高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點匯整(六)

1、高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)概念、方法、題型、易誤點匯整（六）第八部分 平面向量1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫

2、做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；三點共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；（2）符號表示法：用一個小

3、寫的英文字母來表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1e2。如若，則_；（答：）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 ( ) （答：B）A. B. C. D. ； （答：）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_；已知中，點在邊上，且，則的值是_ （答：0）4、實數(shù)與向量的積：實數(shù)

4、與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時，的方向與的方向相反，當(dāng)0時，注意：0。5、平面向量的數(shù)量積：（1）兩個向量的夾角：對于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時，同向，當(dāng)時，反向，當(dāng)時，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如ABC中，則_；（答：9）已知，與的夾角為，則等于_；（答：1）已知，則等于_；（答：）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為_（答：）（3）在上的投影為，它

5、是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_（答：）已知a=(2,3) ,b=(4,7) ,則a在b上的投影值為（ ） A B C D （4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時，特別地，；當(dāng)與反向時，；當(dāng)為銳角時，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計算公式：；。如已知a=(2,1), b=(,3). 1)若a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是_ 2)若a與b的夾角為鈍角,則的取值范圍是_.（答：或且）已知|a|=1,|b|= ,

6、且(ab)和a垂直,則a與b的夾角為（ ）A60° B30° C135° D45°與向量（1，）的夾角為的單位向量是（ ） A. B. C.（0，1） D.（0，1）或,則的夾角為_.已知都是非零向量，且向量與向量垂直，向量與向量垂直，則的夾角的大小為 。已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_；（6）答：）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時與的夾角的大?。ù穑海蛔钚≈禐?，）6、向量的運算：（1）幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量

7、叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（1）化簡：_ ； ；（答：；）（2）若正方形的邊長為1，則_；（答：）（3）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為 ；（答：直角三角形）（4）若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設(shè)，則的值為 （答：2）；（5）若點O是的外心，且，則的內(nèi)角C為 ；（答：）（6）若O為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足則一定有（ ）A B C D（2）坐標(biāo)運算：設(shè)，則：向量的加減法運算：，。如（1）已知點，若，則當(dāng)_時，點P在第一、三象限的角平分線上；（答：）（2）已知，則 ；（答：或）（

8、3）已知作用在點的三個力，則合力的終點坐標(biāo)是 ; （答：（9,1）實數(shù)與向量的積：。若，則，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_；（答： ）平面向量數(shù)量積：。如（1）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值；（答：或）向量的模：。如（1）已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_；（2）ABC中，三個內(nèi)角分別是A、B、C，向量時，求.（3）已知向量;求函數(shù)的最小值；若（4）已知向量=（2，2），向量與向量的夾角為，且·=2，（1）求向

9、量；（2）若，其中A、C是ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍.兩點間的距離：若，則。如（1）如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點斜坐標(biāo)為。（1）若點P的斜坐標(biāo)為（2，2），求P到O的距離PO；（2）求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。（2）.已知向量（2，0），向量（2，2），向量（cos，sin）則向量與向量的夾角的范圍為 ( )A.0，B.，C.，D.，7、向量的運算律：（1）交換律：，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，。如(1)下列命題中： ； ；

10、； 若，則或；若則；。其中正確的是_ _;(2) .提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？8、向量平行(共線)的充要條件：0。如(1)若向量，當(dāng)_時與共線且方向相同；（2）已知，且，則x_；（3）設(shè)，則k_時，A,B,C共線.9、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 ；（2）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，則點B的坐標(biāo)是_；（3

11、）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ ;10、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實數(shù)比較類似).如（1）已知是兩個非零向量，則不共線是的（ ）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件 （C）充要條件（D）不充分不必要條件（2）設(shè)、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則（·）（·）； |；（·）（·）不與垂直；（32）·（32）9|24|2中，是真命題的有 （ ）（A） （B） （C） （D）（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；是的內(nèi)心；（3）若P分有向線段所成的比為，點為平面內(nèi)的任一點，則，特別