青海大學(xué)6_2 定積分在幾何學(xué)上應(yīng)用

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 101116.2 6.2 定積分在幾何定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 Page 2一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積

2、為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxdPage 3例例1. 計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限在第一象限所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110APage 4xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn)得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy

3、所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42APage 5例例3.解：解： 求曲線求曲線所圍圖形的面積所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲線為面積為面積為同理其它同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee又又故在區(qū)域故在區(qū)域Page 6oyxababoyx一般地一般地 , 當(dāng)曲邊

4、梯形的曲邊由參數(shù)方程當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí)給出時(shí), 按按逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)Page 7例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20

5、Axyoa2Page 82. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線求由曲線)(r及及,射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為d)(212A Page 9對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 從從 0 變變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停到到 2 所圍圖形面積所圍圖形面積

6、 . Page 10ttadcos82042例例6. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形的所圍圖形的面積面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)2t令28a43212223aPage 11oxya心形線心形線(外擺線的一種外擺線的一種)2222yxaxayx即即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停 尖點(diǎn)尖點(diǎn):)0,0( 面積面積:223a 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng):a8參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義Page 122coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例

7、例7. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線與圓與圓所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積所求面積)243(2122aa22245aa ar 2Page 13a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2

8、cos21462ayox44答案答案:Page 14二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)邊長(zhǎng) 0 時(shí)時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) , 即即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略證明略)ni 10lims則稱則稱Page 15sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程

9、給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(12(P180)22)(d)(ddyxsPage 16(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxsPage 17(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:( )()cdosrsinrdx ( )()rr( )cos ,( )sin ,xryr令令因此所求弧長(zhǎng)因此所求弧長(zhǎng)22( )( )

10、 dsrr 22( )( ) dxy 22( )( )drr 則得則得ds 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素(弧微分弧微分) :(自己驗(yàn)證自己驗(yàn)證)( )()sdinrcosrdy Page 18)ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線成懸鏈線 .求這一段弧長(zhǎng)求這一段弧長(zhǎng) . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂下垂懸鏈線方程為懸鏈線方程為Page 19例例1

11、0. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4Page 20例例11. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2Page 21d222aa例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相應(yīng)于 0 2 一段的弧長(zhǎng)一段的弧長(zhǎng) . 解解:

12、)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P331 公式公式21)212a21ln2102)412ln(24122aaPage 22三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),Page 23xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf旋轉(zhuǎn)

13、一周圍成的立體體積時(shí)旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdyPage 24ayxb例例13. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2xPage

14、25方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343aPage 26xyoa2例例14. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022)cos1 (tattad)cos1 (

15、ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令Page 27xyoa2a繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx Page 28分部積分分部積分對(duì)稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(

16、 tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用利用“偶倍奇偶倍奇零零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226Page 29a2柱殼體積柱殼體積說(shuō)明說(shuō)明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Page 30偶函數(shù)偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(1

17、64322奇函數(shù)奇函數(shù)336aPage 31軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 設(shè)設(shè))(xfy 在在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù)時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且且 ,0)0(f形繞直線形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明證明:. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故Page 32例例16. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體

18、的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyxPage 33oRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積

19、?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22Page 34abzxyco垂直垂直 x 軸的截面是橢圓軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 計(jì)算由曲面計(jì)算由曲面1222222czbyax所圍立體所圍立體(橢球體橢球體)解解:它的面積為它的面積為)1 ()(22axbcxA因此橢球體體積為因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22bc20abca34特別當(dāng)特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axx的體積的體積.Page 35ox12yBC3A例例18. 求曲線求曲線13

20、2xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積. (94 考研考研)解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限在第一象限 xxd)4(322122Page 36xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSb

21、ad)(1)(22,0)(xf且它繞它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxPage 37xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出給出, 則它繞則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積不是薄片側(cè)面積S 的的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為側(cè)面積為Page 38xRyo例例19. 計(jì)算圓計(jì)算圓上繞

22、在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積 S .解解: 對(duì)曲線弧對(duì)曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺(tái)高當(dāng)球臺(tái)高 h2R 時(shí)時(shí), 得球的表面積公式得球的表面積公式24RS1x2xozyxPage 39例例20. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin

23、32繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cosPage 40星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種星形線是內(nèi)擺線的一種.t點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑大圓半徑 Ra小圓半徑小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)Page 41內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積平面圖形的面積邊界方程邊界方程參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程曲線方程參數(shù)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)

24、方程22)(d)(ddyxs弧微分弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程上下限按逆時(shí)針?lè)缴舷孪薨茨鏁r(shí)針?lè)较虼_定向確定直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須分上下限必須上大上大下小下小21d)()(tttttAd)(212APage 423. 已知平行截面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞繞 x 軸軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式的表達(dá)式)yxxA2)(繞繞 y 軸軸 :(柱殼法柱殼法

25、)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy Page 43思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長(zhǎng)及邊界長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分弧線段部分直線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以以 x 為積分變量為積分變量 , 則要分則要分兩段積分兩段積分, 故以故以 y 為積分變量為積分變量. Page 442. 試用定積分求圓試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞繞 x 軸軸o

26、xyRbR上上半圓為半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積求體積 :提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積及表面積 S .Page 45方法方法2 用柱殼法用柱殼法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說(shuō)明說(shuō)明: 上式可變形為上式可變形為2RVb2d2bR 20上上半圓為半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示如圖所示). dd2bRVPage 46求側(cè)面積求側(cè)面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性RS2b2S