高數(shù)期末考試定積分(復(fù)習(xí)必備)

1、第五章 定積分一、 基本要求：1. 理解定積分的概念、幾何意義及定積分的性質(zhì).2. 理解積分上限的函數(shù)，并掌握其求導(dǎo)法則.3. 掌握牛頓萊布尼茲公式.4. 掌握定積分的換元法和分布積分法.5. 理解反常積分(廣義積分)的概念，會(huì)計(jì)算反常積分。了解定積分的近似計(jì)算方法.二、 主要內(nèi)容 定積分概念定積分的近似計(jì)算方法定積分的換元法定積分的性質(zhì)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定積分的分部積分法定積分的幾何意義利用對(duì)稱區(qū)間的積分性質(zhì)計(jì)算定積分牛頓萊布尼茲公式*反常積分的審斂性無窮限的反常積分計(jì)算無界函數(shù)的反常積分計(jì)算反常積分(廣義積分)利用周期性計(jì)算定積分.定積分概念：1. 定積分定義：設(shè)在區(qū)間上有界，在中任意

2、插入若干個(gè)分點(diǎn).把分成個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長度記為，在上任意取一點(diǎn)，作，若 存在. 就稱該極限為在上的定積分.記為，當(dāng)上述極限存在時(shí)，稱在上可積.2. 若在上連續(xù)，則在上可積。3. 若在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積. .定積分的幾何意義 定積分在幾何上表示：由曲線，直線和以及軸所圍圖形面積的代數(shù)和 (軸上方的面積取正，軸下方的面積取負(fù)).定積分的性質(zhì)1. 補(bǔ)充規(guī)定：(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí), 2. 性質(zhì)：(1) (2) (3) (4)(5) 若在上，則 推論1：若在上，則. 推論2：.(6 ) 若在上，,則(7) (定積分中值定理)：若在上連續(xù)，則在上至少存在，使.3. 連續(xù)函數(shù)在上的平

3、均值，. 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1. 設(shè)在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，則.2. 設(shè)連續(xù)，可導(dǎo)，則. 3. 設(shè)連續(xù)，可導(dǎo)，則 . 牛頓萊布尼茲公式.(微積分基本定理) 設(shè)在上連續(xù)，為在上的一個(gè)原函數(shù)，則. 定積分的換元法 設(shè)在上連續(xù)，滿足： (1) .(2)在(或)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且的值域不越出的范圍，則有.注：當(dāng)?shù)闹涤蛟匠龅姆秶珴M足其余條件時(shí)，只要在上連續(xù)，則換元法的結(jié)論仍然成立. 定積分的分部積分法 設(shè)與在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 . 幾類特殊的積分公式1. 設(shè)在上連續(xù)，則有. 2. 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有.3. 設(shè)在上連續(xù)，則 4. 反常積分(廣義積分)1. 無窮限的反常積分(1)

4、 設(shè)在上連續(xù), (2) 設(shè)在上連續(xù), (3) 設(shè)在上連續(xù), 若上述各式右端的極限存在，則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂，否則稱該反常積分發(fā)散. 注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才有收斂. 只要有一個(gè)極限不存在，就發(fā)散.2. 無界函數(shù)的反常積分(1) 設(shè)在上連續(xù)，點(diǎn)為的瑕點(diǎn)，(2) 設(shè)在上連續(xù)，點(diǎn)為的瑕點(diǎn)，(3) 設(shè)在上除點(diǎn)外連續(xù)，點(diǎn)為的瑕點(diǎn)，若上述各式右端的極限存在，則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂，否則稱該反常積分發(fā)散. 注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才有收斂. 只要有一個(gè)極限不存在，就發(fā)散.三、 重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù).2. 牛頓萊布尼茲公式.

5、3. 定積分的換元法和分部積分法.四、 例題1. 求分析：由定積分定義知，可見求右端的極限也可通過求左端的定積分值而得到. 解決此類問題的關(guān)鍵是把和式歸結(jié)為某個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的積分和式.解：原式 2. 下列解法是否正確(1). (2).，即解：這兩題的解法都不正確.(1) 被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)處不滿足“牛頓萊布尼茲”公式的條件，故不能直接應(yīng)用公式.(2) 代換在上不連續(xù)，故在上不可導(dǎo)，不符合換元法的條件. 3. 求下列定積分(1) (2) (3) (4)解： 注：帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的積分，需先脫掉絕對(duì)值符號(hào)，如在積分區(qū)間上脫掉絕對(duì)值符號(hào)后為分段函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的積分.(2) (3) (4

6、) 令則 原式 4. 設(shè)連續(xù)，求解： (1) 注：此題沒有可導(dǎo)的條件，故“對(duì)(1)式兩邊在對(duì)求導(dǎo). 得“這種解法是錯(cuò)誤的.5. 計(jì)算下列極限(1) (2)解：(1) (2) 6.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求. 解： 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 整理后，有 令，即得 7.設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且 證明：(1)若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù). (2)若為單減函數(shù)，則是單增函數(shù) . 證明：(1) 即為偶函數(shù) (2) 由單減，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，. 即在上，為單增函數(shù). 8.計(jì)算下列各題： (1) (2)(1) 解：為奇函數(shù)，為偶函數(shù).原式 =(2)分析：此題的積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，而對(duì)稱區(qū)間上的定積分有公式，若在上容易積分，該公式就可利用了.

7、解： 9.計(jì)算 (為正整數(shù)) 解：原式 注： 是周期為的周期函數(shù). 10.求 解：令， 原式 設(shè) (1) 而 代入(1)式 得 所以 11.求 解： 于是 12.求. 解：為的函數(shù)，令 原式 13. 設(shè)函數(shù)(1) 當(dāng)為正整數(shù)，且時(shí)，證明(2) 求 解：(1)由,且 有由是周期為的周期函數(shù). 同理 因此，當(dāng)時(shí)，有(2)由(1)知當(dāng)即 有，令，有.而， 14.設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)遞減，證明對(duì),有證法一：于是= =由積分中值定理 因此= ()因單減，則有，即.證法二：設(shè) () 即在上單調(diào)不增，即，即有.注：此題還可以用積分換元法加以證明.15.設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且滿足. 證明在內(nèi)至少有一點(diǎn)使.證：設(shè)

8、，由積分中值定理， ()即，而即，由羅爾定理，存在，使而，即有也即，.16.計(jì)算下列反常積分.(1) (2) (3)解：(1) = = =.(2)令， = =.(3) , 為被積函數(shù)的瑕點(diǎn). = = = = =17.已知，.求的值.解： 即.18.設(shè)， 求函數(shù)的表達(dá)式.解：因?yàn)樵谏蠟椋谥舛紴榱?故而當(dāng)時(shí)，由于積分變量，故總有從而，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)積分變量在上變化時(shí)，所以從而 當(dāng)時(shí)，.綜上 注：本題是含參變量的反常積分，這是一類重要的積分，它在概率統(tǒng)計(jì)以及積分變換中都會(huì)用到.定積分自測題(A)一. 選擇題(每小題3分，共15分).1.( )(A) (B) (C) (D) 2.,則( )(A)化為后

9、計(jì)算(B)進(jìn)行代換后計(jì)算(C)進(jìn)行代換，后計(jì)算(D) 進(jìn)行代換后計(jì)算3.設(shè)連續(xù)且，若在處連續(xù)，則( )(A) (B) (C)不存在 (D) 4.設(shè)在上連續(xù)，則等于( )(A) (B)0 (C) (D)5.設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則的任一原函數(shù)( )(A)是偶函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù)二.(7分)求.三.計(jì)算下列各題(每題6分，共12分). 1. 2.設(shè)，求.四.計(jì)算下列定積分(每題8分，共56分). 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.五.(10分) 設(shè)，求.定積分自測題(B)一. 選擇題(每小題3分，共15分).1.設(shè)，且在連續(xù)，則( )(A)

10、在上， (B)必存在，使(C)存在唯一的，使 (D)不一定存在，使2.設(shè)，()，則( )(A)對(duì)一切，有 (B)僅當(dāng)時(shí)，有(C)對(duì)一切，有 (D)僅當(dāng)時(shí)，有3.當(dāng)時(shí)，與比較，是( )(A)高階無窮小 (B)低階無窮小(C)同階但非等價(jià)無窮小 (D)等價(jià)無窮小4.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為( )(A) (B) (C) (D)05.( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1二.填空題(每小題3分，共15分).1. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則.2. .3. 若，則.4. 設(shè)，而 ，則.5. .三.計(jì)算下列各題(每題8分，共56分).1. 2.3. 4.5. 6.7.已知，求.四.(8分) 設(shè) ,試求.五.(6分

11、) 設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且. 證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.定積分自測題(C)一. 選擇題(每小題3分，共18分).1.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)為( )(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)非奇非偶函數(shù) (D)單調(diào)增加函數(shù)2.( )(A) (B)(C) (D)3.函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是定積分存在的( )(A)必要條件 (B)充分條件 (C)充要條件 (D)無關(guān)條件 4.設(shè) ， 則( )(A) (B)(A) (A)5.設(shè)連續(xù)，則( )(A) (B) (C) (D)6.廣義積分收斂的是( )(A) (B)(C) (D)二.填空題(每小題3分，共12分).1. .2.設(shè)在上連續(xù)，且，則.3.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則.4.三.計(jì)算下列各題(每題8分，共40分).1. 2.3. 4.5.四.(10分) 已知，試求的值.五.(10分) 已知，求的值.六.(10分) 設(shè)在上連續(xù)，且.證明：，其中.定積分自測題答案自測題(A)一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A二. .三. 1.1 2.四. 1. 2. 3.4. 5. 6.7.五.