導數(shù)中繁分式化簡問題

1、最新高中數(shù)學導數(shù)培優(yōu)拔高專題(附經典解析)導數(shù)中繁分式化簡問題【探究拓展】 探究1:函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐 標為 ak+1 ,k 為正整數(shù)，ai=16，貝U ai+a3+a5=2ak(x ak),當y 0時，解得x號,解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項 在點(ak,ak2)處的切線方程為：y a/所以 ak 1 ,316 4 1 212x軸的交點的橫坐變式1：設曲線y xn1(n N*)在點(1, 1 )處的切線與標為Xn ,則log 2012 x1log 2012 x2L log 2012 x2011 的值為-1變式2：在平面直角坐標系

2、xOy中，已知點P是函數(shù)f(x)ex(x 0)的圖象上的動點，該圖象在 P處的切線I交y軸于點M，過點P作I的垂線交y軸于點N，設線段 MN的中點的縱坐標為 t，則的最大值是【解析】設 P(X0,ex0),則 I :y ex0ex0(x x。)，M (0,(1過點P作I的垂線,x0y e0ex0(x x。)，N(0,exot 如 X0)ex01t 2® e x0)(1 xO ,1 1x 1,tmax -(e -).2 e變式3: (2020年)x0e x0),e* 心ex0 1X0(ex0 ex0)所以，t在(0,1)上單調增，在(1,)單調減，*max設點P是曲線y= x2上的一個

3、動點，曲線 y= x2在點P處的切線為I，過點P且與直線I垂直的直線與曲線 y= x2的另一交點為 Q,貝y PQ的最小值變式4:已知曲線動點P，C : f(X)x + -(a 0)，直線I : y X，在曲線C上有一個 x過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為 A,B.再過點P作曲線C的切線，分別與直線1和y軸相交于點M，N，0是坐標原點若"BP的面積為，則OMN的面積探究2:設函數(shù)f(x)2ax In x (a 2)x,(a R)(1)當a 0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)若存在x 0, f(x) 0,求實數(shù)a的取值范圍對于第二問的研究：可直接參數(shù)分離1 2E2x ln

4、x(2 -)(xx) (Inx2x)(2x1)得：a g(x),所以g (x) x22而后對分子x x(x x)提取公因式;變式1：已知函數(shù)f(x) a In X ax 3(a R, a 0)(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間; 若函數(shù)yf(x)的圖像在點(2, f(2)處的切線的斜率為1,且對于任意的t 1,2，函數(shù) g(x) x3 x22【m f (x)在區(qū)間t,3上總存在極值，求實數(shù) m的取值范圍；(3)當a 2時，設函數(shù)h(x) (p 2)x P 2e 3，若在區(qū)間1,e上至少存x在一個xo,使得h(Xo) f(Xo)成立，求實數(shù)p的取值范圍.在第2問的解決中：注重對含參曲直線問題的定的特

5、征的分析，導函數(shù)圖象過定點0,-2，且開口向上，充要條件為g(3)0，根據(jù)下一個不等式解得的參數(shù)的取值范圍易得g (t)max g (2)(3)問：分子負項較多，可猜想恒為負值變式2：設a 0,b3,函數(shù)f(x) (x2ax b)e3x，g(x) (a225)ex，且 x 3是函數(shù)f(x)的一個極值點.(1)求a,b間滿足的等式;(2)證明：對任意的實數(shù)x 0,4，f(x) g(x)；(3)若存在X1，X20,4，使f(Xi) g(x2)| 1成立，求實數(shù)a的取值范圍.提醒注意的一個非定向問題:探究3：設函數(shù)f(x) ex 12x ax(1)當a 0時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)當x 0

6、時，f(x) 0，求實數(shù)a的取值范圍.變式1 :設函數(shù)f(x)axxb c(a 0)的圖像在點1, f(1)處的切線方程為用a表示出 b, c ；若 f (x) In x 在 1,上恒成立，求a的取值范圍.變式成立，則實數(shù)a的取值范圍為 變式3:若 a1x< sinxw a2x對任意的x 0, n都成立，則a2印的最小值為a2 a1拓展1：設函數(shù)f X 1 ex(1)證明：當x>-1時,設當x 0時x axX .x 1，,求a的取值范圍.拓展2： f(x)設函數(shù) f(x)2:設函數(shù) f(x)= (x+ 1)ln(x + 1),若對所有的 x>0,都有 f(x)>ax證明

7、：f(X)2 ；若對所有x 0都有f(x)ax，求a的取值范圍.拓展3:設函數(shù)f(x)2 COSX如果對任何x > 0，都有f(x) < ax，求a的取值范圍.求f(x)的單調區(qū)間；拓展4：設f(X) ax ln x(a R)是定義在區(qū)間0,e上的函數(shù)，其導函數(shù)為f(X2)f (x)，且存在實數(shù) X1, X20,e， X1 X2,滿足 f(X1)(1)證明：f(x) 0 ；(2)設 X0Xi(1 )x2,01,f(X0)0,求實數(shù)的取值范圍.參數(shù)分離可行，但中間需要對分子進行因式分解(平方差公式的應用)最后借助洛必達法則完成洛必達法則簡介:法則1若函數(shù)f X和g X滿足下列條件：l

8、im f XX a及 lim g X 0 :X a在點a的去心鄰域內，X與g X可導且g科 fZ/f Xf X那么 lim=lim l。x a g X x a g X法則2若函數(shù)f X和g X滿足下列條件:(1) lim f XX及 lim g X 0 ；X那么(2) A 0， f X 和 g X 在 ,A 與 A, liml，x g Xf Xf Xlim= lim l。x g X x g X法則3若函數(shù)f X和g X滿足下列條件:在點a的去心鄰域內，上可導，且(1) lim f XX a可導且g' X及 |Xmag X最新高中數(shù)學導數(shù)培優(yōu)拔高專題（附經典解析）那么 limLA=lim= l。X a g X x a g x在解題中應利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，注意:將上面公式中的 則也成立。x a,x換成x ,x ,x洛必達法則可處理00 ， 1 ， 0 ,00 ,型。0在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足 000,型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條應從另外途件時，就不能用洛必達法則， 這時稱洛必達法則不適用，徑求極限。 若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。洛必達法則一般和分離參數(shù)法聯(lián)用