高一數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題專題[整理]_2

1、 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問題。的數(shù)學(xué)問題。 求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：示意圖表示為：實(shí)際問題實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 分析、聯(lián)想分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化抽象、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際結(jié)果實(shí)際結(jié)果反演反演答答數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法方法 就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決數(shù)學(xué)模型所表達(dá)就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的數(shù)學(xué)問題。的數(shù)學(xué)問題。這一步可以稱之為數(shù)學(xué)解決。這一步可以稱之為數(shù)

2、學(xué)解決。就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的結(jié)論。就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的結(jié)論。這一步可以稱之為實(shí)際化。這一步可以稱之為實(shí)際化。就是對實(shí)際問題的結(jié)論作出回答。就是對實(shí)際問題的結(jié)論作出回答。 應(yīng)以審題應(yīng)以審題(即明確題意即明確題意)開始，通過分析和抽象開始，通過分析和抽象找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合理的數(shù)學(xué)模型。找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合理的數(shù)學(xué)模型。這一步可以稱之為數(shù)學(xué)化。這一步可以稱之為數(shù)學(xué)化。實(shí)際問題實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 分析、聯(lián)想分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化抽象、轉(zhuǎn)化第第步：步：實(shí)際結(jié)果實(shí)際結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果第第步：步：反演反演實(shí)際結(jié)果實(shí)際結(jié)果實(shí)際問題實(shí)際問題第第步：步：

3、答答第第步：步：數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法 1. 某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為成本為1萬元萬元/輛，出廠價(jià)為輛，出廠價(jià)為1.2萬元萬元/輛，年銷售量輛，年銷售量為為1000輛本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)輛本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本若每輛車投入成本品檔次，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為增加的比例為x (0 x1) ，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x已知年利潤已知年利潤=（出廠

4、價(jià)（出廠價(jià)投入成本）投入成本） 年銷售量年銷售量（）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增與投入成本增 加的比例加的比例x 的關(guān)系式；的關(guān)系式；（）為使本年度的年利潤比上年有所增加，）為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（解：（）由題意得，）由題意得，) 10()6 . 01 (1000)1 (1)75. 01 (2 . 1 xxxxy整理得整理得 ：) 10(20020602xxxy（）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，必須）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，必須. 10, 01000) 1

5、2 . 1 (xy即即 . 10, 020602xxx解不等式得解不等式得 310 x答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)滿足投入成本增加的比例應(yīng)滿足 0 x0.33 2. 某地區(qū)上年度電價(jià)為某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元元/kWh，年用電量，年用電量為為a kWh.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元元/ kWh至至0.75元元/ kWh之間，之間， 而用戶期望電價(jià)為而用戶期望電價(jià)為0.4元元/ kWh.經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系與實(shí)際電價(jià)

6、和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為數(shù)為k）。該地區(qū)電力的成本價(jià)為）。該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元元/ kWh。 ()寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門的收益寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門的收益y與與實(shí)際電價(jià)實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；()設(shè)設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增部門的收益比上年至少增 長長20%?（注：收益（注：收益=實(shí)際用電量實(shí)際用電量 (實(shí)際電價(jià)實(shí)際電價(jià) 成本價(jià)成本價(jià))）解：解：() 設(shè)下調(diào)電價(jià)為設(shè)下調(diào)電價(jià)為 x 元元k wh ,則新的用電量為則新的用電量為 +a .kX 0.4 y=( a)(x0.3

7、) ( 0.55 x 0.75 )kx0.4() 由題意知由題意知( a)(x0.3) a( 0.80.3 )(120 ) kx0.4即即 x 1.1x0.3 0 x0.5 或或 x0.6又又 0.55 x 0.75 0.6x0.75當(dāng)電價(jià)最低定為當(dāng)電價(jià)最低定為 0.6元元kwh 時(shí)，仍可保證電力時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長部門的收益比上年至少增長 20 . 3. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿場售價(jià)與上市時(shí)間天內(nèi)，西紅柿場售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本的

8、關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。（）寫出圖一表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系）寫出圖一表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式式 ;寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 ；（）認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)）認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價(jià)各種植成本的單位：元（注：市場售價(jià)各種植成本的單位：元/102，時(shí)間，時(shí)間單位：天）單位：天）)(tgQ )(tfp y=atb則則b=300100=200ab

9、a=1100=200ab a=2300=300ab b=300y=a(x150)2100 a1200解：（解：（）由圖一可得市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為）由圖一可得市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為 300t200 3002 200,t0 ,300)(tttf由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為300t0 ,100)150(2001)(2ttg（）設(shè)時(shí)刻的純收益為）設(shè)時(shí)刻的純收益為h(t) , 則由題意得則由題意得h(t)=f(t) g(t)即即 h(t)=300t200 ,21025272001-200,t0 ,217521200122tttt當(dāng)當(dāng) 0t200 時(shí)，

10、配方整理得時(shí)，配方整理得100)50(20012th(t)=當(dāng)當(dāng)t=50時(shí)，時(shí)，h(t) 取得區(qū)間取得區(qū)間0，200上的最大值上的最大值100； 當(dāng)當(dāng)200t300 時(shí)，配方整理得時(shí)，配方整理得100)350(20012th(t)=當(dāng)當(dāng) t=300時(shí)時(shí), 取得區(qū)間（取得區(qū)間（200，300上的最大值上的最大值87.5 綜上，由綜上，由10087.5 可知，在區(qū)間可知，在區(qū)間0，300上可以上可以取得最大值取得最大值100，此時(shí)，此時(shí) t=50 ， 即從二月一日開始的第即從二月一日開始的第50天時(shí)，天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大。上市的西紅柿純收益最大。 4、我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采

11、用價(jià)格調(diào)控、我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市用水收收費(fèi)的方法是：手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市用水收收費(fèi)的方法是： 水費(fèi)水費(fèi)=基本費(fèi)基本費(fèi)+損耗費(fèi)損耗費(fèi)+超額費(fèi)超額費(fèi)若每月用水量不超過最低限量若每月用水量不超過最低限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)時(shí)，只付基本費(fèi)8元元和每戶每月的定額損耗費(fèi)和每戶每月的定額損耗費(fèi)c元；若用水量超過元；若用水量超過am3時(shí)，除了付時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分每同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分每m3付付b元的超額費(fèi)，已元的超額費(fèi)，已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元。元。該市一家庭今年第一季

12、度的用水量和支付費(fèi)用如下表該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：所示：月月 份份用水量（用水量（m3）水費(fèi)（元）水費(fèi)（元）（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求a、b、c；（2）若用戶四月份用水量為）若用戶四月份用水量為30立方米，應(yīng)交水費(fèi)多少元？立方米，應(yīng)交水費(fèi)多少元？月 份123用水量（m3）91522水費(fèi)（元）91933解：設(shè)每月用水量為解：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為，支付費(fèi)用為y元，則：元，則：0 xa （xa） y=)(88axbcc由題意知由題意知0C5 8+C13答：答：a、b、c的值依次為的值依次為10，2，1；四月份應(yīng)交水費(fèi)；四月份應(yīng)交水費(fèi)49元

13、。元。（2）四月份應(yīng)交水費(fèi)為）四月份應(yīng)交水費(fèi)為: 8+1+2(30-10)=49 (元元)故故a=10，b=2，c=1一月份的付款方式應(yīng)選一月份的付款方式應(yīng)選式，由式，由8+c=9得得c=1不妨設(shè)不妨設(shè)9a，將，將x=9代入代入得得 9=8+c+2（9a）2a=c+17 與與矛盾矛盾 9a再分析一月份的用水量是否超過最低限量再分析一月份的用水量是否超過最低限量2)22(833)15(819babcabc2a=c+19 由表知第二、三月份的費(fèi)用均大于由表知第二、三月份的費(fèi)用均大于13元，故用水量元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量均大于最低限量am3，將，將x=15，x=22分別代入分別

14、代入，得，得 5. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級平方米的三級污水處理池（平面圖如下圖），由于地形限制，長、寬都不污水處理池（平面圖如下圖），由于地形限制，長、寬都不能超過能超過16米。如果池四周圍壁建造單價(jià)為每米長米。如果池四周圍壁建造單價(jià)為每米長400元，中間元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米長兩道隔墻建造單價(jià)為每米長248元，池底建造單價(jià)為每平方米元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)。試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總元，池壁的厚度忽略不計(jì)。試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。解：設(shè)污水

15、池長為解：設(shè)污水池長為 x ，則寬為則寬為x200依題意：依題意：0 x16x2000 16解之得：解之得：12.5x16y400(x ) 22248 80200 x200 x200總造價(jià)總造價(jià)y為為800(x ) 16000 x324令令ux x324設(shè)設(shè)165 .1221xx)11(324)(212121xxxxuu則212121324)(xxxxxx165 .1221xx021xx032432416021221xxxx21210uuuu即45000160008290800miny答：當(dāng)污水長為答：當(dāng)污水長為16米，寬為米，寬為12.5米時(shí)；米時(shí)； 總造價(jià)最低為總造價(jià)最低為45000元元.

16、u16 時(shí)時(shí)82901632416minuux x324在區(qū)間在區(qū)間12.5 , 16上是減函數(shù)上是減函數(shù) 6. 一輛新汽車使用一段時(shí)間后，就值不到原來的價(jià)錢了。一輛新汽車使用一段時(shí)間后，就值不到原來的價(jià)錢了。假若一輛新車價(jià)值假若一輛新車價(jià)值18萬元，按下列方式貶值：每年的車價(jià)萬元，按下列方式貶值：每年的車價(jià)是原來的是原來的 。問：購買。問：購買18個(gè)月后，此車貶值多少？從購買日個(gè)月后，此車貶值多少？從購買日起起t個(gè)月后呢？（貶值量個(gè)月后呢？（貶值量Q原價(jià)原價(jià)P汽車現(xiàn)在價(jià)值汽車現(xiàn)在價(jià)值W）解：先建立汽車的現(xiàn)價(jià)解：先建立汽車的現(xiàn)價(jià)W與使用時(shí)間與使用時(shí)間t（t以月為單位）以月為單位） 的函數(shù)關(guān)系的

17、函數(shù)關(guān)系Wf（t）。）。當(dāng)當(dāng)t0時(shí)，即剛買來，顯然時(shí)，即剛買來，顯然f（0）180000；當(dāng)當(dāng)t12時(shí)，即買了一年，時(shí)，即買了一年，f（12）180000 120000；32當(dāng)買了兩年后，當(dāng)買了兩年后，f（24）180000 80000；232一般地，一般地，f（12n）180000 。n32設(shè)設(shè)t12n，則，則f（t）180000 。1232t3218個(gè)月后，個(gè)月后，W180000 98000，2332Q1800009800082000，即貶值了，即貶值了82000元。元。從購買日起從購買日起t個(gè)月后，個(gè)月后，Q180000 。12321t 7.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為某工廠生產(chǎn)一種機(jī)

18、器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)元，且每生產(chǎn)100部部需要增加投入需要增加投入2500元，對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知，市場對此元，對銷售市場進(jìn)行調(diào)查后得知，市場對此產(chǎn)品的需求量為每年產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為部，已知銷售收入的函數(shù)為 H（x）=500 x x2 其中其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0 x500 （1）若）若x為年產(chǎn)量，為年產(chǎn)量，y表示利潤，求表示利潤，求y=f(x)的解析式；的解析式； （2）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤最大，其最大值是多）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？少？ （3）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠有盈利（已知：）

19、當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠有盈利（已知： =4.65） 215625.21解：（解：（1）當(dāng)）當(dāng)0 x500時(shí)，產(chǎn)品全部售出；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品全部售出；當(dāng)x500時(shí)，時(shí)，產(chǎn)品只能銷售產(chǎn)品只能銷售500部，故利潤函數(shù)為：部，故利潤函數(shù)為：125000(5000+25x) (x 500)f(x)=500 x x2(5000+25x) (0 x500)21（2）當(dāng)）當(dāng)0 x500時(shí)，時(shí)， f(x)= 0. 5(x475)2+107812.5;當(dāng)當(dāng)x500時(shí)，時(shí)， f(x)=12000025x12000012500，即即 f(x)0或或x50012000025x0解得解得10 x500 或或500 x4800，

20、 10 x4800.故當(dāng)年產(chǎn)量在故當(dāng)年產(chǎn)量在10部到部到4800部時(shí)部時(shí), 工廠盈利工廠盈利.解：（解：（1）若按原來投資環(huán)境不變，則由）若按原來投資環(huán)境不變，則由10)40(16012xP知當(dāng)知當(dāng)x=40時(shí)，時(shí)， =10.最大P即每年只需從即每年只需從60萬元專款中拿出萬元?？钪心贸?0萬元投資，可獲最萬元投資，可獲最大利潤大利潤10萬元，這萬元，這10年的總利潤的最大值為年的總利潤的最大值為 8. 某地區(qū)地理位置偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土某地區(qū)地理位置偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷售，該地區(qū)政府每投資特產(chǎn)品只能在本地銷售，該地區(qū)政府每投資x萬元，所萬元，所獲利潤為獲利

21、潤為 萬元。為順應(yīng)開發(fā)大西萬元。為順應(yīng)開發(fā)大西北的宏偉決策，擬開發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開發(fā)前后用于北的宏偉決策，擬開發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開發(fā)前后用于該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是該項(xiàng)目投資的專項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是60萬元。若開發(fā)該萬元。若開發(fā)該產(chǎn)品，必須在前產(chǎn)品，必須在前5年中，每年從年中，每年從60萬元專款中拿出萬元?？钪心贸?0萬萬元投資修通一條公路，且元投資修通一條公路，且5年可以修通。公路修通后該年可以修通。公路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷售，每投資土特產(chǎn)品在異地銷售，每投資x萬元，可獲利潤萬元，可獲利潤問從十年的總利潤來看，該項(xiàng)目有無開發(fā)價(jià)值？問從十年的總利潤來看，該項(xiàng)目有無開發(fā)價(jià)值？10)4

22、0(16012xP)60(2119)60(1601592xxQ萬元。萬元。（ 2）若對該產(chǎn)品開發(fā)）若對該產(chǎn)品開發(fā)前前5年每年可用于對該產(chǎn)品的投資只有年每年可用于對該產(chǎn)品的投資只有30萬元，萬元，而函數(shù)而函數(shù) 在在( 0, 30 上遞增，上遞增， 10)40(16012xP所以當(dāng)所以當(dāng)x=30時(shí)，時(shí)， = 。最大P875前前5年的總利潤為年的總利潤為 （萬元）。（萬元）。837558751W設(shè)在后設(shè)在后5年中，年中，x萬元用于本地銷售投資，萬元用于本地銷售投資，60-x萬元用于異地銷售投資，則總利潤為萬元用于異地銷售投資，則總利潤為900)30( 552119160159510)40(16012

23、222xxxxW當(dāng)當(dāng)x=30時(shí)，時(shí)，W2有最大值有最大值4500。十年的總利潤有最大值：十年的總利潤有最大值： + 4500（萬元）。（萬元）。8375而而 + 4500100，8375故該項(xiàng)目具有極大的開發(fā)價(jià)值。故該項(xiàng)目具有極大的開發(fā)價(jià)值。W=1010=100（萬元）。（萬元）。 9. 某商品在近某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元元)與與時(shí)間時(shí)間t(天天)的函數(shù)關(guān)系是的函數(shù)關(guān)系是: t+20 (0t25 , tN) P= t+100 (25t30 , tN)該商品的日銷售量該商品的日銷售量Q(件件)與時(shí)間與時(shí)間t(天天)的函數(shù)關(guān)系是的函數(shù)關(guān)系是: Q= t+40 (0t30, tN), 求這種商品的日銷售金額的最大值求這種商品的日銷售金額的最大值.解解: 設(shè)日銷售金額為設(shè)日銷售金額為y元元, 則則y=PQ，y=(t+20) (t+40) (0t0)，銷售數(shù)量就減少銷售數(shù)量就減少kx%（其中（其中k為正常數(shù)）。目前，該商品定價(jià)為正常數(shù)）。目前，該商品定價(jià)為為a元，統(tǒng)計(jì)其銷售數(shù)量為元，統(tǒng)計(jì)