解讀IEEE標準754_浮點數(shù)的表示

1、解讀IEEE標準754：浮點數(shù)表示一、背景在IEEE標準754之前，業(yè)界并沒有一個統(tǒng)一的浮點數(shù)標準，相反，很多計算機制造商都設(shè)計自己的浮點數(shù)規(guī)則，以及運算細節(jié)。那時，實現(xiàn)的速度和簡易性比數(shù)字的精確性更受重視。直到1985年Intel打算為其的8086微處理器引進一種浮點數(shù)協(xié)處理器的時候，聰明地意識到，作為設(shè)計芯片者的電子工程師和固體物理學家們，也許并不能通過數(shù)值分析來選擇最合理的浮點數(shù)二進制格式。于是Intel在請加州大學伯克利分校的 William Kahan教授最優(yōu)秀的數(shù)值分析家之一來為8087 FPU設(shè)計浮點數(shù)格式; 而這個家伙又找來兩個專家來協(xié)助他，于是就有了KCS組合（Kahn, C

2、oonan, and Stone）。他們共同完成了Intel的浮點數(shù)格式設(shè)計，而且完成地如此出色，以致于IEEE組織決定采用一個非常接近KCS的方案作為IEEE的標準浮點格式。目前，幾乎所有計算機都支持該標準，大大改善了科學應(yīng)用程序的可移植性。二、表示形式從表面上看，浮點數(shù)也是一串0和1構(gòu)成的位序列(bit sequence)，并不是三頭六臂的怪物，更不會咬人。然而IEEE標準從邏輯上用三元組S,E,M表示一個數(shù)N,如下圖所示： N的實際值n由下列式子表示： 其中： n,s,e,m分別為N,S,E,M對應(yīng)的實際數(shù)值,而N,S,E,M僅僅是一串二進制位。 S(sign)表示N的符號位。對應(yīng)值s滿

3、足：n>0時，s=0; n<0時，s=1。 E(exponent)表示N的指數(shù)位，位于S和M之間的若干位。對應(yīng)值e值也可正可負。 M(mantissa)表示N的尾數(shù)位，恰好，它位于N末尾。M也叫有效數(shù)字位（sinificand）、系數(shù)位（coefficient）, 甚至被稱作“小數(shù)”。三、浮點數(shù)格式IEEE標準754規(guī)定了三種浮點數(shù)格式：單精度、雙精度、擴展精度。前兩者正好對應(yīng)C語言里頭的float、double或者FORTRAN里頭的real、double精度類型。限于篇幅，本文僅介紹單精度、雙精度浮點格式。 單精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。 雙精度:N共

4、64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。      值得注意的是，M雖然是23位或者52位，但它們只是表示小數(shù)點之后的二進制位數(shù)，也就是說，假定 M為“010110011.”, 在二進制數(shù)值上其實是“.010110011.”。而事實上，標準規(guī)定小數(shù)點左邊還有一個隱含位，這個隱含位通常，哦不，應(yīng)該說絕大多數(shù)情況下是1，那什么情況下是0呢？答案是N對應(yīng)的n非常小的時候，比如小于 2(-126)(32位單精度浮點數(shù))。不要困惑怎么計算出來的，看到后面你就會明白?？傊[含位算是賺來了一位精度,于是M對應(yīng)的m最后結(jié)果可能是"m=1.0101100

5、11.”或者“m=0.010110011.”四、計算e、m首先將提到令初學者頭疼的“規(guī)格化(normalized)”、“非規(guī)格化(denormalized)”。噢，其實并沒有這么難的，跟我來！掌握它以后你會發(fā)現(xiàn)一切都很優(yōu)雅,更美妙的是，規(guī)格化、非規(guī)格化本身的概念幾乎不怎么重要。請牢記這句話：規(guī)格化與否全看指數(shù)E！下面分三種情況討論E，并分別計算e和m:1、規(guī)格化：當E的二進制位不全為0,也不全為1時，N為規(guī)格化形式。此時e被解釋為表示偏置（biased）形式的整數(shù),e值計算公式如下圖所示：上圖中，|E|表示E的二進制序列表示的整數(shù)值,例如E為"10000100",則|E|=

6、132,e=132-127=5 。 k則表示E的位數(shù)，對單精度來說，k=8,則bias=127，對雙精度來說，k=11,則bias=1023。此時m的計算公式如下圖所示：標準規(guī)定此時小數(shù)點左側(cè)的隱含位為1,那么m=|1.M|。如M="101"，則|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非規(guī)格化：當E的二進制位全部為0時，N為非規(guī)格化形式。此時e，m的計算都非常簡單。   注意，此時小數(shù)點左側(cè)的隱含位為0。   為什么e會等于(1-bias)而不是(-bias)，這主要是為規(guī)格化數(shù)值、非規(guī)格化數(shù)值之間的平滑過渡設(shè)計

7、的。后文我們還會繼續(xù)討論。有了非規(guī)格化形式，我們就可以表示0了。把符號位S值1,其余所有位均置0后，我們得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,則得到 +0.0。非規(guī)格化數(shù)還有其他用途，比如表示非常接近0的小數(shù)，而且這些小數(shù)均勻地接近0,稱為“逐漸下溢(gradually underflow)”屬性。3、特殊數(shù)值： 當E的二進制位全為1時為特殊數(shù)值。此時，若M的二進制位全為0，則n表示無窮大，若S為1則為負無窮大，若S為0則為正無窮大; 若M的二進制位不全為0時，表示NaN(Not a Number)，表示這不是一個合法實數(shù)或無窮，或者該數(shù)未經(jīng)初始化。五、范例仔細研讀第四點后，再回憶一下文章

8、開頭計算n的公式，你應(yīng)該寫出一個浮點編碼的實際值n了吧？ 還不能嗎？不急，我先給你示范一下。我們假定N是一個8位浮點數(shù)，其中，S占1位，E占4位，M占3位。下面這張表羅列了N可能的正數(shù)形式，也包含了e、m等值，請你對照著這張表，重溫一下第四點，你會慢慢明白的。說實在的，這張表花了我不少功夫呢,幸好TeX畫表格還算省事！這張表里頭有很多有趣的地方，我提醒一下： 看 N 列，從上到下，二進制位表示是均勻遞增的，且增量都是一個最小二進制位。這不是偶然，正是巧妙設(shè)計的結(jié)果。觀察最大的非規(guī)格數(shù)，發(fā)現(xiàn)恰好就是M全為1, E全為0的情況。于是我們求出最大的非規(guī)格數(shù)為：上面的公式中，h為M的位數(shù)(如范例中為3

9、)。注意，公式等號右邊的第一項同時又是最小規(guī)格數(shù)的值（如范例中為 8/512 ）;第二項則正是最小非規(guī)格數(shù)的值(如范例中為1/512)即該浮點數(shù)能表示的最小正數(shù)。 看 m 列，規(guī)格化數(shù)都是 1+ x 的形式，這個1正是隱含位1; 而非規(guī)格化數(shù)隱含位為0, 所以沒有 "1+" 。 看 n 列，非規(guī)格化數(shù)從上到下的增量都是 1/512, 且過渡到規(guī)格化數(shù)時，增量是平滑的，依舊是1/512。這正是非規(guī)格化數(shù)中e等于(1-bias)而不是(-bias)的緣故，也是巧妙設(shè)計的結(jié)果。 再繼續(xù)往下看，發(fā)現(xiàn)增量值逐漸增大。可見，浮點數(shù)的取值范圍不是均勻的。六、實戰(zhàn)我們用一小段匯編來測試一下

10、，浮點數(shù)在內(nèi)存中是如何表示的。測試環(huán)境： GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。 如下所示    代碼:    /coding/assemble $  gdb(gdb) list1    .section .data2    f1:3        .float  54  &

11、#160; f2:5        .float  0.1    6    .section .text7        .global _start8    _start:9        nop10    (gdb) x/f &f10x80490a4 <f1>:&#

12、160;   5(gdb) x/xw &f10x80490a4 <f1>:    0x40a00000(gdb) x/f &f20x80490a8 <f2>:    0.100000001(gdb) x/xw &f20x80490a8 <f2>:    0x3dcccccd(gdb) 從上面的gdb命令結(jié)果可以看出，浮點數(shù)5被表示為 0x40a00000，二進制形式為( 0100 0000 1010 0000 . 0000 0

13、000)。紅色數(shù)字為E，可以看出|E|=129>0, 則e=129-bias=129-127=2 ； 藍色數(shù)字為M, 且|E|>0，說明是規(guī)格化數(shù)，則m=|1.M|=|1.01000.000|=1.25 ; 由n的計算公式可以求得 n=(-1)0 * 1.25 * 22  = 5， 結(jié)果被驗證了。 同樣，你也可以驗證一下十進制浮點數(shù)0.1的二進制形式是否正確，你會發(fā)現(xiàn)，0.1不能表示為有限個二進制位，因此在內(nèi)存中的表示是舍入(rounding)以后的結(jié)果，即 0x3dcccccd, 十進制為0.100000001， 誤差0.000000001由此產(chǎn)生了。 七、未完成 關(guān)于浮點數(shù)，還有很多東西（比如舍入誤差、除零異常等等）值得我們深入探討，但已經(jīng)無法在此繼續(xù)。這篇文章的目的僅在初步解釋IEEE標準754對浮點數(shù)的規(guī)定以及一些奇妙的地方。寫這篇文章花掉了我整天的時間，但也使我徹底記住了以前讓我膽怯的東西最重要的是，希望這篇文章對大家有點用處，也算我為計算機科學基礎(chǔ)理論版以及L做的一點貢獻。 參考書目： : Randall H