更高更妙的物理：專題22電磁感應面面觀

1、專題22 電磁感應面面觀奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應現(xiàn)象吸引了眾多科學家的眼球，當時正致力于化學研究的青年學者法拉弟也將研究的熱情轉到了電磁學領域，法拉弟在重復奧斯特實驗的同時，產生了一個日后導致極大地改變世界的想法：既然電流能夠產生磁場，能否利用磁場來產生電流呢？從年起，法拉弟歷經反復，上下求索，終于在年月向英國皇家學會報告了他的發(fā)現(xiàn)：“把一根長度為英尺（約）的銅絲繞在一個大圓木塊上，再把另一根同樣長的銅絲嵌繞在同一個圓木塊上，兩線圈之間用絕緣線隔開，不讓它們有接觸。其中一匝線圈與一只電流計連成閉合回路，另一匝線圈則通過開關與一組電池組相連實驗中發(fā)現(xiàn)，當開關突然接通時，與另一線圈相連的電流計會發(fā)生

2、突然而極其微小的擺動；當開關突然斷開時，電流計也會發(fā)生同樣的微弱效應。不過當開關一直接通，電流不斷通過第一只螺線管時，在另一只螺線管上并沒有什么類似的效應，與它連接的電流計也沒有什么表現(xiàn)重新做這個實驗我們查明了一個事實：開關突然接通時電流計指針的微小偏轉常循著一個方向；開關突然斷開時，電流計指針的偏轉則循著另一個方向?！狈ɡ芄嫉年P于“極其微小的擺動”的發(fā)現(xiàn)，據(jù)說被一位貴夫人不解為“這有什么用？”法拉弟以他堅定的信念作了絕妙的回答：“那么，一個新生的嬰兒又有什么用呢？”今天，我們看到，法拉弟的“電磁感應嬰兒”已長成地球與現(xiàn)代人類社會最不可或缺的“超人”。法拉弟從做過的幾十種類似的實驗改變電流

3、、改變磁場、導體在磁場中運動、通有穩(wěn)恒電流的導線的運動、磁鐵的運動等等總結出電磁感應的發(fā)生是與某種變化相關聯(lián)的，現(xiàn)在學過高中物理的人都知道，這種變化就是磁通量的變化。誠然，電磁感應的發(fā)生總可歸結為由于磁通量隨時間發(fā)生了變化，但根據(jù)引起感應電動勢的非靜電力我們知道，非靜電力移送電荷才會產生電動勢，而電動勢的大小也是用非靜電力移動單位電量所做的功來量度的不同，可將感應電動勢分為動生電動勢與感生電動勢。 由于導體在磁場中運動而產生的電動勢稱為動生電動勢。如圖所示，導體棒在勻強磁場中勻速向右做“切割磁感線”運動，導體棒中自由電子因受洛倫茲力作用，而向圖中棒的下端運動，這樣，在棒的上、下兩端就會積累起正

4、電荷（失去電子的離子）與負電荷（洛倫茲力移送的電子），兩端之間形成一電場，當這個電場施予電子的電場力與洛倫茲力平衡、棒上非靜電場強度時，兩端建立起一個穩(wěn)定的電動勢。動生電動勢發(fā)生的微觀機理是由于洛倫茲力移送電荷所致。產生動生電動勢的條件是導體做切割磁感線的運動即與垂直。如圖所示是法拉弟做成的世界上第一個發(fā)電機模型的原理圖。把一個圓鋼盤放在勻強磁場中，使磁感線垂直通過銅盤，轉動銅盤就可以獲得動生電動勢。這是因為整個銅盤可視為由很多根從中心到邊緣的輻條組成，當銅盤轉動時，每根輻條都同樣地切割磁感線而引起動生電動勢，相當于一節(jié)電池，整個銅盤就是一個并聯(lián)電池組，其電動勢與一根輻條上的電動勢是相同的。現(xiàn)

5、在，我們來計算一根長，以角速度繞其一端勻速轉動的導體棒上的電動勢，如圖所示：首先注意，棒上各點的切割速度是不同的，我們將均勻細分段，第個元段的切割速度，每段上的元電動勢，則間的電動勢為?！纠?】如圖所示，一長直導線中通有電流，有一長的金屬棒，以的速度平行于長直導線做勻速運動，若棒的近導線的一端與導線距離，求金屬棒中的動生電動勢。【分析與解】這個問題里，棒上各點的切割速度是相同的，但所處磁場的磁感應強度是變化的，所以求整根棒上的動生電動勢須用微元法。在上一個專題中，我們用畢奧一薩伐爾一拉普拉斯定律推導過無限長直線電流周圍磁感應強度的分布規(guī)律是，式中是點到直線電流的距離。取上第元段，認為元段上磁感

6、應強度均為，設間總電動勢為，該段上元電動勢，整理后有，兩邊取次方的極限，得，于是有，代入題給數(shù)據(jù)得?！纠?】如圖所示是單極發(fā)電機示意圖，金屬圓盤半徑為，可以無摩擦地在一個長直螺線圈中繞一根沿螺線圈對稱軸放置的導電桿轉動，線圈導線的一端連接到圓盤的邊緣，另一端連接到桿上，線圈的電阻為，單位長度有匝，它被恰當?shù)胤胖枚顾膶ΨQ軸和地球磁場矢量平行，若圓盤以角速度轉動，那么流過圖中電流表的電流為多少？【分析與解】法拉弟圓盤轉動產生動生電動勢，使線圈中有感應電流通過，這電流又在螺線圈中引起平行于螺線圈對稱軸的均勻磁場，該磁場因圓盤轉動方向不同、動生電動勢方向不同而取與地磁場同向或反向。現(xiàn)在我們先設方向

7、如圖所示，則感應電流的磁場方向與相同，螺線圈內合磁場大小，圓盤上動生電動勢方向從中心指向邊緣，大小為對由圓盤（電源）、導線、電流表、導電桿構成的電路，由全電路歐姆定律，通過電流表的電流，即； 同理可知，若圓盤轉動方向與圖所示相反，則通過電流表的電流 我們對電流與圓盤轉動角速度間關系作一統(tǒng)觀：在式表述的情況中，感生電流磁場對地磁場作正反饋，隨著的增大，電流增大，當時，電流將趨向無窮，當時，由式分析，電流要反向，且逼近于，這種奇異的行為在實際上不可能出現(xiàn)，因為角頻率在達到之前電流已過大而使導線燒斷； 通過電流表的電流在式表述的情況中，感生電流磁場對地磁場作負反饋，隨著的增大反向電流增大，當時，反向

8、電流趨向最大為。單極發(fā)電機提供的電流隨圓盤角速度變化的上述分析可用圖象表述。 導體不動，由于磁通量的變化而引起的電動勢稱為感生電動勢。感生電動勢是怎么引起的呢？如圖所示，若圖示方向的磁場正在變化，那么，這變化的磁場將會激發(fā)出一種電場，叫做“感生電場”，這種電場的電場線如圖中帶箭頭細實線所示，是一圈一圈的閉合線，不同于靜電場（有源場）而類似于磁場，所以由變化的磁場激發(fā)的感生電場是渦旋場，設圖所示方向磁場正均勻增大，則感生電場的方向由楞次定律確定如圖所示，設想在該磁場中置一圓導線，導線中的自由電子將在感生電場力作用下發(fā)生移動，設感生電場強度為，那么由電動勢定義，感生電場力移送電子通過距離引起的電動

9、勢應為，若圓導線長為，則圓導線上感生電動勢為，而法拉弟電磁感應定律告訴我們，線圈上感生電動勢，為磁感應強度變化率，為線圈包圍的磁場面積，那么，可知圓導線所處位置感生電場強度大小。感生電動勢發(fā)生的微觀機理為感生電場力移送電荷所致。產生感生電動勢的條件是由磁場變化而引發(fā)感生電場?！纠?】一個“扭轉”的環(huán)狀帶子（稱為莫比烏斯帶）是由長度為，寬度為的紙條制成。一根導線沿紙帶的邊緣繞了一圈，并連接到一個電壓表上，如圖所示。當把繞在紙帶上的導線圈放入一個均勻的垂直于紙帶環(huán)所在面的磁場中，且磁場隨時間均勻變化，即，電壓表記錄的數(shù)據(jù)為多少？【分析與解】電壓表記錄的數(shù)據(jù)就是長的導線上總共產生的感生電動勢，對此，

10、我們可用兩種方法求解。其一，根據(jù)感生電動勢成因。在導線所處的磁場中，由變化的磁場引起一感生電場，其大小為，感生電場是一渦旋場，則在長的導線上電動勢；其二，根據(jù)法拉弟電磁感應定律將原“合”起的兩匝線圈展開成圖所示，由法拉弟電磁感應定律，每個線圈上電動勢是，而根據(jù)楞次定律可確定兩線圈上電動勢方向（電勢升的方向）相同而疊加的，故有。【例4】一個長圓柱形螺線管包括了另一個同軸的螺線管，它的半徑只是外面螺線管半徑的一半，兩螺線管單位長度具有相同的圈數(shù)，且初時都沒有電流。在同一瞬時，電流開始在兩個螺線管中線性地增大，任意時刻，通過里邊螺線管的電流為外邊螺線管中電流的兩倍且方向相同，由于增大的電流，一個處于

11、兩個螺線管之間初始靜止的帶電粒子開始沿一條同心圓軌道運動。如圖所示，求該圓軌道半徑?！痉治雠c解】由于螺線管中的電流變化，在管內磁場變化，因而引起感生電場，感生電場力使帶電粒子獲得速度，繼而受到洛倫茲力，在適當?shù)能壍?，磁場、感生電場提供給帶電粒子的向心力與其速度相適配，粒子將在該軌道做勻速圓周運動。先表示半徑為的感生電場場強。外螺線管中的，內螺線管中的，在粒子運動一周時間過程中，構磁場變化率為和，則感生電場為， 時間內。感生電場力使帶電粒子獲得速度，則有， 而此時磁場施予的洛倫茲力表達為，由粒子的動力學方程得，將、兩式關系代入得，。這里，我們看到利用感生電場加速帶電粒子的一種可能。在核物理實驗中

12、需要的高能粒子，也可通過感應加速器來加速射入高頻變化的磁場的帶電粒子而獲得。如圖所示環(huán)形真空室，當磁場增大時，令電子沿切線方向射入，而當磁場達到最大時，即將加速后的電子導出，由于磁場高頻變化，感生電場較強，而入射電子速度一般已很大，在很短的時間內可繞行幾十萬圈，感生電場力在幾十萬圈路徑上做的功可使電子動能加大到幾十兆電子伏特。為了使電子在環(huán)形真空室中按一定軌道運動，磁場設計應滿足一定的要求。若軌道內磁場區(qū)域的平均磁感應強度為，則電子軌道處感生電場強度，電子速度的增加，當電子速度達到時，其所受洛倫茲力，式中為電子軌道處的磁感應強度，則，可知高頻變化的磁場中，被加速的電子“約束”在這樣的軌道上：軌

13、道所在處的磁場磁感應強度為軌道內磁場平均磁感應強度的一半。即，例中的磁場就是這樣設計的，不妨驗證一下：粒子軌道半徑，此處磁場；軌道內磁場總磁通量，平均磁感應強度，可見 。磁場變化引起渦旋電場，當渦旋電場中有導線構成的閉合回路時，就形成感應電流，而有大塊金屬體存在時，則會形成渦電流，由于大塊導體電阻很小，渦電流可以達到很大的數(shù)值，產生大量的焦耳熱，此稱感應加熱。讀者可通過小試身手題，體驗渦電流的一種實際應用。由于回路中電流引起的磁場的變化，又會在回路自身激起感生電動勢與感生電流，即自感現(xiàn)象在螺線圈中最為明顯。由法拉弟電磁感應定律：，由于螺線圈中的磁通量由電流引起，故，稱為自感系數(shù)，則。自感系數(shù)與

14、線圈的面積、單位長度的匝數(shù)、總匝數(shù)及有無鐵芯等因素均有關。對一個具有電感的電路來說，在電路中，會產生自感電動勢，這個過程是電源電動勢克服自感電動勢做功將電能轉變?yōu)殡娐分車拇艌瞿?，設某元過程時間，電流增至，電源移送電量，其元功量為，電流由零增大到穩(wěn)定值的過程總功為。則通有電流的線圈周圍磁場的能量?！纠?】有一個匝的螺旋狀彈簧如圖所示，線圈半徑為、彈簧自然長度為（），勁度系數(shù)為，當電流通過彈簧時，求彈簧的長度改變了多少？【分析與解】電流通過螺線圈時，一方面各匝線圈間存在電流相互吸引的安培力作用，同時由于長度縮短而受到彈力的作用，達到穩(wěn)定時，彈簧將縮短，長度變化了的彈簧其自感系數(shù)亦改變，使電流周圍

15、磁場的一部分能量轉化為彈簧的彈性勢能。先計算匝細長螺線圈的自感系數(shù)。當有電流通過螺線圈時，螺線管中磁感應強度，每匝線圈的磁通量，當電流變化時，螺線管中產生自感電動勢，則 。設螺線彈簧縮短后的長度為，螺線管中磁感應強度，由于螺線管長度縮短，變大，磁通量變化，故螺線管中發(fā)生自感現(xiàn)象而使電流從變小，電流達到穩(wěn)定時，通過該螺線管的電流減為，而磁通量不變，故有，則穩(wěn)定時的電流。該螺線管原來的自感系數(shù)，縮短后的自感系數(shù)，線圈磁場的能量對應地有，；那么在縮短過程中由能量守恒，可得 。 電磁感應的直接結果是產生電動勢，如果有閉合回路存在，則可形成感應電流，所以感應電流只是回路中存在感應電動勢的外在表現(xiàn)之一，是

16、電磁感應的間接效果，感應電動勢只取決于產生它的原因一磁通量的變化，感應電流的情況還與電路條件有關。各種感應電流電路的分析與計算是一個經常的課題?！纠?】在半徑為的細長螺線管中，均勻磁場的磁感應強度隨時間均勻增大，即。一均勻導線彎成等腰梯形閉合回路，上底長為，下底長為，總電阻為，放置如圖所示：試求：梯形各邊上的感生電動勢，及整個回路中的感生電動勢；、兩點間的電勢差?！痉治雠c解】梯形回路處于感生電場中，梯形回路中的電動勢為感生電動勢，注意到渦旋電場線為一系列的圓心為的同心圓，則“等勢線”沿徑向，故可知，為了求邊上的電動勢，可取回路，這個回路中的電動勢就是上的電動勢，因為、均沿渦旋電場的等勢線，不產

17、生電動勢，由法拉弟電磁感應定律知回路中的電動勢，相似地，回路中的電動勢即邊上的電動勢。對梯形回路，上述兩電動勢反向，故回路總電動勢為。分析由兩個電動勢與四段電阻構成的電路?？傠娮铻椋瑒t梯形。各邊電阻依次為、，等效電路如圖所示，由歐姆定律，回路中的電流，對一段含源電路有?！纠?】兩個同樣的金屬環(huán)半徑為，質量為，放在均勻磁場中，磁感應強度為，其方向垂直于環(huán)面，如圖所示。兩環(huán)接觸點和有良好的電接觸，角。若突然撤去磁場，求每個環(huán)具有的速度。構成環(huán)的這段導線的電阻為，環(huán)的電感不計，在磁場消失時環(huán)的移動忽略不計，沒有摩擦。【分析與解】在極短時間內磁場消失，這就會在兩環(huán)中引起感生電動勢，根據(jù)電路結構，環(huán)上各

18、段有一定大小方向的感應電流，載流導線在磁場中受安培力沖量導致金屬環(huán)獲得動量。 等效電路如圖所示，先由基爾霍夫定律求環(huán)中感應電流。兩環(huán)情況具有對稱性，取左環(huán)回路研究，設磁場方向垂直于環(huán)面向下，環(huán)中電動勢，方向如圖示，優(yōu)弧段電阻為劣弧段的倍，優(yōu)弧段及劣弧段電流方向設定如圖，有， 取、間兩劣弧構成的回路，該回路中電動勢， 由式解得，代入式中得，電流方向與所設相符?，F(xiàn)在來求整個左環(huán)所受安培力，優(yōu)弧與劣弧的等效受力長度均為弦長，但由左手定則知力的方向相反。注意到磁場消失的時間內在減小，取，則左環(huán)所受合力大小為 。方向向左。由動量定理，求出環(huán)獲得的速度大小為，方向向左；對稱地，右環(huán)以同樣速率向右運動。【例

19、8】一個磁感應強度為的均勻磁場，垂直于一軌距為的導軌平面，軌道平面與水平面有的傾角。一根無摩擦的導體棒，質量為，橫跨在兩根金屬導軌上，如圖所示。若開關依次接通、，使阻值為（其余電阻均不計）、電容為或電感為的元件與棒構成電路，當從靜止放開導體棒后，求棒的穩(wěn)定運動狀態(tài)?！痉治雠c解】本題設置了這樣一種問題情景：提供動生電動勢的導體受一恒定外力作用，這樣的“電源”與電阻或電容器或 電感線圈構成電路，在不同的電路條件下會產生不同的效應。顯見，放在導軌上的棒總受到一個沿導軌向下的重力的分力。當開關接，導體棒與電阻構成回路，初時棒的加速度為，隨著速度增大，棒上電動勢（）增大，通過回路的電流增大，這使棒受到的

20、與力反向的安培力也增大，從而使合力減小，棒在開始時是做加速度減小的加速運動，當時加速度減為零、棒達到收尾速度，此時電阻回路的感應電流達到一個恒定值。由上分析可知，棒與電阻構成回路時，電路中電流最終達到穩(wěn)恒，棒的運動狀態(tài)是做勻速直線運動，由，可得勻速運動時的速度。當開關接，導體棒與電容器構成回路，棒開始以加速度運動，并產生動生電動勢而對電容器充電，隨著棒速度增大，棒上電動勢增大，維持充電電流，因而使棒上總受到與力反向的安培力，棒的動力學方程，即，可見棒以加速度做勻加速運動。當開關接，導體棒與電感線圈構成回路，棒以加速度開始運動后，隨著速度增大，產生的動生電動勢增大，增大的電流通過電感線圈，使線圈

21、兩端的電壓隨動生電動勢而增大，電壓與電流有關系，即，因初始時，可知棒開始運動后棒上電流與棒的位移成正比，即，棒的運動方程為，即，若將坐標原點取在棒的平衡位置，即棒下滑，則。這說明棒所受合力為與棒對平衡位置的位移成正比而方向相反的線性力，棒做簡諧運動，運動周期，振幅，振動方程?！纠?】如圖所示，在與勻強磁場區(qū)域垂直的水平面上有兩根足夠長的平行導軌，在它們上面放著兩根平行導體棒，每根長度均為、質量均為、電阻均為，其余部分電阻不計。導體棒可在導軌上無摩擦地滑動，開始時左棒靜止，右棒獲得向右的初速度。試求右導體棒運動速度隨時間的變化；通過兩棒的電量；兩棒間距離增量的上限。【分析與解】本題中，兩棒通過導

22、軌構成回路，兩棒產生的動生電動勢互為反電動勢，右棒，左棒，電路中電流，右棒受安培力作用而減速運動，左棒則受安培力作用從靜止開始加速，由于系統(tǒng)不受外力，總動量守恒，故兩棒速度有，當時，兩棒均做勻速運動?，F(xiàn)取右棒速度從變?yōu)榈臅r間內的第個元過程，右棒的動力學方程為，即，于是有 ，取兩邊次方的極限可得 ，于是得右棒速度公式 ；由兩棒速度關系易得左棒速度隨時間變化關系。兩棒電阻串聯(lián)，通過每棒的感應電流電量相等，任取其中一棒例如左棒，由動量定理，；若設兩棒間距離的最大增量為，則由，得。1、在磁感應強度為，水平方向的勻強磁場內，有一個細金屬絲環(huán)以速度做無滑滾動，如圖所示。環(huán)上有長度為的很小的缺口，磁場方向垂

23、直于環(huán)面。求當為時，環(huán)上產生的感應電動勢。2、如圖所示，在電流為的無限長直導線外有與它共面的直角三角形線圈，其中邊與電流平行，邊長，線圈以速度向右做勻速運動，求當線圈與直線電流相距時，線圈中的動生電動勢。3、在半徑為的圓柱形體積內充滿磁感應強度為的勻強磁場。有一長為的金屬棒放在磁場中，如圖所示，設磁場在增強，其變化率為。求棒中的感生電動勢，并指出哪端電勢高；如棒的一半在磁場外，其結果又如何？4、一個很長的直螺線管半徑為，因線圈通過交流電而在線圈內引起均勻的交變磁場，求螺線管內、外感生電場的分布規(guī)律。5、一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一個圓柱空間，兩圓柱軸間距離，圖所示為垂直于軸的截面。設兩圓柱間

24、存在均勻磁場，磁感應強度隨時間線性增長，即?，F(xiàn)在空腔中放一與成角、長為的金屬桿，求桿中的感生電動勢。6、如圖所示，由均勻金屬絲折成邊長為的等邊三角形，總電阻為，在磁感應強度為的勻強磁場中，以恒定角速度繞三角形的高軸轉動，求線圈平面與平行時，金屬框的總電動勢及、的電勢差、。7、在輕的導電桿的一端固定一個金屬小球，球保持與半徑為的導電球面接觸。桿的另一端固定在球心處，并且桿可以無摩擦地沿任何方向轉動。整個裝置放在均勻磁場中，磁場方向豎直向上，磁感應強度。球面與桿的固定端通過導線、開關與電源相連，如圖所示。試描述當開關閉合后，桿如何運動？如果桿與豎直線之間的夾角穩(wěn)定在，求電源的電動勢。8、如圖所示，

25、無限長密繞螺線管半徑為，其中通有電流，在螺線管內產生一勻強磁場。在螺線管外同軸套一粗細均勻的金屬圓環(huán)，金屬環(huán)由兩個半環(huán)組成，、為其分界面，半環(huán)的電阻分別為和，且，當螺線管中電流按均勻增大時，求、兩處的電勢差。9、由絕緣均勻導線做成的閉合回路如圖所示彎成字形，交叉處點在點之上，回路的半徑為，回路的半徑為，當磁感應強度按規(guī)律穿入回路時，確定與兩點間電壓，若將回路向左翻折在回路上，與間電壓又是多少？10、環(huán)形金屬絲箍圍在很長的直螺線管的中部，箍的軸與螺線管的軸重合，如圖所示。箍由兩部分組成，每部分的電阻、不同且未知。三個有內阻的電壓表接到兩部分接頭處點和點，并且導體嚴格地沿箍的直徑放置，而導體和沿螺

26、線管任意兩個不同方位放置，交變電流通過螺線管，發(fā)現(xiàn)這時電壓表的讀數(shù)，電壓表的讀數(shù)。問電壓表的讀數(shù)是多少？螺線管外的磁場以及回路電感不計。11、半徑為的金屬絲圓環(huán)，有一個沿直徑方向放置的金屬跨接線，左、右兩半圓上分別接上電容器和，如圖所示。將環(huán)放置在磁感應強度隨時間而線性增大的磁場中，磁場方向垂直于環(huán)面。某一時刻撤去跨接線，接著磁場停止變化，求每個電容器上帶的電量。12、如圖所示電路，直流電源的電動勢為，內阻不計，兩個電阻值為，一個電阻值為，電感的自感系數(shù)為，直流電阻值為。閉合開關，待電路電流穩(wěn)定后，再打開開關（電流計內阻不計）打開開關時，電阻值為的電阻兩端電壓為多少？打開開關后有多少電量通過電

27、流計？閉合開關到電流穩(wěn)定時，有多少電量通過電流計？13、電磁渦流制動器由一電阻為、厚度為的金屬圓盤為主要部件，如圖所示。圓盤水平放置，能繞過中心的豎直軸轉動，在距中心為處，一邊長為的正方形區(qū)域內有垂直于圓盤平面的勻強磁場，磁感應強度為，若，試寫出圓盤所受的磁制動力矩與圓盤轉動角速度之間的關系式。14、如圖，在豎直面內兩平行導軌相距，且與一純電感線圈、直流電源、水平金屬棒聯(lián)為一閉合回路，開始時，金屬棒靜止，爾后無摩擦地自由下滑（不脫離軌道）。設軌道足夠長，其電阻可忽略，空間中磁場的大小為，其方向垂直于軌道平面，已知電源電動勢為，內電阻，金屬棒質量，其電阻，線圈自感系數(shù)，試求金屬棒下落可達到的最大速度。15、如圖所示一橢圓形軌道，其方程為（），在中心處