江蘇省南京市2020屆高三數(shù)學(xué)5月模擬試題(含答案)

1、江蘇省南京市2020屆高三數(shù)學(xué)5月模擬試題含答案(滿分160分，考試時間120分鐘)2019. 5一,、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1 .已知集合 A= x|x|<1, xCZ, B= x|0 WxW2,則 AA B=.2 .已知復(fù)數(shù)z=(1 +2i)(a +i),其中i是虛數(shù)單位.若 z的實部與虛部相等，則實數(shù) a 的值為.3 .某班有學(xué)生52人，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為4的樣 本.已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號是1張獎券，兩人4 . 3張獎券分別，標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎.甲、乙兩人同時各抽取都未抽得

2、特等獎的概率是 .5 .函數(shù)f(x) =qx+log 2(1 - x)的定義域為 6 .如圖是一個算法流程圖，則輸出 k的值為(第7題).7 .若正三棱柱 ABCAB1C1的所有棱長均為 2,點P為側(cè)棱AA上任意一點，則四棱錐PBCGB1 的體積為.8 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點P在曲線C： y = x310x+3上，且在第四象限內(nèi).已知 曲線C在點P處的切線方程為y=2x+b,則實數(shù)b的值為.9 .已知函數(shù)f(x) =V3sin(2x +。)一 cos(2x +。)(0<。<兀)是定義在 R上的奇函數(shù)，則 兀f(-)的值為.10 .如果函數(shù) f(x) =(m-2)x2+2(

3、n -8)x + 1(m, nCR 且小 2, n>0)在區(qū)間2, 2上單 調(diào)遞減，那么 mn的最大值為 .222P,且FiP=FiF2,則雙曲線的離心率為11 .已知橢圓X2+y2= 1與雙曲線022- b2=1(a>0, b>0)有相同的焦點，其左、右焦點分別為Fi, F2.若橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為1、一 一12 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A的坐標(biāo)為(0, 5),點B是直線l : y=x上位于第一 象限內(nèi)的一點.已知以AB為直徑的圓被直線l所截得的弦長為2，5,則點B的坐標(biāo)為 .*an+2, n=2k- 1, kC N,13 .已知數(shù)列an的前n項和為Sn

4、, a1=1, a2= 2, an+2=*則滿2an, n=2k, k N,足2 019 w Sw 3 000的正整數(shù) m的所有取值為 .14 .已知等邊三角形 ABC的邊長為2, 正2MB點N, T分別為線段 BC CA上的動點，則AB-Nt+bc- tWCa- MN取值的集合為.二、 解答題：本大，題共6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或 演算步驟.15 .(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角a的終邊與單位圓 。交于點A,且點A的縱坐標(biāo)是噂.(1)求 cos( a 341)的值；(2)若以x軸正半軸為始邊的鈍角3的終邊與單位圓。交

5、于點B,且點B的橫坐標(biāo)為一乂5,5求a + 3的值.1!16 .（本小題滿分14分）如圖，已知正方形 ABCD矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB= 12, AF= 1, M是線段EF 的中點.求證：AM /平面BDE(2) AM，平面 BDF.17 .（本小題滿分14分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示，該封閉區(qū)域由以 O為圓心的半圓及直徑 AB圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個以O(shè)A為直徑、C為圓心的半圓形展示區(qū)，該廣告商欲在此基礎(chǔ)上，將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū)COPQ其中P, Q分別在半圓O與半圓C的圓弧上，且 PQ與半圓C相切于點Q.已知AB長為40米，設(shè)/ BOP

6、2 0 .（上述圖形均視作 在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形COPQ勺周長為f（。），求f（。）的表達式；（2）要使改建成的展示區(qū) COPQ勺面積最大，求sin 0的值.o a18.(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓2yb2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi, F2,且點Fi, F2與橢圓C的上頂點構(gòu)成邊長為 2的等邊三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)已知直線l與橢圓C相切于點P,且分別與直線 x=4和直線x= 1相交于點 MNR,N.試判斷正是否為定值，并說明理由. IVIF19.(本小題滿分16分)n (bi+bn)n (n+1).， 、 、一 * 、

7、、, ,一一已知數(shù)列an滿足ai a2an = 22 (n C N),數(shù)列b n的前n項和Sn=_ * 一(n N),且 bi= 1, b2=2.(1)求數(shù)列a n的通項公式；(2)求數(shù)列bn的通項公式；、一 11(3)設(shè)Cn = -,記Tn是數(shù)列Cn的前n項和，求正整數(shù) m使得對于任意的 nC an bn , bn+1* *N均有 Tm> Tn.20 .(本小題滿分16分)設(shè)a為實數(shù)，已知函數(shù)f(x) =axex, g(x) =x+ln x.當(dāng)a<0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)b為實數(shù)，若不等式f(x) >2x2+bx對任意的a>1及任意的x>0恒成立

8、，求b的取值范圍；(3)若函數(shù)h(x) =f(x) +g(x)(x>0 , xC R)有兩個相異的零點，求 a的取值范圍.高三模擬考試試卷數(shù)學(xué)附加題(滿分40分，考試時間30分鐘)21 .【選做題】 在A, B, C三小題中只能選做兩題，每小題 10分，共20分.若多做, 則按作答的前兩題計分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.(選彳42:矩陣與變換)111 0已知矩陣A=,二階矩陣B滿足AB=.010 1(1)求矩陣B;(2)求矩陣B的特征值.B.(選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)兀設(shè)a為實數(shù)，在極坐標(biāo)系中，已知圓 p = 2asin 0 (a>0)與直線p cos

9、( 0 + ) = 1相切,求a的值.C.(選彳45：不等式選講)求函數(shù)y =1 x + 43x+ 2的最大值.【必做題】第22, 23題，每小題10分，共20分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在四棱錐 PABC砰,PAa平面 ABCD / ABC= / BAD= 90° , AD= AP= 4, AB= BC= 2,點M為PC的中點.(1)求異面直線AP與BM所成角的余弦值；4 ,，.(2)點N在線段AD上，且Ag入，若直線 MNf平面PBC所成角的正弦值為 工，求入的5值.23.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標(biāo)

10、軸的正方 向或負方向行進，且每一步只能行進1個單位長度，例如：該機器人在點 (1 , 0)處時，下一步可行進到(2, 0)、(0, 0)、(1,1)、(1, - 1)這四個點中的任一位置.記該機器人從坐標(biāo) 原點O出發(fā)、行進n步后落在y軸上的不同走法的種數(shù)為L(n).(1)求 L(1) , L(2) , L(3)的值；(2)求L(n)的表達式.數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1. 0 , 1 2. -3 3. 18 4. 1 5. 0 , 1)36. 3 7.芋 8. -13 9.g10.1812. (6 , 3)13. 20 , 21 14. -615 .解：因為銳角”的終邊與單位圓 O交于點A,且點A

11、的縱坐標(biāo)是 割,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知sin a10從而cosa = .1 - sin 2 a=3(310 .(分）(1) cos(3兀；-)=cos4c cos+ sin 43兀3J10sin T= 10_><(-坐（6分）(2)因為鈍角3的終邊與單位圓O交于點B,且點B的橫坐標(biāo)是一羋，所以cos 3 ='5老，從而sin53 = 11 cos2 3 = -.(8 分)10、.5,3 10, 2 5sin( a + 3 ) = sin a cos 3 + cos a sin 3 = ；。乂 ( 一 5-) + - x 5=.(10 分)因為a為銳角，3為鈍角，所

12、以 a + 3 C （-,苓），（12分）一一3兀八從而 + 3= .（14分）16 .證明：（1） 設(shè) ACn BD=。，連結(jié) OE四邊形 ACEF是矩形，EF/AC, EF= AC.O是正方形ABCD寸角線的交點，O是AC的中點.又點 M是EF的中點，EM/ AO EMk AO.四邊形AOE娓平行四邊形，AM/ OE.（4 分）OE： CT平面BDE AM 平面BDEAM/平面 BDE.(7 分)(2) 正方形 ABCDBDXAC. 平面ABCm平面ACE已AC,平面 ABCDL平面 ACEF bD=平面ABCDBD，平面 ACEF.(9 分) AM'U 平面 ACEFBD

13、7;AM.(10 分) 正方形 ABCD AD= ，OA=1.由(1)可知點M O分別是EF, AC的中點，且四邊形 ACEF是矩形.AF = 1, 四邊形AOM思正方形，(11分)AM±OF.(12 分)又 AM! BD 且 OFA BD= 0, OF平面 BDF bD 平面 BDFAM,平面 BDF.(14 分)兀17.解：(1)連結(jié)pc.由條件得ee(0,萬).在4PO計,OC= 10, OP= 20, /POC=Tt -20 ,由余弦定理，得PC2= oC+ Op20c OPcos(兀-20 )= 100(5 + 4cos 2。). (2 分)因為PQ與半圓C相切于點Q,所以

14、CQL PQ所以 PQ=PC2CQ= 400(1 +cos 2 0 ),所以 PQ= 20小cos 0 .(4 分)所以四邊形 COPQ勺周長為f( 9)=ca 0%P0 QC= 40+2042cos 0 ,即 f( 0 ) = 40 + 20>/2cos 。C (0 ,彳).(7 分)(沒寫定義域，扣2分)(2)設(shè)四邊形COPQ勺面積為S( 0 ),則S( 0 ) = Sa ocp-F Saqc- 100( pcos 0 + 2sin 0 cos 0 ) , 0 (0 , -2-) . (10 分)所以 S' ( 0) = 100( sin 0 + 2cos2 0 2sin 2

15、 0 ) = 100( 4sin 2 0 gsin 0 + 2),0e(0, y). (12 分)人，3x/34-J2令 S (t) = 0,得 sin 0 = X-t-. 8列表：sin 034-2(0，a )8y34y2 8V34 (,1)S' ( 0)十0一S(0)增一最大值減答：要使改建成的展示區(qū)COPQ勺面積最大，sin 。的值為.（14分）818.解：（1）依題意）2c = a=2）所以 c= 1, b = 3）22x y所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-+1 = 1.（4分）（2） 因為直線l分別與直線x=4和直線x=1相交, 所以直線l 一定存在斜率.（6分）y= kx + m

16、3x2+4y2= 12,設(shè)直線l : y = kx + m,得(4k 2+ 3)x 2+ 8kmx+ 4(m2 3) = 0.由 A= (8km)24X (4k2+3) X4(m23) =0, 得 4k2+3 m2=0 .(8 分)把 x = 4 代入 y=kx + n 彳M M( 4, 4k+m),把 x = 1 代入 y= kx + n 彳N N( 1, k + m), (10 分)所以 NF=| -k+ m|,，(12分)MF= y (- 4+ 1)T-4k+ mm_2 = 9 + (一 4k + nrj) 由式，得3= m2-4k2，把式代入式，得 MF=4 (km) 2 =2| -k

17、+m|,NF |k -m| 1MF-2|k -m|2NF 、-1、即而為定值2.(16分)1 X 219.解：(1) a=2 2 =2; (2 分)n (n+1)當(dāng) nR2 時，an = a1a2 an1an =22=2n.a1a2 an 1(n 1) n22所以數(shù)列an的通項公式為an = 2n(n C N*) . (4分) ,_ n (b1+ bn(2)由 S= 0,彳導(dǎo) 2Sn=n(b1 + bn)，所以 2Sn 1=(n1)(b 1+bn 1)(n >2).由一，得 2bn=b1 + nbn(n 1)bn 1, n>2,即 b1+(n 2)bn(n 1)bn 1=0(n &

18、gt;2)，所以 b1+(n3)bn(n 2)bn 1 = 0(n >3).由一，得(n2)bn2(n2)bn 1+(n2)bn 2=0, n>3, (6 分)因為n>3,所以n-2>0,上式同除以(n - 2),得 bn2bn 1+bn 2=0, n> 3, 即 bn+1 bn= bn bn- 1 =b2 b1=1,所以數(shù)列bn是首項為1,公差為1的等差數(shù)列， *故 bn= n, n C N .(8 分)11111 n (n+1)因為 cn=an bnT- = 2n-n (n+1) =n (n+1) -2-1，(10 分) 所以 C1= 0, C2>0,

19、C3>0, C4>0, C5<0.、- n (n+1)記/n) =2n,當(dāng) n>5 時，f(n +1) f(n)所以當(dāng)n>5時，數(shù)列f(n)(n+1) (n+2) n (n+1)(n+1) (n 2n+12= 2n+15X6為單倜遞減數(shù)列，當(dāng) n>5時，f(n)<f(5)< 一失，一、“1 n (n+1)八從而，當(dāng)n>5時，Cn=1<0.(14 分) n (n + 1)2因此 T1<T2<T3<T4 , T4>T5>T6>.一一、.、 *所以對任意的nCN, T4>Tn.綜上，nn= 4.(1

20、6 分)(注：其他解法酌情給分)20.解：(1)當(dāng) a<0 時，因為 f ' (x) = a(x + 1)ex,當(dāng) x<1 時，f' (x)>0 ;當(dāng)x>-1時，f ' (x)<0.所以函數(shù)f(x)單調(diào)減區(qū)間為(8, 1),單調(diào)增區(qū)間為(一1, + 8).(2 分)(2)由 f(x) > 2x2+ bx,得 axex> 2x2+ bx,由于 x>0,所以aex>2x + b對任意的a>1及任意的x>0恒成立.由于ex>0,所以ae x > ex,所以ex - 2x > b對任意的x>

21、;0恒成立.(4分)設(shè) 4 (x) =ex2x, x>0,則 4 ' (x) =ex2,所以函數(shù)()(x)在(0, In 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2 ,十)上單調(diào)遞增，所以(f) (x) min = (f) (ln 2) = 2 2ln 2 ,所以 b<2-2ln 2.(6 分),x/口，x 1(x+1)( axe +1)(3) 由 h(x) = axe + x + ln x，得 h (x) = a(x + 1)e + 1 + -=, 其xx中 x>0. 若a>0時，則h' (x)>0 ,所以函數(shù)h(x)在(0, +oo )上單調(diào)遞增，所以函數(shù)h

22、(x)至多有一個零零點，不合題意；(8分)若 a<0 時，令 h' (x) = 0,得 xex= - ->0.a由第(2)小題知，當(dāng) x>0 時，()(x) =ex-2x>2-2ln 2>0 ,所以 ex>2x,所以 xex>2x2,所 以當(dāng)x>0時，函數(shù)xex的值域為(0 , +°° ).所以存在 xc>0,使得 axcex0+ 1 = 0,即 axcex0= 1 ，且當(dāng)x<xo時，h' (x)>0 ,所以函數(shù)h(x)在(0 , xo)上單調(diào)遞增，在(x 0, +°°)上

23、單調(diào)遞減.因為函數(shù)有兩個零點xb x2,所以h(x) max= h(x 0) = axoexo + xo + ln x 0= - 1 + xo+ ln x 0 >0 .1設(shè) 4 (x) = 1 + x + ln x , x>0,則 4(x) = 1 + ->0,所以函數(shù)()(x)在(0 , +°° )上單調(diào)遞增.由于()(1) =0,所以當(dāng)x>1時，()(x)>0 ,所以式中的Xo>1.1又由式，得 x0ex0= 一 .a由第(1)小題可知，當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞減，所以1>e,a即 aC (0) .

24、 (11 分)e當(dāng) aC ( 一； 0)時， e1(i)由于 h(1) =aee+(1-1)<0 ,所以 h(1) h(x0)<0. e e ee1因為-<1<Xo,且函數(shù)h(x)在(0 , Xo)上單倜遞減，函數(shù) h(x)的圖象在(0 , Xo)上不間斷，e所以函數(shù)h(x)在(0, X0)上恰有一個零點；(13分)1(ii) 由于 h(a)=e F ln(),令 t = >e, a a aa設(shè) F(t) = et + t+ln t , t>e ,由于 t>e 時，In t<t , et>2t,所以設(shè) F<0 ,即 h(1)<0

25、. a1L , , I由式，得當(dāng)X0>1 時，-=X0ex0>X0,且 h(一己) h(x。)<0 ,同理可得函數(shù)h(x)在(X0, +8)上也恰有一個零點.綜上，aC (0) . (16 分)、 e2019屆高三模擬考試試卷（南師附中）數(shù)學(xué)附加題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)21. A.解：（1）由題意，由矩陣的逆矩陣公式得B= Z= 11 .（5分）0 -1（2）矩陣B的特征多項式f（入）=（入+ 1）（入一1）, （7分）令f（入）=0,解得入=1或一1 , （9分）所以矩陣B的特征值為1或1.（10分）B.解：將圓p = 2asin。化成普通方程為x2+y2=2ay,整理得x2+ （y - a） 2= a2.（3分）將直線p cos（ 0 + ） = 1化成普通方程為 x y yJ2= 0.（6分）因為相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即 1a +J2| =a, （9分）2解得a=2+小.（10分）C.解：因為（/；+，3x+2）2=（#3 3x y3+3x+2 ?。?W（33x+3x+2）（1+1） =20, （3 分） 33所以 y = 11 - x +，3x+ 2W 竺5.（5 分） 3當(dāng)且僅當(dāng)32券=與2，即x=：7e|, 1時等號成立.（8分） I I1233所以y的最大值為2華.（10分）22.解：（1） 因為PA，