電磁波群速度與相速度原理

1、電子信息工程學(xué)院 Quency Chen1.相速度與群速度如果只考慮均勻介質(zhì)中的小幅度的波，可利用描述介質(zhì)的方程和 麥克斯韋方程得到一常系數(shù)方程組，求解可得到解為:exp(jk r j t) (1)的解其中k為波矢量，r為空間位置矢量，3為角頻率。式(1)中的3 和k滿足:F (k , ) 0 (2)的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系只與介質(zhì)的特性有關(guān)，稱為色散關(guān)系。式(1)描述的電磁波，3表征波的時(shí)間變化，波矢量k描述波的空 間變化。式(3)中入為波長(zhǎng)，因此波矢量k=1/入表示單位距離有多少個(gè)波，即 波的數(shù)量，然后再乘以2n表示單位距離內(nèi)波的總相位，若把空間相 位變化2n相當(dāng)于一個(gè)全波，則k表示單位距離內(nèi)全波

2、的數(shù)目，k也 被稱為電磁波的相位常數(shù)，因?yàn)樗硎緜鞑シ较蛏喜ㄐ羞M(jìn)單位距離時(shí) 相位變化的大小，注意這里相位單位為弧度制。將(1)式變形為:expjk (r r) j (t t)若滿足k r t 0 (5),則式(4)和式一樣，這說(shuō)明在空間距離延長(zhǎng) r的位置處，若在時(shí)間 上也滯后 t則信號(hào)相位與r處t時(shí)刻的相位保持一致。這說(shuō)明r處的 波相位在 t時(shí)間后傳播到r+ r處，因此將式(5)變形可得到V k 十(6),表示波的相速度由角頻率和波矢量共同決定。在真空中電磁波的相速 度為C。折射指數(shù)n定義為:由于介質(zhì)中電波相速度既可能小于真空光速，也可能大于真空光速, 所以折射指數(shù)也可能大于1也可能小于1。如

3、果限制3是實(shí)數(shù)，若有一解，使得 k和n也是實(shí)數(shù)，則代表無(wú) 衰減的波傳播。若k和n為純虛數(shù)，則相應(yīng)的波是消散波。波場(chǎng)強(qiáng)度 隨距離指數(shù)地減小。如果將介質(zhì)等效為阻抗負(fù)載，則實(shí)數(shù)負(fù)載代表介 質(zhì)從輸入端口全部吸收能量，然后又從輸出端口全部放出能量， 類似 傳輸線特性；如果負(fù)載為虛數(shù)，則代表負(fù)載從輸入端口全部吸收能量 后，又從輸入端口全部釋放出去，因此電波就不能傳播，只能到達(dá)一 定的深度后就反射出去了，類似界面反射。如果k和n即有實(shí)部又有 虛部，則波的傳播伴隨著衰減(或增長(zhǎng))。如果3和k是實(shí)數(shù)，且是常數(shù)，則上述平面波將充滿整個(gè)空間。波的相速度可以遠(yuǎn)大于光速，這時(shí)波的傳播既不輸送任何能量， 也不傳送任何信息

4、。實(shí)際上對(duì)于穩(wěn)定的單頻單色波，根本沒(méi)有傳輸?shù)母拍? 要利用電磁波來(lái)傳輸信息，本質(zhì)上是傳送變化量，而且變化量必須要 有帶寬，不可能是單色單頻信號(hào)。這與“ Sha nnon定律”是一致的, 因此要研究信息傳遞的速度，必須要研究有一定帶寬的波包的傳遞速 度。即群速度。根據(jù)傅里葉變換的方法可以將波包看做單色波的疊加，波包的傳 播表現(xiàn)為單色波振幅和相位疊加效應(yīng)的傳播， 而不是單色波的相位傳播。所以波包的傳播速度被定義為等幅面的傳播速度，即群速度。這里先考慮最簡(jiǎn)單的情況,兩個(gè)等幅度，相位和頻率有一定偏差的雙頻信號(hào)E(r,t) Aej(kk)r)t Aej(k k)r ()t (8)利用三角公式cosaco

5、sbsinasinbc 月 b、，a b、2cos() cos()2 2 a b a b 2sin()cos()可以將式(8)轉(zhuǎn)換為:E(r,t) 2Acos(kr t)ej(kr t) (9)如果只考慮包絡(luò)2A cos( krt)等幅度面的傳播，設(shè)波包包絡(luò)在t時(shí)間移動(dòng)了 r距離。注意不是單頻波相位移動(dòng)的距離和時(shí)間。k(r r) (t t)kr trVg -匸(10)若介質(zhì)沒(méi)有色散效應(yīng),則群速度與相速度一致。如真空中電磁波傳播速度恒等于c -,因此c C 。kk k k kk若介質(zhì)存在色散效應(yīng)，即，則群速度不等于相速度。k k k k這里還要注意一個(gè)問(wèn)題就是式(9)波包傳播時(shí)，兩個(gè)正弦波合成后

6、的相位因子ej(krt)的傳播并不與波包包絡(luò)一致，我一開(kāi)始就是因?yàn)檫@個(gè)概念弄錯(cuò)了，所以一直不能正確理解和計(jì)算，花了半天時(shí)間才想 明白這個(gè)問(wèn)題。2圖 1 群速度二相速度(k=1,deltak=0.1,w=1,deltaw=0.1)2圖 2 群速度大于相速度(k=1,deltak=0.05,w=1,deltaw=0.1)以上是從最簡(jiǎn)單的雙頻正弦波疊加來(lái)討論波包的概念。式(9)中的 包絡(luò)與后面的相位因子是無(wú)關(guān)的，后面的相位因子類似調(diào)制中的載 波。波包在傳遞過(guò)程中保持不變。也只有這樣才能認(rèn)為波包在穩(wěn)定傳2據(jù)式(10)則可以得到3個(gè)群速度VG12 VG23 VG31若這3個(gè)群速播。如果考慮有3個(gè)單頻波，分別為s1,s2和S3,則利用公式(8)可 得到s12,s23,s31三個(gè)子波包?？偟牟ò鼊t等于(s12 s23 s31)，根度不相等，則波包包絡(luò)不能穩(wěn)定傳輸(或者產(chǎn)生更高階的波包)，反過(guò)來(lái)若要波包穩(wěn)定傳輸則必須 VG12二VG23二VG3即3對(duì)k的函數(shù)必須是單調(diào)的(或者在3, k附近單調(diào))則將式(10)進(jìn)一步基本化為式(11)嚴(yán)(11)其中 (k)由色散關(guān)系決定。將式(11)可變?yōu)椋贺?t 0 (12)t 0 (13)如果從0位置0時(shí)刻開(kāi)始則k rt 0 (14)r(k2)t(8)若考慮多個(gè)單頻波疊加可表示為:E(r,t) A(k