得的95的置信區(qū)間為 6、（10分）解  ，故的矩估計量。由樣本觀測值可算得另，X的分布律為故似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計量，故的最大似然估計值。7、（8分）解：，由定理1，得 即有 三、 證明題（共18分）1、（6分）證明：，由于，故也服從正態(tài)分布，又，故2、（6分）證明：由于 故，都是總體均值的無偏估計。又 ，故比有效。3、（6分）由題意，且相互獨立，故，因此，當(dāng)時，服從

22、分布，自由度為2.山東科技大學(xué)20092010學(xué)年第 二 學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷(A卷)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題（每題5分，共15分）1、； 2、12.6； 3、二、選擇題（每題5分，共15分）1、B； 2、A； 3、D三、（42分）1、（10分）解：設(shè)“患有該病”為事件,“檢驗結(jié)果是陽性”為事件，由題意.4分由全概率公式. 7分 由貝葉斯公式. 10分2、（12分）解：(1) ，. 2分 （2），.顯然有，所以相互獨立. 7分 （3）相互獨立，所以. 9分 （4）. 12分3、（10分）解：（1）和的邊緣分布分別為：1230.40.20.4-1010.30.40.3 ； ； .類似

23、得. 6分 （3）； ； . 8分（4）. 10分4、（10分）解：記的分布函數(shù)為，6分所以. 10分四、（22分）1、（12分）解： 由得的矩估計量為. 6分構(gòu)造似然函數(shù), 建立方程解得的最大似然估計量為. 12分2、（10分）解：由題意需檢驗 3分檢驗統(tǒng)計量 5分 拒絕域為 7分計算得，檢測觀測值， 9分故接受原假設(shè)，即認(rèn)為該種鋼筋的強(qiáng)度為520. 10分五、（6分）證明：因為，而， 3分所以.6分山東科技大學(xué)20102011學(xué)年第 一 學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（A卷）答案一、填空題（每題5分，共20分）1、 ； 2、32； 3、3； 4、 二、選擇題（每題5分，共15分）1、； 2、

24、； 3、三、1、（10分）解： 2分 當(dāng)時，4分 6分 8分所以 10分取值-101概率3/82/83/82、（10分）解：（1）的邊緣分布率均為取值01概率2/86/8 的分布率均為 6分（2）取值-101概率2/84/82/8 隨機(jī)變量的分布率為 8分 （3） 10分3、（15分）解：（1） 1分 2分 (2)當(dāng)時， 5分當(dāng)時， 8分（3）,所以 相互獨立 10分（4）當(dāng)時， 13分 故 15分 4、（10分）解：似然函數(shù) 2分 6分由，可得最大似然估計值為；8分最大似然估計量為 10分四、（每題10分，共20分）1、(1)解：設(shè)分別表示一箱商品中有0、1、2個次品，則 2分 設(shè)表示顧客買下這箱商品，則, 6分 8分(2) 10分2、解：要檢驗的假設(shè)為 2分檢驗用的統(tǒng)計量 4分 拒絕域為 6分，落在拒絕域內(nèi) 8分 故拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為平均折斷力為570 kg . 10分山東科技大學(xué)20102011學(xué)年第 一 學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試試卷（B卷）答案一、填空題（每題5分，共15分）1、 ； 2、4； 3、 二、選擇題（每題5分，共15分）1、； 2、； 3、三、（10分）解：設(shè)表示第個人能破譯密碼，則 恰有一人能破譯出密碼 2分 4分 5分至少有一人能破譯出密碼 7分 9分 10分四、（10分）解： 2分 當(dāng)時，4分