《高等數(shù)學教學》09空間解析幾何

1、編輯ppt西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學系西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學系孫疆明孫疆明高等數(shù)學高等數(shù)學微積分微積分精編輯ppt向量及其線性運算向量及其線性運算數(shù)量積、向量積、混合積數(shù)量積、向量積、混合積平面平面空間曲線及其方程空間曲線及其方程曲面及其方程曲面及其方程空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)編輯ppt一、向量及其線性運算一、向量及其線性運算向量概念向量概念有大小、有方向的量稱為向量有大小、有方向的量稱為向量. .abvFAB用符號 、 、 、 、等標記.用符號 、 、 、 、等標記.如果強調起點A、終點B,也記如果強調起點A、終點B,也記 10.ABa向向量量的的大大小小叫叫做做向向量量的的模模

2、. .記記為為、 等等. .模模為為 的的向向量量叫叫做做單單位位向向量量. .模模為為 0 0 的的向向量量叫叫零零向向量量. . 記記為為 兩向量大小相等、方向相同叫做兩向量兩向量大小相等、方向相同叫做兩向量相等相等；兩向量方向相同或相反兩向量方向相同或相反,叫做兩向量叫做兩向量平行平行(共線共線);編輯ppt起點放在一起，向量在一個平面內，叫做起點放在一起，向量在一個平面內，叫做共面共面;向量的線性運算向量的線性運算(加減、數(shù)乘加減、數(shù)乘) ,aAB bBCACACcabab 記記為為設設 連連接接 、 得得向向量量叫叫做做向向量量 、 的的和和; ; ,aAB bACBCCBcabab

3、 BCcbaba 記記為為記記為為設設 連連接接 、 得得向向量量叫叫做做向向量量 與與 的的差差; ;叫叫做做向向量量 與與 的的差差; ;Cbab aBAAaBbCab 編輯ppt 與一向量與一向量 大小相等、方向相反的向量叫做大小相等、方向相反的向量叫做原向量的負向量原向量的負向量. 記為：記為： .a a()abab AaBbCab b ()ab 向量加法性質向量加法性質abba()()abcabc abab abab 12121 ()nnnaaaaaaa Cbab aBAabcab bc abc編輯ppt , 0 0 . .aaaaaa 設 為向量, 為實數(shù), 為新向量,其大小為設

4、為向量, 為實數(shù), 為新向量,其大小為且時, 與 同向; 時,與 反向 稱且時, 與 同向; 時,與 反向 稱之為數(shù) 與向量 的乘積之為數(shù) 與向量 的乘積00, 1, ( 1),()()()()().aaaaaaaaaaaabab 向量數(shù)乘性質向量數(shù)乘性質定理：定理：(向量平行條件向量平行條件) ,.0.abbaa 向向量量與與平平行行存存在在唯唯一一實實數(shù)數(shù)使使其其中中向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘編輯ppt 證證 充充分分性性由由向向量量數(shù)數(shù)乘乘定定義義可可得得；()0,0.0,0;aabba 必必要要性性則則當當時時 有有0;babab 當當時時, ,因因 與與 平平行行, ,所所以以 、 或或者

5、者同同向向, ,或或者者反反向向,;,.bbababbaaababbaa又 =,故當 、 同向有 =使又 =,故當 、 同向有 =使當 、 反向時,有 =使當 、 反向時,有 =使證完證完0,()1,1(:),aaaaaaabaaaaae時,且時,且故選長度 的向量 記就可用數(shù)表示故選長度 的向量 記就可用數(shù)表示注意注意各平行向量各平行向量編輯ppt向量的乘法向量的乘法(積積)向量的夾角向量的夾角 , ,.:( , ),( , ).a ba ba ba b 兩兩非非零零向向量量把把起起點點放放在在一一起起構構成成的的不不超超過過 的的角角叫叫向向量量的的夾夾角角記記為為1.向量的數(shù)量積向量的數(shù)

6、量積(點積點積)投影向量長度乘積投影向量長度乘積 ,cos( , ),.: .a ba ba ba ba b 為兩向量,稱數(shù)為向量的為兩向量,稱數(shù)為向量的數(shù)量積記為數(shù)量積記為 cos( , )a ba ba b 即即ab( , )a b: 1. ; 2. (); 3. ()()().a bb aabca ba bababa b性質性質24. .a aa 編輯ppt2.向量的向量積向量的向量積(叉積叉積)3.向量的混合積向量的混合積, sin( , ) .: .a ba ba bababab 為為兩兩向向量量. . 以以數(shù)數(shù)為為模模, ,以以從從 到到右右手手定定則則為為方方向向的的向向量量叫叫

7、作作向向量量 與與 的的向向量量積積記記為為ba abab : 1. ; 2. (); 3. ()()(). 4. ,abbaabcabababa kbababa b 性性質質為為鄰鄰邊邊 面面積積. .(), ,.abca b c 叫叫作作的的混混合合積積b a b sin( , )ba b 編輯ppt0.a b 向向量量垂垂直直0.ab 向向量量平平行行 (), ,abca b c 混混合合積積性性質質：以以為為棱棱的的平平行行六六面面體體體體積積. .abcbc , , ,.ijk jki kiji j k設為相互垂直且依順序設為相互垂直且依順序構成右手系的三單位向量,則構成右手系的三單

8、位向量,則 ijk()0,(0,0)abcabc bc 三三向向量量共共面面a b c c b 編輯ppt二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系O在在空空間間取取定定一一點點O)( x點點 的的數(shù)數(shù)軸軸 分分別別稱稱 軸軸, ,和和三三個個相相互互垂垂直直的的單單位位向向 (, , ),i j k量量 記記ijk(O就就構構成成三三個個相相互互垂垂直直交交于于稱稱為為原原y軸,軸,)z軸軸.稱之為直角坐標系稱之為直角坐標系xyz.Oxyz記為：記為： 按按x,y,z軸順序軸順序,坐標系符合坐標系符合右手定則右手定則,稱為右手系稱為右手系. 任意兩坐標軸確定一個平任意兩坐標軸確定一個平面稱坐標面面

9、稱坐標面. x,y 軸確定坐標軸確定坐標面稱面稱xOy面面(或或xy面面); x,z 軸軸確定坐標面稱確定坐標面稱xOz面面; y,z 軸軸確定坐標面稱確定坐標面稱yOz面面.編輯ppt三個坐標面把空間三個坐標面把空間分為八個部分，每分為八個部分，每個部分叫一個卦限個部分叫一個卦限. .如圖如圖: :在在xy坐標平面的上坐標平面的上部部, , 依次稱為依次稱為、卦限卦限. .在在xy面下部與第一面下部與第一卦限相對應的稱為卦限相對應的稱為第第卦限卦限; ;以后依以后依次稱為第次稱為第、卦限卦限. .編輯ppt ,. rMOMr 任任給給向向量量 空空間間對對應應有有點點使使rOMxxyyzzP

10、Q QR R , ,OMOP OQOR 以以為為對對角角線線作作長長方方體體, ,與與坐坐標標軸軸重重合合的的棱棱為為則則 rOPOQOR ,OPxi OQyj ORzk 又又 rxiyjzk 所所以以( , , )Mrx y z ( , , )(),:( , , )( , , )oMx y zMrrM x y zr x y z 稱稱為為空空間間點點或或矢矢徑徑或或向向量量的的坐坐標標 記記作作或或編輯ppt空間點坐標的位置特征空間點坐標的位置特征1. 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0

11、,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 0,0,0;xyz 卦卦限限點點 2. 0; 0; 0;xOyzyOzxxOzy 坐標面上點 坐標面上點 坐標面上點 坐標面上點 坐標面上點 坐標面上點 編輯ppt3. 0,0; 0,0; 0,0;xyzyxzzxy 軸軸上上點點 軸軸上上點點 軸軸上上點點 4. 0,0,0;Oxyz點 點 向量運算的坐標表示向量運算的坐標表示 111111222222333333 (,), (,), (,),aOMx iy jz kxy zbONx iy jz kxy zcOPx iy jz kxy z設設121

12、2121. (,);abxxyy zz 1111112. (,);axyzx iy jz k 111222/xyzabxyz abOMONNM 其其中中編輯ppt 111222122212221333 () () ()( )()a bx iy jz kx iy jz kxx i iy ijz i kyx j iy jjz j kzx k iy kjz kj 證證 1,1,1,0,0,0.i ijjk ki ji kj k 注注意意：222111() aOMxyz 向向距距量量公公式式離離的的模模 兩兩點點：222121212()()()NMabxxyyzz 121212222222111222

13、 cos( , )x xy yz za bxyzxyz 兩兩向向量量夾夾角角：1212123. ;a bx xy yz z 編輯ppt1 22 1122112211112224.()()() a by zy z iz xz x jx yx y kijkxyzxyz ,.ijk jki kij 注注意意向向量量自自身身叉叉積積為為0 0，且且在在右右手手系系下下：12 33 212332123321112223335.() ()()() a b cx y zy zy z xz xz x yx yxyzxyzxyz 12121 2,0a bx xy yz z 垂垂直直 ijk編輯ppt例例(11

14、4)(1,1, 1).Ma 求求過過點點， ， 且且平平行行的的直直線線 ( , , )N x y z解 設為所求直線任一點，則解 設為所求直線任一點，則 /MNa114.111xyz 1 ( , , )1,M x y zO M 解解 設設為為所所求求軌軌跡跡任任一一點點，則則222 (0)(1)(0)1xyz 即即222 2 .xyzy 整整理理得得1 (0,1,0)1O例例 求求到到點點距距離離為為 的的點點的的軌軌跡跡. . ( 1,1,2),(1,0,0),(1,1,1)Pab 例例 求求過過平平行行的的平平面面. . ( , , ) M x y zPM 解 設為所求平面任一點，則解

15、設為所求平面任一點，則平面法線，平面法線，編輯ppt ,()0abPMab 根據(jù)向量積知法線方向為所以根據(jù)向量積知法線方向為所以 (0, 1,1) (1,1,2) ()(1)1(2)0abPMxyzPMabyz 由由，得得 1zy 整整理理得得12 ( 1,1,2),(2, 2,1)PP例 求到距離相等點的軌跡.例 求到距離相等點的軌跡.12 ( , , ) M x y zP MP M 解解 設設為為軌軌跡跡任任一一點點，則則222222 (1)(1)(2)(2)(2)(1)xyzxyz 6623xyz 整整理理得得例例 已知兩點已知兩點(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此兩點間

16、的距離求此兩點間的距離. .222 (31)( 20)(42)242 6d 解解編輯ppt向量的方向角向量的方向角 (,),().xyzaaaaa 設設稱稱向向量量 與與三三個個坐坐標標軸軸的的夾夾角角記記 , , , ,為為向向量量的的方方向向角角coscos,xa iaa ia 因因為為所所以以cos cos,cosyzxaaaaaa，類似，類似coscoscosyzxaaaaijkijkaaaa 2221, coscoscos1.aa而所以而所以編輯ppt 空間解析幾何利用空間坐標系把空間解析幾何利用空間坐標系把空間點構成的幾何圖形與代數(shù)方程聯(lián)空間點構成的幾何圖形與代數(shù)方程聯(lián)系起來系起來

17、. .若曲面若曲面S上任意一點的坐標上任意一點的坐標zyOx關于曲面的兩個基本問題關于曲面的兩個基本問題: :三三. .空間曲面與方程空間曲面與方程則稱方程則稱方程F(x,y,z)=0 0為曲面為曲面S的方程的方程, 而稱曲面而稱曲面S為方程為方程F(x,y,z)=0的圖形的圖形.(如上圖如上圖)都都滿足方程滿足方程F(x,y,z)=0 0；而不在曲面而不在曲面S上的點上的點, 坐標都不滿足方程坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0,0,1. 1. 巳知曲面的幾何軌跡巳知曲面的幾何軌跡, , 建立曲面的方程建立曲面的方程M(x,y,z)S定義定義2. 巳知曲面的方程巳知曲面的方程, , 研究方程

18、的圖形研究方程的圖形編輯ppt由幾何軌跡求曲面方程，常用距離、夾角公式由幾何軌跡求曲面方程，常用距離、夾角公式.例例 一動點一動點M( x, y, z)與兩定點與兩定點A(- -1,0,4)和和B(1,2,-1)B(1,2,-1)的的 MAMB解解 因因222222(1)(4)(1)2(1)xyzxyz（）4410110 xyz故故M( x, y, z)的軌跡方程的軌跡方程距離相等距離相等, 求此動點求此動點M的軌跡方程的軌跡方程.(即即A、B兩點連線的垂直平分兩點連線的垂直平分面的方程面的方程)為為4410110 xyz000 1.(,)( ,).M xy zrA B C 平平面面與與定定點

19、點連連線線垂垂直直同同一一直直線線 方方向向的的點點的的軌軌跡跡編輯ppt ( , , ), ,N x y zNMr 設動點為則設動點為則000 ()()()0A xxB yyC zz 平平面面方方程程： AxByCzD 整整理理得得：結論：平面方程均為一次方程結論：平面方程均為一次方程, ,反之亦然反之亦然. .1. 0,D 平平面面過過原原點點；平面的空間位置：平面的空間位置：2. ,0,;D D DA B CA B C 平面與三軸交點，平面與三軸交點，OxyzOxyzDADBDC000,.DAxByCz 編輯pptxOz面的方程為面的方程為 y = = 0 因因xOy平面上任意一點的坐標

20、滿足平面上任意一點的坐標滿足z = 0；而凡滿而凡滿3. 坐標平面的方程分別為坐標平面的方程分別為xOy面的方程為面的方程為 z = 0; yOz面的方程為面的方程為 x = 0;足足z z = 0= 0的點又都在的點又都在 xOy平面上；平面上；平行于平行于xOy面的平面方程為面的平面方程為 z = c;平行于平行于yOz面的平面方程為面的平面方程為x=a 平行于平行于xOz面的平面方程為面的平面方程為y=b( (c為常數(shù)為常數(shù), , 表示此平面在表示此平面在 z z 軸上的截距軸上的截距) )( (b為常數(shù)為常數(shù), , 表示此平面在表示此平面在 y y 軸上的截距軸上的截距) )( (a為

21、常數(shù)為常數(shù), , 表示此平面在表示此平面在 x x 軸上的截距軸上的截距) )編輯pptOxyzOxyzOxyzOxyzcaOxyzOxyzb編輯ppt222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR到定點到定點 距離為距離為R的點的軌跡的點的軌跡. .0000(,)Mxy z 0( , , ),.M x y zM MR 設設動動點點為為則則動動點點特別地特別地, ,以原點為以原點為球球心心, ,R為半徑的球面方程為為半徑的球面方程為;是是此此球球面面的的上上半半部部.是是此此球球面面的的下下半半部部222 zRxy222 zRxy而而2.球面球面

22、000(,)xy zR其中為圓心， 為半徑.其中為圓心， 為半徑.Oxyz編輯ppt二二元元方方程程在在空空間間都都表表示示柱柱面面. .( , )0,()( , )0.F x yzxOyxyF x y 表表示示平平行行 軸軸 與與平平面面交交線線 準準線線為為平平面面曲曲線線的的柱柱面面3.柱面柱面( , )0,()( , )0.F y zxyOzyzF y z 表表示示平平行行 軸軸 與與平平面面交交線線 準準線線為為平平面面曲曲線線的的柱柱面面( , )0,()( , )0.F x zyxOzxzF x z 表表示示平平行行 軸軸 與與平平面面交交線線 準準線線為為平平面面曲曲線線的的柱

23、柱面面00(,0)xy00(, )xy z00(,)0F xy xyzxyz00(0,)y z00( ,)x y zxyz00(,0,)xz00(, ,)xy z編輯ppt巳知曲面的方程巳知曲面的方程, 研究方程的圖形研究方程的圖形通常情況下通常情況下, ,三元方程的圖形為一張空間曲面三元方程的圖形為一張空間曲面; ;至于至于會會得出曲面得出曲面S的全貌的全貌這種方法稱為這種方法稱為一、二元方程的圖形一、二元方程的圖形,則應由具體的坐標系而定則應由具體的坐標系而定.一般的三元方程，通常很難立即想出其圖形的形狀一般的三元方程，通常很難立即想出其圖形的形狀.但若依次用平行于坐標面的平面但若依次用平

24、行于坐標面的平面x = a、y = b和和z = c去截去截曲面曲面S，則可得一系列的截口曲線；，則可得一系列的截口曲線； 再將它們綜合起來就再將它們綜合起來就例例4 4 考察下列的圖形方程考察下列的圖形方程: : (1) 2x- - z= =0 (2) 2x+y+2z=4 222(3) xyR“平行截口平行截口”法法.2(5) 4.x22(4) zxy編輯ppt方程不含方程不含y, 用平行于用平行于xz面的任何面的任何平面平面 y=b 與之相交與之相交(聯(lián)立聯(lián)立)，得交，得交線線與與xOz面的交線為面的交線為 2x- - z = = 0是是 y=b 平面直線平面直線 2x- - z=0故該方

25、程的圖形是經(jīng)過故該方程的圖形是經(jīng)過y軸且軸且的平面的平面.解解 (1)由方程由方程2x- - z = 0是一次方程是一次方程平面平面.D = 0,平面過原點平面過原點.在在xOz面上為直線面上為直線 2x- - z = 0；xzyO 20ybxz b編輯ppt此為平面的截距式方程此為平面的截距式方程. .1111242xyz它與它與x、y、z軸的交點分別為軸的交點分別為(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 224編輯ppt222(3) xyR222xyR在空間，因方程在空間，

26、因方程222xyR222,xyRzcz=c 平面上平面上圓心在圓心在z z軸軸( (原點原點), ),半徑為半徑為R 圓圓. .解解 在在xy面上，方程面上，方程是原點為心，半徑為是原點為心，半徑為R的圓的圓.用任意平行用任意平行xy平面的平面平面的平面 z=c 去截曲面，其交線為去截曲面，其交線為不含不含z，曲面是以曲面是以 z 軸為心的圓柱面軸為心的圓柱面. 一般地一般地, 方程方程 F(x,y,z)=0 中缺少某中缺少某個變量個變量, 則方程表示曲面平行那個作標軸，則方程表示曲面平行那個作標軸，曲面稱為柱面曲面稱為柱面. 柱面名稱以坐標面柱面名稱以坐標面交線交線 ( 稱為稱為準線準線)名

27、稱命名名稱命名.編輯ppt如如zxy2.平平行行 軸軸的的拋拋物物柱柱面面 yzx221.49平平行行 軸軸的的雙雙曲曲柱柱面面 xOyzxOyz編輯ppt22(4) zxy解解 用用平面平面z=c( (c0) )去截曲面去截曲面, ,其截線為其截線為22 xyczc當當c=0時時, ,只有原點只有原點( (0, , 0, , 0) )滿足此方程；滿足此方程；c00時時,其截痕為以其截痕為以(0,0,c)為圓心為圓心,顯然顯然c越大，其交線圓越大越大，其交線圓越大.以以為半徑的圓為半徑的圓.拋物線拋物線.若用若用平面平面y=0去截曲面去截曲面, ,其截痕為其截痕為拋物線拋物線.20 zyx20

28、 zxyxyzOc方程圖形稱為旋轉拋物面方程圖形稱為旋轉拋物面. .編輯ppt曲線曲線L L稱為此旋轉曲面的母線稱為此旋轉曲面的母線, ,l曲面曲面 是是 z=y2繞繞z軸軸旋轉而成拋物面旋轉而成拋物面. .22zxy一般，一般，如果有一條平面曲線如果有一條平面曲線L(如如y=f(x)，繞著同一平面內一條，繞著同一平面內一條l已知直線已知直線 (如如x軸軸) 旋轉一周形成的曲面稱為旋轉一周形成的曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面.已知直線已知直線旋轉曲面的軸旋轉曲面的軸.稱為此稱為此Oxyz y=f(x)繞繞x軸旋轉軸旋轉,曲面方程曲面方程:( , , ) , ( ),( ,0,0),M x y zxf xx為曲面任一點，則為曲面任一點，則過該點作垂直軸截面是一過該點作垂直軸截面是一個圓 半徑圓心故方程為：個圓 半徑圓心故方程為：yzf xyzfx22222( )( ) y=f(x)繞繞y軸旋轉軸旋轉,曲面方程曲面方程:yfxz22() z=f(y)繞繞z軸旋轉軸旋轉,曲面方程曲面方程:zfx