函數(shù)奇偶性經(jīng)典講義-新

1、奇偶性部分I復(fù)習(xí)提問（一）奇偶函數(shù)的定義奇函數(shù)偶函數(shù)代數(shù)定義f x f x 怛成立f x f x怛成立幾何定義圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f 0 0圖像關(guān)于y軸對(duì)稱備注定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷奇偶函數(shù)的前提，函數(shù)奇偶性是函數(shù) 的整體性質(zhì)。（二）、函數(shù)按奇偶分類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（非奇非偶）（三）、奇偶函數(shù)的性質(zhì)：1、奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)2、奇偶函數(shù)的加減：奇 奇二奇，偶 偶二偶，奇 偶二非奇非偶；奇偶函數(shù)的乘除：同偶異奇3、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反。4、定義在R上的任意函數(shù)f x都可以唯一表示成一個(gè)奇

2、函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和fxfx_ fxfx,奇偶22（四）、函數(shù)奇偶性的做題方法與步驟。第一步，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步，求出 f x的表達(dá)式；第三步,比較fx與f x的關(guān)系x與f x相等，函數(shù)為偶x與f x互為相反數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)n題型與方法歸納定義法：1）看定義域是否關(guān)于0,0對(duì)稱，2）若題型與方法0,則是奇函數(shù)0,則是偶函數(shù)快速判定奇偶加減：奇奇=奇，偶偶=偶，奇 奇偶乘除：同偶異奇。偶=非奇非偶、判定奇偶性例1:判斷下列函數(shù)的奇偶性1)x2 11 xr-x10g2f x .1 x2, x2 14)12 x 121 2 -x2解:1)x的定義域?yàn)镽, fx所以原函數(shù)為偶函數(shù)

3、。2)的定義域?yàn)槎 1 ,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f10g21 x r-x log 23)f x的定義域?yàn)?)f x的定義域?yàn)楹瘮?shù)。5)分段函數(shù)當(dāng)x 0時(shí),當(dāng)x 0時(shí),綜上所述，在x ,所以原函數(shù)為奇函數(shù)。x20 r，0即x 1 ,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f1 01,所以原函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以原函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶f x的定義域?yàn)?00,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,1x2 121x2 12,00,上總有f1x2 121x2 12所以原函數(shù)為奇函數(shù)。注意：在判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，要對(duì)x在各個(gè)區(qū)間上分別討論，應(yīng)注意由x的取值范圍確定應(yīng)用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。練習(xí)1:判斷下列函數(shù)的奇偶性x 6

4、 x2 11 ) f x 2,23) f xVx23 V3_x2x x2x x、利用奇偶性求函數(shù)解析式:例2:設(shè)f x是R上是奇函數(shù)，且當(dāng)x 0, 時(shí)f x x 1 次，求f x在R上的解析式解：當(dāng)x 0, 時(shí)有f x x 1 3/x ,設(shè)x ,0 ,則x 0,從而有f x x 1 Txx 1 3/x，: f x 是 R上是奇函數(shù)，f x f x_x 1 3 x x 0所以fx f x x 1 3/x ,因此所求函數(shù)的解析式為f xx 1 表 x 0注意：在求函數(shù)的解析式時(shí)，當(dāng)球自變量在不同的區(qū)間上是不同表達(dá)式時(shí)，要用分段函數(shù)是形式表示出來。練習(xí)2:已知y f x為奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f xx

5、2 2x,求f x的表達(dá)式。練習(xí)3、已知f x為奇函數(shù)，g x為偶函數(shù)，且f x g x ex ,求函數(shù)f x的表達(dá)式。例3:設(shè)函數(shù)f x是定義域R上的偶函數(shù)，且圖像關(guān)于x 2對(duì)稱，已知x 2,2時(shí)，f xx2 1求x 6, 2時(shí)f x的表達(dá)式。解：:圖像關(guān)于x2對(duì)稱， f2 x f 2 x ,f x f2 2x=f 4 x f x4 fx 4 fx f x 4 T4 x6, 2一一-2-x 42,2 f x 4 x 41 f x2所以x 6, 2時(shí)f x的表達(dá)式為f x = x 41練習(xí)3：已知函數(shù)f x為奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f x 2x2 3x ,求f x的表達(dá)式。例4:已知函數(shù)f xx5

6、 ax3bx 8且f210,求f 2的值解：令 gx x5ax3bx,貝Ufx g x8f 2 g 2 810 g 218；g x 為奇函數(shù)， g2g 218 g 218f 2 g 2818826練習(xí)4:已知函數(shù)f xax7bx5cx3dx 4且f 39,求f 3的值。例5:定義在R上的偶函數(shù)f x在區(qū)間 ,0上單調(diào)遞增，且有f 2a2 a 1 f 3a2 2a 1求a的取值范圍。127c122解：2a2a 1 2 a-0,3a22a 1 3 a-0,且f x為偶函數(shù)，且在區(qū)間4833,0單調(diào)遞增，f x在區(qū)間0,上為減函數(shù)，2a2 a 1 3a2 2 10 a 3所以a的取值范圍是0,3 o

7、點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，將函數(shù)值之間的大小關(guān)系轉(zhuǎn)換為自變量的大小關(guān)系，從而應(yīng)用不等式有關(guān)知識(shí)求解.練習(xí)5:定義在 1,1上的奇函數(shù)f x為減函數(shù)，且f 1 a f 1 a20,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)6:定義在2,2上的偶函數(shù)gx,當(dāng)x 0時(shí)，g x為減函數(shù)，若g 1 mg m成立，求m的取值范圍三、抽象函數(shù)奇偶性的判斷解題方法與步驟：(1)設(shè)/令(2)求值 (3)判斷對(duì)任意的x,y,均有f xy xf y yf x ,是判斷函數(shù)奇偶性。解：設(shè) y=-1 ,貝U f x xf 1 f x o 令 x=y=-1, f 11 f 1，令 x=y=1, f 1 o,所以f x f x , f

8、x是奇函數(shù)。練習(xí)1、已知f x y f x y 2f x f y ,且f 00,判斷函數(shù)f x的奇偶性。練習(xí)2、fxy f x fy,xyR,判斷函數(shù)的奇偶性。趁熱打鐵1、判斷下列函數(shù)的奇偶性.x xx x(1) y x x9 5; (2) y loga(x Vx2 1); (3) y - ; (4) y - 222、設(shè)函數(shù)f(x)定義在a, a上，證明：(1) f (x) f ( x)為偶函數(shù)；(2) f (x) f ( x)為奇函數(shù).3、若函數(shù)f x在區(qū)間a3 3,2a上是奇函數(shù)，則a=() 3 lx 3 、一4、已知函數(shù)f x J 3 ,則它是() 4 x2A奇函數(shù) B 偶函數(shù) C即是奇

9、函數(shù)又是偶函數(shù)D 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5. x，y R，f xy f x f y，判斷f x的奇偶性。溫故知新1 .判斷下列函數(shù)的奇偶性2 41 y 2x x ;3 y sinx cosx;(5) f x x2 1 x 32 y sinxcosx;1 x4 y In .1 xx 1 x 0(6) f x 0 x 0x 1 x 015、已知函數(shù)f (x) a 2x12 .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x 4) f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則().A. f( 25)f(11)f(80)B.f(80)f(11) f( 25)C. f(11)f(80)f ( 25)D.f( 25

10、)f(80)f(11)3 .已知函數(shù)”刈是(,)上的偶函數(shù)，若對(duì)于 x 0,都有f(x 2)f(x),且當(dāng)x 0,2)時(shí),f(x) 10g2(x 1),貝u f( 2008) f (2009)的值為()A.2B ,1C. 1D, 24.函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽,若 f (x1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，則()(A) f(x)是偶函數(shù)(B)f(x)是奇函數(shù)(C) f(x) f(x 2)(D)f(x 3)是奇函數(shù)(1)求證：不論a為何實(shí)數(shù)f總是為增函數(shù);(2)確定a的值，使f為奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求f(x)的值域。0,1 時(shí),6、函數(shù)f x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x R,

11、均有f x 2 f x成立。當(dāng)xf xloga 2 x ,a 1(1)當(dāng)x 2k 1,2 k 1 (k Z)時(shí)，求f x的表達(dá)式;(2)若f x的最大值為1 ,解關(guān)于x的不等式f例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)2 x (x 2),2 x2 x , f(x) (x 2) 2 x，( 2 x 2)(3) f(x) ln(x x2 1)1 x(4) f(x) 1g 1 x例1判斷函數(shù) /(x)=3x 2, x2(一三二的奇偶性。/A<0判斷函數(shù)I" 工之的奇偶性。/斤)=1旗國十五'+3) - 2每3判斷函數(shù)2的奇偶性。一判斷函數(shù),口的奇偶性。判斷函數(shù)A <0乙

12、A= 0-/+21-3 賓> 口一 一一11、，例 2.已知 f(x) X (萬 -),(x 0)(1) 判斷f(x)的奇偶性。(2)證明 f(x)>0.1.已知奇偶性求值例.(1)已知f(x) |x 1| |x a|是奇函數(shù)，則a2010(2)若 f(x) (x 1)(x a)是奇函數(shù),則 a=. x, 一a2a2 1，(3)已知函數(shù)f (x) x (-0 2a1)(x 0)是偶函數(shù)，則a=2121 .判斷下列函數(shù)的奇偶性:,八1(1) f (x) x x/八11(4) f(x)-21 2hx2(2) f(x) (3)f (x) 2x 1 2x 1|x 2| 2(5) f(x)

13、x 1 J1-x 1(6) y x a (a R) f (x)2x x 4x2x x 4x2.若f(x)2 x2x 3是偶函數(shù)，則f(x)的遞減區(qū)間是x 13.已知f (x)(A) 26(B) 18(C) 10(D)104.已知函數(shù)f(x)是定義R在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0 時(shí)，f (x)x 1 ,求f(x)的解析式.5.設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f (x)10的解6.函數(shù)y f(x) x 0是奇函數(shù)，且當(dāng)x 0, 時(shí)是增函數(shù)，若 ”1) 0,求不等式f x x2集.7.定義在1,1上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x 0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，若f(1 m)f (2 m)成立，求m的取值范圍8

14、.已知函數(shù)f(x) ax2 bx 3a b為偶函數(shù)，其定義域是a 1,2a ,求f(x)的值域9.已知函數(shù)f (x)axb是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，且f1 x(2)1)確定函數(shù)f(x)的解析式;(2)用定義f(x)證明在(1,1)上是增函數(shù)(3)解不等式f(t 1) f(t) 0.高考題練習(xí)310. (07廣東又3)若函數(shù)f (x) x (xR),則函數(shù)y f ( x)在其定義域上是(A.單調(diào)遞減的偶函數(shù)C.單調(diào)遞增的偶函數(shù)B.單調(diào)遞減的奇函數(shù)D.單調(diào)遞增的奇函數(shù)1, f 22,則 f 3 f 411. (10安徽理4)若f x是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足 f 1A.B .CD.12.

15、(10廣東文3)若函數(shù)f xA . f x與g x均為偶函數(shù)C. f x與g x均為奇函數(shù)3x 3x與g x 3x 3 x的定義域均為 則(B. f x為奇函數(shù)，g x為偶函數(shù)D. f x為偶函數(shù)，g x為奇函數(shù)113. (07山東理4)設(shè)a1,1,一,3，則使函數(shù)y xa的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有 a值為()214. (08安徽理11)若函數(shù)f(x), g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足 f (x) g(x) ex ,則有()A. f(2)f(3) g(0)B . g(0)f(3)f(2)C. f(2) g(0)f(3)D . g(0)f(2) f (3)15. (08湖北文6)已知f (x)在R上是奇函數(shù)，且 f(x 4) f(x)，當(dāng)x (0,2)時(shí)，f(x) 2x2,則f().2C16. (10山東文5)設(shè)f x為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0時(shí)，f x2x 2x b(b為常數(shù))，則f 1( ).A. 3 B .1C. 1 D .317. (08重慶理6)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意xi,X2 R有f(x1+x2)=f