電磁波群速度與相速度原理

1、電子信息工程學院 Quency Chen1.相速度與群速度如果只考慮均勻介質(zhì)中的小幅度的波，可利用描述介質(zhì)的方程和 麥克斯韋方程得到一常系數(shù)方程組，求解可得到解為:exp(jk r j t) (1)的解其中k為波矢量，r為空間位置矢量，3為角頻率。式(1)中的3 和k滿足:F (k , ) 0 (2)的關(guān)系，這個關(guān)系只與介質(zhì)的特性有關(guān)，稱為色散關(guān)系。式(1)描述的電磁波，3表征波的時間變化，波矢量k描述波的空 間變化。式(3)中入為波長，因此波矢量k=1/入表示單位距離有多少個波，即 波的數(shù)量，然后再乘以2n表示單位距離內(nèi)波的總相位，若把空間相 位變化2n相當于一個全波，則k表示單位距離內(nèi)全波

2、的數(shù)目，k也 被稱為電磁波的相位常數(shù)，因為它表示傳播方向上波行進單位距離時 相位變化的大小，注意這里相位單位為弧度制。將(1)式變形為:expjk (r r) j (t t)若滿足k r t 0 (5),則式(4)和式一樣，這說明在空間距離延長 r的位置處，若在時間 上也滯后 t則信號相位與r處t時刻的相位保持一致。這說明r處的 波相位在 t時間后傳播到r+ r處，因此將式(5)變形可得到V k 十(6),表示波的相速度由角頻率和波矢量共同決定。在真空中電磁波的相速 度為C。折射指數(shù)n定義為:由于介質(zhì)中電波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速, 所以折射指數(shù)也可能大于1也可能小于1。如

3、果限制3是實數(shù)，若有一解，使得 k和n也是實數(shù)，則代表無 衰減的波傳播。若k和n為純虛數(shù)，則相應的波是消散波。波場強度 隨距離指數(shù)地減小。如果將介質(zhì)等效為阻抗負載，則實數(shù)負載代表介 質(zhì)從輸入端口全部吸收能量，然后又從輸出端口全部放出能量， 類似 傳輸線特性；如果負載為虛數(shù)，則代表負載從輸入端口全部吸收能量 后，又從輸入端口全部釋放出去，因此電波就不能傳播，只能到達一 定的深度后就反射出去了，類似界面反射。如果k和n即有實部又有 虛部，則波的傳播伴隨著衰減(或增長)。如果3和k是實數(shù)，且是常數(shù)，則上述平面波將充滿整個空間。波的相速度可以遠大于光速，這時波的傳播既不輸送任何能量， 也不傳送任何信息

4、。實際上對于穩(wěn)定的單頻單色波，根本沒有傳輸?shù)母拍? 要利用電磁波來傳輸信息，本質(zhì)上是傳送變化量，而且變化量必須要 有帶寬，不可能是單色單頻信號。這與“ Sha nnon定律”是一致的, 因此要研究信息傳遞的速度，必須要研究有一定帶寬的波包的傳遞速 度。即群速度。根據(jù)傅里葉變換的方法可以將波包看做單色波的疊加，波包的傳 播表現(xiàn)為單色波振幅和相位疊加效應的傳播， 而不是單色波的相位傳播。所以波包的傳播速度被定義為等幅面的傳播速度，即群速度。這里先考慮最簡單的情況,兩個等幅度，相位和頻率有一定偏差的雙頻信號E(r,t) Aej(kk)r)t Aej(k k)r ()t (8)利用三角公式cosaco

5、sbsinasinbc 月 b、，a b、2cos() cos()2 2 a b a b 2sin()cos()可以將式(8)轉(zhuǎn)換為:E(r,t) 2Acos(kr t)ej(kr t) (9)如果只考慮包絡2A cos( krt)等幅度面的傳播，設波包包絡在t時間移動了 r距離。注意不是單頻波相位移動的距離和時間。k(r r) (t t)kr trVg -匸(10)若介質(zhì)沒有色散效應,則群速度與相速度一致。如真空中電磁波傳播速度恒等于c -,因此c C 。kk k k kk若介質(zhì)存在色散效應，即，則群速度不等于相速度。k k k k這里還要注意一個問題就是式(9)波包傳播時，兩個正弦波合成后

6、的相位因子ej(krt)的傳播并不與波包包絡一致，我一開始就是因為這個概念弄錯了，所以一直不能正確理解和計算，花了半天時間才想 明白這個問題。2圖 1 群速度二相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)2圖 2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是從最簡單的雙頻正弦波疊加來討論波包的概念。式(9)中的 包絡與后面的相位因子是無關(guān)的，后面的相位因子類似調(diào)制中的載 波。波包在傳遞過程中保持不變。也只有這樣才能認為波包在穩(wěn)定傳2據(jù)式(10)則可以得到3個群速度VG12 VG23 VG31若這3個群速播。如果考慮有3個單頻波，分別為s1,s2和S3,則利用公式(8)可 得到s12,s23,s31三個子波包?？偟牟ò鼊t等于(s12 s23 s31)，根度不相等，則波包包絡不能穩(wěn)定傳輸(或者產(chǎn)生更高階的波包)，反過來若要波包穩(wěn)定傳輸則必須 VG12二VG23二VG3即3對k的函數(shù)必須是單調(diào)的(或者在3, k附近單調(diào))則將式(10)進一步基本化為式(11)嚴(11)其中 (k)由色散關(guān)系決定。將式(11)可變?yōu)椋贺?t 0 (12)t 0 (13)如果從0位置0時刻開始則k rt 0 (14)r(k2)t(8)若考慮多個單頻波疊加可表示為:E(r,t) A(k