二項式展開定理

1、二項式展開定理定理及基本概念1.(a b)n Cn0an Cn1an 1bCnr an rbrCnnnn(n N*) ;2.項數(shù) :一共項 ;3.通項 :;一定注意兩點 :1)涉及“第幾項”得時候 ,一定嚴格按照通項公式2)注意項數(shù)與系數(shù)得關(guān)系。4.二項式系數(shù)與各項系數(shù)之間得聯(lián)系與區(qū)別。性質(zhì)1.二項式系數(shù)得對稱性 :;2.二項式系數(shù)與 :;3.奇數(shù)項二項式系數(shù)與 = 偶數(shù)項二項式系數(shù)之與4.二項式系數(shù)最大項 :1)當就是偶數(shù)時 ,此時項數(shù)就是奇數(shù) ,中間項得二項式系數(shù)最大2)當就是奇數(shù)時 ,此時項數(shù)就是偶數(shù) ,中間兩項得二項式系數(shù) =最大。5.系數(shù)最大項 :注意系數(shù)最大與二項式系數(shù)最大得區(qū)別。

2、基本題型解題思路及步驟利用通項公式求某項系數(shù)1.寫出通項公式得時候注意1)所有得系數(shù)寫在最前面 ,包括符號 ;2)所有根式都寫出分數(shù)次數(shù)形式3)明白什么就是有理項 ;4)注意得取值范圍。2.只有一個式子 :寫出通項公式 ,根據(jù)系數(shù)關(guān)系 ,確定滿足條件得項。3.有兩個式子相乘 :1)分別用通項公式打開 ,組合后瞧滿足條件得項2)只打開一個 ,觀察另一個得形式 ,判斷滿足條件得項 ;一定注意系數(shù) ;3)有多個得 ,注意各自得取值范圍與相互之間得關(guān)系。賦值求系數(shù)與1. 常用得賦值就是令 ,具體要通過 所求得式子 來判斷賦值 ;2. 所有系數(shù)之與 :令 ;二項式系數(shù)之與 :;3. 所有系數(shù)絕對值之與

3、:令;變換原來式子里得符號 ,邊為相加 ;再令 ;4. 求導(dǎo)與積分得形式。對二項式定理得理解 :組合項、整除1. 二項式定理得理解 :都表示一個整體 ;2. 根據(jù)所求得問題 ,對前面得進行重新組合。例題講解求某項得系數(shù)1. 求展開式中第幾項為常數(shù)項 ,并求常數(shù)項得值。解: 直接用通項公式打開 :;（注意系數(shù)都放一起 ）常數(shù)項即得次數(shù)為 0,也即:;所以常數(shù)項為 第 4項;且常數(shù)項為 :2. 在二項式得展開式中 ,第四項得系數(shù)為 56,求得系數(shù)。解:第四項得系數(shù)為 56:注意:項數(shù)與展開式中得取值得關(guān)系 。此時 :。=56,解得 :;再利用通項公式 :;要求得系數(shù) ,所以 :;故前得系數(shù)為 :3

4、. 求二項式展開式中常數(shù)項得值。解: ,所以 ;常數(shù)項得值為 : 。(一定嚴格按步驟來 ,注意系數(shù)得符號 )4. 求二項式展開式中有理項得系數(shù)與。解: 什么就是有理項？ ,當時為有理項 ;用通項公式打開 :;要滿足有理項 ,即:且,所以 :或當時 ,;當時 ,;故:有理項得系數(shù)與為。5. 求多項式展開后常數(shù)項。解: 因為這里有兩個式子 ,可以用兩個展開式 ,所取得得取值范圍 ;展開 :;展開 :所以:展開后 :()所以 :,所以 :或或;當時 ,;當時 ,;當時 ,;所以常數(shù)項為 : 。6. 求展開式中 ,得系數(shù)。解:展開:;展開 :;所以 :展開:,其中:;所以 :或或 ;故系數(shù)為 :7.

5、已知 ()得展開式中沒有常數(shù)項 ,則得值為。解: 展開 :;由題意可知 ,展開式中沒有常數(shù)項。則所以 :,所以 :。8.求中 ,得系數(shù)。9.求得展開式中 ,前得系數(shù)為？10.求得展開中得系數(shù)。系數(shù)最值1. 在得展開式中 ,二項式系數(shù)最大得項就是第幾項。解: 展開式式中一共有 :項。所以中間項為 :第項。一定要時刻注意項數(shù)與次數(shù)得關(guān)系。2. 在得展開式中 ,只有第 4 項得二項式系數(shù)最大 ,則展開式中得常數(shù)項為？解:只有第 4 項二項式系數(shù)最大 ,所以一共有 7項,所以:。通項公式 :,常數(shù)項 ,所以 :。3. 已知,若展開式中第 5,第 6與第 7項二項式系數(shù)為等差數(shù)列 ,求展開式中二項式系數(shù)

6、最大項得系數(shù)就是多少？解: 通項公式為 :;二項式系數(shù)為等差數(shù)列 ,所以:,解得或 ;當時,二項式系數(shù)最大就是第 4項與第 5 項,故:,;當,二項式系數(shù)最大就是第 8 項,故:。注意題目得問題 :就是二項式系數(shù)最大項得系數(shù) ！4. 求得展開式中系數(shù)最大得項？ 解: 通項公式為 :,各項系數(shù)得通項為 :則:解得:;所以系數(shù)最大項為第 6 項 ;。5. 求得展開式中系數(shù)最小得項就是第幾項？賦值1. 若得展開式中偶數(shù)項系數(shù)與為 ,求得值。解:令 ,得所有項得系數(shù)與 ;故。注意“各項系數(shù)與”與“二項系數(shù)與”得聯(lián)系與區(qū)別注意“減號”與“加號”得聯(lián)系與區(qū)別。2. 若得展開式中所有奇數(shù)項得系數(shù)與為,求它得

7、中間項。解:由題可知所有奇數(shù)項得系數(shù)與即為所有奇數(shù)項得二項式系數(shù)與為所以:,所以中間項第 6,7 項;所以 :,。3. 在得二項式展開中 ,記含得奇次冪得項之與為 ,當時 ,求？解:令 ,則;令得偶次冪得項之與為 ;令,則;則:。題目如果改為 :時 ,得值呢？還就是要注意 :奇次冪與偶次冪 ,對于取相反數(shù)得時候得影響。4. 若二項式中所有項得系數(shù)與為 ,所有項得系數(shù)得絕對值之與為 ,則得最小值為 (B )解:所有項得系數(shù)與即令 ,所以 ;所有項絕對值得與就就是要把系數(shù)就是負得變成正得,令,所以 :;所以:。注意 。5. 若展開式中各項系數(shù)絕對值之與為,則展開式中得一次項系數(shù)為？解: 由上一題可

8、知 ,嘗試令 ,發(fā)現(xiàn)不可行 ,原式?jīng)]有意義 ;發(fā)現(xiàn)與展開式中各項系數(shù)得絕對值相等故得絕對值之與等價于得各項系數(shù)與所以 :令,;展開得通項公式 :故得一次項系數(shù)為 :。上述兩個例題就就是求各項系數(shù)絕對值之與得兩個思想。6. 得展開式中不含得項得系數(shù)與為？ 解:不含得項 ,可令 ;則題目等價于得各項系數(shù)與令,則。要消除 ,可以令。a13(x 1) a14 ,則( D)7. 設(shè)多項式展開 :(1 x)5(3 2x)9 a0(x 1)14 a1(x 1)13A.B、C、D、解:觀察右邊得形式 :可令 ,則;此時 ,離目標多了一個 ;再令 ,則;所以:。8. 若 ,則得值為？解:觀察所求得形式 :令,則

9、 ;再令 ,則;所以:。9. 已知就是函數(shù)圖象得一條對稱軸,則得為？解: 由題意可知 :;令,則;令,則;所以:。10. 若 ,則得值。解:發(fā)現(xiàn)要求得就是得奇數(shù)次冪得系數(shù)與 令,則;令,則;所以:。11. 設(shè) ,求得值。22解：(a。a?a4)佝a3)(a。aia?a3aqXa。ai a? a3a4)；即:12. 若，則得值。解:發(fā)現(xiàn)所求得式子分母中都有，所以:令,則:;所以:;所以：。13. 已知則（D）A.C、解:發(fā)現(xiàn)求得形式，用常規(guī)得思想不好解，令不行；令也不行； 再觀察發(fā)現(xiàn)前面得系數(shù)，正好就是對應(yīng)得得次數(shù)2所以兩邊都時求導(dǎo)，即 :(12x)8' (a。2a2x38 x8)

10、9;16(1 2x)7 a1 2a2x8a8x7此時，令，則:14. 若，則求得值。解:由上一題得解法，發(fā)現(xiàn)每個要求得前得系數(shù)正好就是對應(yīng)得次數(shù)加1；聯(lián)想到可求積分(a。 ax2014、312a2014X)30 x xa2014 x2014 c -20152；則:;令,則;令,則;所以:。四、1. 已知,則( )A.B、C、D、解: 二項式展開中得僅僅就是字母得表示 ,可以代表一個整體 ;觀察右邊得形式 ,可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)該就是中得一個所以。也可根據(jù)次數(shù) ,直接定位出得值。2. 已知 ,則得值。解: 由題意發(fā)現(xiàn) ,得值與無關(guān) ;且應(yīng)該就是中得一個 ;所以 :;所以。3. 將表示為 ,則 =？解: 由

11、題意可知 :應(yīng)該就是中得一個 ;所以 :;所以:。4. 展開式中得常數(shù)項為 (C )A.B、C、D、解法一：由展開式得原理可知：要出現(xiàn)常數(shù)項，要么都就是常數(shù)，要么得次數(shù)與為0;所以：。解法二：把三項中得兩項瞧成一個整體，再利用二項式展開定理進行展開所以通項為:;又展開得通項為： 所以：得展開式為:() 所以常數(shù)項可能得情況為：或;故常數(shù)項為:;解法三:;故展開式得通項為:;所以常數(shù)項為；5. 得展開式中，項得系數(shù)為?解:由上題解法一思想：在9個括號中，分別去取項； 則得系數(shù)為：o6. 求得值。(用含有得式子來表示)解:觀察形勢,發(fā)現(xiàn)與二項式展開得形式比較接近，但就是得次數(shù)不匹配；所以cn 6c26弋 6(c0 6cn g6nC； 1);則可發(fā)現(xiàn)肯定就是中得一個 所以:;也即:O7. 證明 :能被整除。解:要證明能被 64整數(shù) ,希望原來得式子化簡完后每個因式都能被64整除;結(jié)合二項式展開定理得形式 ,希望中得一個為或得某個因子則;所以 :;所以 :;所以能被 64 整除。課后練習(xí)1. 求展開式中得系數(shù)。2. 求二項式得展開式中第幾項為常數(shù)項,并求出常數(shù)項得值。第四項3. 若得展開式中 ,第 5 項為常數(shù)項 ,求得值。 64. 展開式中各項系數(shù)絕對值之與。5. 求展開式中得系數(shù)。6. 在展開式中 ,只有第 6 項得二項式系數(shù)最大 ,則展開式中常數(shù)項為？7. 已知函數(shù) ,則展開