小學(xué)的奧數(shù)面積計算

1、再經(jīng)過分JLJt1第十八周面積計算（一）專題簡析:計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題的小“橋”，就會使你順利達到目的。 有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征， 添加一些輔助線，運用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當(dāng)合理的變形, 析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。圖形面積）簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等

2、等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4X4= 16（格）；右圖是3X5的長方形, 它的面積是 3X5= 15 （格）.上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5,高是4,面積是5X4 + 2= 10 （格）；右圖是一個鈍角三角形，底是 4,高也是4,它的面積是4X4+2= 8 （格）.這里特別說明，這兩 個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面上面左圖是一個平行四邊形，底是5,高是3,它的面積是 5X 3= 15 （格）；右圖是一個梯形，上底是 4,下底是7,高是4,它的面積是（4+7）

3、X 4+ 2=22 （格）.上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形 如果小正方形邊長是 1厘米，1 格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或 面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線組成的圖形， 都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：三角形面積=底X高+ 2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ) .因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.例1右圖中BD長是4, DC長是2,那么三角形 ABD的面積是三角形 ADC面積的多少倍

4、呢E DC解：三角形ABD與三角形 ADC的高相同.三角形ABD面積=4X高+ 2.三角形 ADC面積=2X高+ 2.因此三角形 ABD的面積是三角形 ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作 是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條高例2右圖中，BD, DE, EC的長分別是 2, 4,是線段AE的中點，三角形 ABC的高為 4.求三角形DFE的面積.解：BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積=8X 4 + 2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形 ADE,它與三角形 ABC的高相同，而 DE長是4, 也是BC的一半，因此三角形 A

5、DE面積是三角形 ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半, 三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.這樣一來5三角形DFE的面積是三角形ABC面積的1三角形 DFE面積=16+4=4.例3右圖中長方形的長是 20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積 .解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE 一樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是FEX BE- 2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的 一半.因此所有陰影的面積是長方形 ABCD面積的一半，也就是20

6、 X 12 + 2= 120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形 （陰影部分）的面積之和是長方形 ABCD面積的的一半.例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形 ABCD（陰影部分)的面積是多少解：把A和C連成線段，四邊形 ABCD就分成了兩個，三角形 ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10,因此面積=4X 10+2= 20.對三角形 ADC來說，DC是底邊，高是 8,因

7、此面積=7X 8+2 = 28.四邊形 ABCD面積=20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF,線段AE= 3, DF= 2,求三角形 BEF的面積.解：要直接求出三角形 BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面 積三角形ABE面積=3X6X2= 9.三角形 BCF面積=6X (6-2) +2= 12.三角形 DEF面積=2X (6-3) +2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF 面積=6X6-9-12-3 = 12.例6在右圖中，ABCD是長方形，

8、三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD (陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形 DCE與三角形 MBE的面積，然后用長方形 ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形 ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是7X2 + 2 = 7.因為M是線段DE的中點，三角形 DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形 MCE面 積是7+2=.因為BE= 8是CE= 2的4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形 MBE 面積是X4= 14.長方形 ABCD面積=7X

9、（8+2） =70.四邊形 ABMD 面積=70-7- 14= 49.二、有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長， 這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形 它有一個直角（90度），還有兩個角都是 45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角 三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（ a）.四個一樣的等腰直角三 角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）.一個等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是直角邊長的平方+ 2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方+ 4例7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角

10、形兩條直角邊長是 8.后一個三角形的 直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8X 8+2 = 32.這一個圖形的面積是32+ 16+ 8+ 4 + 2+ 1= 63.例8如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2, A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母D, E, F, G.三角形ABC的面積=2X2 +2=

11、2.三角形ABC, ADE, EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形 ADE的直角邊一樣長，因此三角形ADE面積=ABC面積X2=4.三角形EFG的斜邊與三角形 ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積+ 2 = 1.陰影部分的總面積是 4+1 = 5.例9如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度 AD=7, BC= 3,三個角的度數(shù):角B和D是直角，角A是45° .求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形 BCE.因為A是45° ,角D是90° ,角E是180° -45

12、° -90° = 45° ,所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即 7X 7+2-3X 3+2 = 20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題 .原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯 特錯了 .這樣做，角 A是45。，這一條件還用得上嗎圖形上線段相等，兩個三角形相等， 是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)

13、過幾何，千萬不要隨便 對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45。和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10在右圖11X15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標(biāo)號相同的兩個正方形為一對），每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少15*-L二三解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬=15-11 = 4是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長 =11-4X2 = 3.中間小正方形面積=3X3= 9.如果把這一圖

14、形，畫在方格紙上，就一目了然了 例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為 1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形 土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積 .解：剩下的長方形土地，我們已知道長-寬=1 （米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和 15 T515 T515. T515.75可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀

15、察一下，就會發(fā)現(xiàn),它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：X4+1X 1= 64 （平方米）.64是8X8,大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的長+寬=8 （米）.因此長=（8+1） + 2=（米）.寬=（米）.那么劃出的長方形面積是X 1 = 4. 5 （平方米）.例12如右圖.正方形ABCD與正方形 EFGC并放在一起.已知小正方形 EFGC的邊長是6, 求三角形AEG （陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2三角形ADG是直角三

16、角形，它的一條直角邊長DG二（小正方形邊長+大正方形邊長）因此三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形 EHG面積后，就有陰影部分面積二三角形ECG面積二小正方形面積的一半=6X 6+2= 18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)， 而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系 三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖）

17、，求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為的三角形有 1個，因此圍成 面積是4 X 4-3-5 = .例6與本題在解題思路上是完全類同的 .例14下圖中 ABCD是6X8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形 AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊 AF,但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形 AEB,底邊AB,就是長方形的長，高是長方形的寬，即 BC的 長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形 AFB是直角 三角形，它的兩條直

18、角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積=（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積） =8X 6+2-4X 8+ 2=8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當(dāng)然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底X高 .從圖上可以看出，底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10X2的長方形面 積相等.可以

19、設(shè)想，把這個平行四邊形換成10X2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積=（16-2） X （ 10-2） = 112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積D-' CE解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來 求它的面積.陰影部分與三角形 BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形， 它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形 .因此，梯形 ABCD的面積與陰影部分面積一 樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此

20、陰影部分面積等 于梯形 ABCD面積=（8+ 8-3） X 5-2=.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫 等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF, FE, EC都等于3, CB,BD都等于4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的三角形 ABC面積=（3+3 + 3） X 4+2=18.三角形 CDE面積=（4+4） X 3+2=12.這兩個直角三角形有一個重疊部分-四邊形BCEG只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因為AF= FE= EC= 3

21、,所以 AGF, FGE EGC是三個面積相等的三角形 .因為CB= BD= 4,所以CGB, BGD是兩個面積相等的三角形 .2X三角形DEC面積=2X 2X （三角形 GBC面積）+ 2X （三角形 GCE面積）.三角形ABC面積=（三角形 GBC面積）+ 3X （三角形 GCE面積）.四邊形BCEG面積=（三角形GBC面積）+ （三角形 GCE面積）=（2X 12+18） + 5所求圖形面積=12+ 18-=.例18如下頁左圖，ABCG是4X7長方形，DEFG是2X10長方形.求三角形 BCM與三 角形DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF三角形DEM與非陰影部

22、分合起來是兩個長方形的和.（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和=（7+ 10） X （4+2） -2- （4X7 + 2X 10）=3.13, 35, 49.例19上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是那么圖中陰影部分的面積是多少解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為 13, 49, 35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此（三角形 ABC面積）+ （三角形CDE面積）+ （ 13 + 49+ 35）=（長方形面積）+ （陰影部分面積）三角形ABC,底是長方形的長

23、，高是長方形的寬；三角形CDE,底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形 ABC面積，與三角形 CDE面積，都是長方形面積的一半，就有 陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.AE= ED, BD=2 BC,求陰影部分3例題1。已知圖181中，三角形 ABC的面積為8平方厘米,的面積。18-1【思路導(dǎo)航】陰影部分為兩個三角形，但三角形 AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED連接DF,可知Saaef=&edf （等底等高），采用移補的方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化 為求三角形BDF的面積。因為 BD=2 BC,所以 &bdf= 2Sa dcb 又因為 AE= ED,所以 S

24、aabf= & bdf= 2生dcf。 3因此，Sa ABC=5 & DCF,由于 泓ABC= 8平方厘米，所以 SaDCF= 8+ 5=（平方厘米），則 陰影部分的面積為X 2=（平方厘米）。練習(xí)11、 如圖18 2所示，AE= ED, BC=3BD, Saabc= 30平方厘米。求陰影部分的面積。2、 如圖18 3所示，AE=ED, DC=1 BD, Saabc= 21平方厘米。求陰影部分的面積。313、 如圖18 4所小，DE= 2 AE, BD= 2DC, Saebd= 5平萬厘米。求二角形 ABC的面積。例題2。兩條對角線把梯形 ABCD分割成四個三角形，如圖18 5

25、所示，已知兩個三角形的面積, 求另兩個三角形的面積各是多少AD12CB185【思路導(dǎo)航& ACD 相BO= 2DO2已知兩個三角形的118 618 7所示）2OB的長度為3DAAADOD48B.CCBB18-718-818-6AFE求梯形ABCD的面積AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積OD的3倍。求梯形ABCDAOD的面積是3兩條對角線把梯形 ABCD分割成四個三角形 面積，求另兩個三角形的面積是多少例題3。四邊形ABCD的對角線BD被倍。所以 AOD的面積為 因為SABD與SACD等底等高 因為SzxBOC是Sa DOC的2倍 所以 aod=6+2=3。6+2=3。

26、所以 Saabo= 6所以 ABOtHA AOD 的 2 倍& BOC是Sa DOC的2倍，且高相等，可知：A底等局）可知：Sa ABO等于6,而 aboAOD 的 2已知三角形 AOB的面積為15平方厘米 的面積。（如圖188所示）。O68401圖189所示）DC【思路號航】 小于E、F三等分BCD,所以三角形 ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它 們而面積相等。同理，三角形 BEG CEF CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形 AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形 CEF面積的3倍，從而得出四邊形 ABCD的面積是四邊形 AECF面積的3倍。15

27、X3=45 （平方厘米）答：四邊形 ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)31、 四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形 AECG的面積為15平方 厘米。求四邊形 ABCD的面積（如圖1810）。2、 已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖1811所示）。3、 如圖1812所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。181018-111、15X2=30平方厘米例題4。如圖1813所示，B* 2DO,陰影部分的面積是 4平方厘米。那么，梯形 ABCD的面 積是多少平方厘米18- 13【思路導(dǎo)航】因為BO= 2D

28、O,取BO中點E,連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性質(zhì),可知& DBC= SaCDA； &COB= SaDOA= 4 , 類推可得每個三角形的面積。所以，S cdo= 4+2=2 （平方厘米）序DAB= 4X 3= 12平方厘米S梯形ABCD= 12+4+2=18 （平方厘米）答：才|形ABCD的面積是18平方厘米。 練習(xí)41、 如圖18 14所示，陰影部分面積是 4平方厘米，OC= 2AO。求梯形面積。2、 已知OC= 2AO, SA BOC= 14平方厘米。求梯形的面積（如圖1815所示）。3、 已知 &aob= 6平方厘米。OC= 3AO,求梯形的面積（如圖 18 16所示）。例題5。如圖18 17所示，長方形 ADEF的面積是16,三角