圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)基礎(chǔ)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓1橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a 大于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離 2c叫橢圓的焦距.假設(shè) M為橢圓上任意一點(diǎn),那么有|MF1| |MF2 | 2a.2222橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：xV21(ab0 焦點(diǎn)在x軸上或 2x21(ab0 焦點(diǎn)在y軸abab上.注：以上方程中a,b的大小a b 0 ,其中b2 a2 c2 ；2222xVVx一 22在 1和 1兩個(gè)方程中都有 a b 0的條件,要分清焦點(diǎn)的位置,只要看 x和v的分ababx2 v2母的大小.例如橢回 一 1 m 0, n 0 , m n當(dāng)m n時(shí)

2、表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng) m n時(shí) m n表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.2 x 范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程烏 a2V b2 對(duì)稱性：在曲線方程里,假設(shè)以 所以曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,同理,以2橢圓的性質(zhì)1知|x| a, | y| b ,說(shuō)明橢圓位于直線 x a, yb所圍成的矩形里；y代替y方程不變,所以假設(shè)點(diǎn)x,y在曲線上時(shí),點(diǎn)x, y也在曲線上, x代替x方程不變,那么曲線關(guān)于 y軸對(duì)稱.假設(shè)同時(shí)以 x代替x, y代替y方程也不變,那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以,橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱.這時(shí),坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸,原點(diǎn)是對(duì)稱中央,橢圓的對(duì)稱中央 叫橢圓的中央；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置,常需要求出曲線與

3、x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,令x 0,得v b ,那么B10, b , B20,b是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).同理令 y 0得x a ,即A a,0, A2a,0是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).所以,橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè),這四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).同時(shí),線段 AA、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸,它們的長(zhǎng)分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為a ；在Rt OB2F2中,|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a ,222222且 |OF2 |2| B2F2 |2| OB2 |2,即 c2a2b2

4、 ；c離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比e 叫橢圓的離心率.a c 0,0 e 1,且e越接近1, c就越接近a ,從而b就越小,對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之, e越接近于0 , c就越接近于0 ,從而b越接近于a ,這時(shí) 橢圓越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng) a b時(shí),c 0,兩焦點(diǎn)重合,圖形變?yōu)閳A,方程為 x2 v2 a2.2.雙曲線1雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線| PF1 | | PF2 | 2a .注意：式中是差的絕對(duì)值,在0 2a | F1 F2 |條件下；|PF1| |PF2| 2a時(shí)為雙曲線的一支； |PF2| |PF1| 2a時(shí)為雙曲線的另一支含 F的一支；當(dāng)2a

5、 |FF2|時(shí),| PF | |PF2| 2a表示兩條射 線；當(dāng)2a | F1F21時(shí),|PF1 | |PF2| 2a不表示任何圖形；兩定點(diǎn) F,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn),| F1F2 |叫做橢圓和雙曲線比較:橢圓雙曲線定義IPF1I IPF2I 2a(2a |嚇|)IIPF1I | PF2 | 2a(2a |嚇|)方程22x V 1子薩122薩m 122X V 1廣甘122y X 1a2甘1焦點(diǎn)F( c,0)F(0, c)F( c,0)F(0, c)注意：如何用方程確定焦點(diǎn)的位置！范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程2 X 2 a對(duì)稱性:2是雙曲線筆a2& 1,看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線 b2a即雙

6、曲線在兩條直線 x a的外側(cè).x2雙曲線二a2L 1的對(duì)稱中央,雙曲線的對(duì)稱中央叫做雙曲線的中央. b2x a的外側(cè).即2& 1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的,這時(shí),坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸, b2原點(diǎn)頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn).在雙曲線2 X2 a2& 1的方程里,對(duì)稱軸是 b2x,y軸,所2 x 以令y 0礙x a,因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A a,0A2a,0,他們是雙曲線 a2 y b21的頂點(diǎn).令x 0,沒(méi)有實(shí)根,因此雙曲線和 y軸沒(méi)有交點(diǎn).1注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè),這是與橢圓不同的橢圓有四個(gè)頂點(diǎn) 端點(diǎn).2 實(shí)軸：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于2a,

7、a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng).虛軸：線段B B？叫做雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)等于,雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)2b,b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng).漸近線：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形,矩形確定了兩條對(duì)角線,這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線.從2圖上看,雙曲線W a 等軸雙曲線：2 1的各支向外延伸時(shí),與這兩條直線逐漸接近.b21 定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線.定義式：a b；2 等軸雙曲線的性質(zhì)：1漸近線方程為：y x ； 2漸近線互相垂直.注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià).亦即假設(shè)題目中出現(xiàn)上述其一,即可推知雙曲線為等軸雙曲線,同時(shí)其 他幾個(gè)亦成立.3注意到等軸雙曲線的特征當(dāng)0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上.x2

8、注意16 軸也變了.3.拋物線1拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn) 拋物線的焦點(diǎn),定直線16方程y2 2 px22b,那么等軸雙曲線可以設(shè)為：x y 0,當(dāng)0時(shí)交點(diǎn)在x軸,1的區(qū)別：三個(gè)量a,b,c中a,b不同互換c相同,還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)F和一條定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線定點(diǎn)F不在定直線l上.定點(diǎn)F叫做p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2雙曲線的性質(zhì)注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)是F 巖,0 ,它的準(zhǔn)線方程是 x 壹；2拋物線的性質(zhì)一條拋物線,由于它在坐標(biāo)系的位置不同,方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y22px , x2 2py , x22py.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如卜表:標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程寸2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)圖形I y a卜焦點(diǎn)坐標(biāo)(E,0)2(？,0)2(0占2(0,)2準(zhǔn)線方程x E2x衛(wèi)2py ;py 一2范圍x 0x 0y 0y 0對(duì)稱性x軸x軸y軸y