華科線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、第一部分行列式重點(diǎn)：1. 排列的逆序數(shù)（P.5例4; P.26第2、4題）2. 行列式按行（列）展開法則（P.21例13； P.28第9題）3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算（P.27第8題）【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用一一克萊姆法則 2、排列與逆序 3、方陣的行列式4、幾個(gè)重要公式:At(2) A_ 1A ；(4) A*n ajAji ±An(5) AB(3) kA=knA 0A * B -0 B(6)；A，衛(wèi)(8)（其中A, B為n階方陣，k為常數(shù)）5、行列式的常見計(jì)算方法：（1）利用性質(zhì)化行列式為上（下）三角形;（2 ）利用行列式的展開定理降階；（3）根

2、據(jù)行列式的特點(diǎn)借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟記幾個(gè)特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會求一個(gè)排列的逆序數(shù)。3、 能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準(zhǔn)確計(jì)算3-5階行列式的值。4、會計(jì)算簡單的n階行列式。5、知道并會用克萊姆法則 第二部分矩陣1. 矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2. 矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）3. 伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9； P.56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）4. 矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71; P.100例13、14、15）【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運(yùn)算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、方陣

3、的行列式3、 可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對角陣求逆）。4、n階矩陣A可逆二|A=0= A為非奇異（非退化）的矩陣。二 R（A） = n二 A為滿秩矩陣。:二 AX =0只有零解：二 AX =b有唯一解= A的行（列）向量組線性無關(guān)：二 A的特征值全不為 零。：二 A可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣。：二 A可以表示成一系列初等矩陣的乘積。5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。6、矩陣秩的概念及其求法（1）定義法；（2）初等變換法）。7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運(yùn)算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆?！疽蟆?、 了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩

4、陣，對角矩陣，上、下三角形矩陣，對稱矩陣，可逆矩陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運(yùn)算法則，會求方陣的行列式。3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。4、掌握矩陣可逆的充要條件，會求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運(yùn)算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分線性方程組1. 線性方程組的解的判定，帶參數(shù)的方程組的解的判定2. 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）3. 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）【主要內(nèi)容】1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個(gè)向量b，向量組 A :、s,、£

5、2,，用n，向量組B :（1 ）向量b可被向量組A線性表示：=RC話斗2 ,，爲(wèi)n ） = R（二T，二2 ,，爲(wèi)n ,b）（2）向量組B可被向量組 A線性表示=R（1 ,2,n） = RC 1,2,n , ： 1, ： 2 ,：m）（3）向量組A與向量組B等價(jià)的充分必要條件是：RC 1, ： 2 , ： n） = R（ ：1, ： 2廠，：m） = RC 1, ： 2, n, ： 1, ：2, ： m）（4） 基本題型：判斷向量b或向量組B是否可由向量組 A線性表示？如果能，寫出表達(dá)式。解法：以向量組 A :、5,、£2 ,，'n以及向量b或向量組B ： X,2 ,，F(xiàn)&q

6、uot;m為列向量構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行初等行變換化為簡化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組：j ,2 ,，s的線性相關(guān)、線性無關(guān)的常用方法：方法一：（1）向量方程kk2-：2亠，亠ks-：s =°只有零解=向量組一:殲，J2,，-4 線性無關(guān)； 向量方程kv： k2二2亠，亠ks-：s =°有非零解=向量組：“,，：/線性相關(guān)。方法二：求向量組的秩 RG2r / s）（1）秩RC, >2,，s）小于個(gè)數(shù)S=向量組：、，,，線性相關(guān)（2 ）秩R（：, >2,，S）等于個(gè)數(shù)S = 向量組2,，s線性無關(guān)。（3）特別 的，如果向 量組的向量 個(gè)數(shù)與

7、 向量的維數(shù) 相同，則 向量組 線性 無關(guān)= 以向量組- s為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān)=以向量組 2,，s為列向量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無關(guān)組的概念(與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系)及其求法。基本題型：判斷向量組的相關(guān)性以及求出向量組的極大無關(guān)組。4、等價(jià)向量組的定義、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系。【要求】1、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個(gè)向量組等價(jià)的含義。2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會判斷一個(gè)具體向量組的線性相關(guān)性。3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，會求一個(gè)具體向量組的秩及其極大無關(guān)組。4、了解向量空

8、間及其基和維數(shù)的概念第四部分向量組(矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換)1 .向量組的線性表示2向量組的線性相關(guān)性3.向量組的秩【主要內(nèi)容】1、齊次線性方程組 Ax =0只有零解：二 系數(shù)矩陣A的秩二未知量個(gè)數(shù)n;2、齊次線性方程組 Ax =0有非零解：二 系數(shù)矩陣A的秩：:未知量個(gè)數(shù)n.3、非齊次線性方程組 Ax =b無解:二 增廣矩陣B=(A,b)秩=系數(shù)矩陣A的秩；4、 非齊次線性方程組 Ax =b有解:二 增廣矩陣B = (A,b)秩二系數(shù)矩陣A的秩特別地，1 )增廣矩陣B = (A, b)的秩=系數(shù)矩陣A的秩=未知量個(gè)數(shù)n：二非齊次線性方程組 Ax=b有唯一解；2)增廣矩陣B

9、=(A,b)的秩二系數(shù)矩陣A的秩：:：未知量個(gè)數(shù)n：= 非齊次線性方程組Ax =b有無窮多解?！疽蟆?、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法，2、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價(jià)條件。3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。4、會求解非齊次線性方程組。第五部分方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算(P.120例8、9、10; P.135第7至13題)3.矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化(P.135第15、16、19、23題)【主要內(nèi)容】1、向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及其計(jì)算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交向

10、量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計(jì)算方法。(1) 特征值求法：解特征方程| A 人曰=0 ;(2) 特征向量的求法：求方程組A -，E X =0的基礎(chǔ)解系。5、 相似矩陣的定義(P，AP=B )、性質(zhì)(代B相似t R(A) = R(B)、制=怛|、代B有相同的特征值)。6、 判斷矩陣是否可以對角化以及對角化的步驟，找到可逆矩陣P使得PAP為對角矩陣。7、 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：(將實(shí)對稱矩陣對角化)(1、寫岀二次型的矩陣 A.(2、求出A的所有特征值 人，入2,，打(3、解方程組( jE - A)X =0 ( i = 1,2/ , n、求對應(yīng)

11、于特征值'1, 12 - / n的特征向量（4）若特征向量組 2,；不正交，則先將其正交化，再單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組1,2,，n，記P=（2,，n），對二次型做正交變換 X = Py ,即得二次型的標(biāo)準(zhǔn)2 2 2形 f 二'lYl'2Y2 - 'nYn8正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的內(nèi)積、長度、夾角，正交向量組的性質(zhì)，會利用施密特正交化方法化線性無關(guān)向量組為正 交向量組。2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩陣的概念、掌握化對稱矩陣為對角矩

12、陣的方法。4、掌握二次型的概念、會用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)要注意的知識點(diǎn)行列式1.2.3.n行列式共有n2個(gè)元素，展開后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式; 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、Aij和aij的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij =（-1）jAj行列式的重要公式： 、主對角行列式：主對角元素的乘積;、副對角行列式：副對角元素的乘積n (n-1)(-1)2、上、下三角行列式（、| |i ）:主對角元素的乘積;、匚和丄：副對角元素的乘積n (

13、n X)(-1) 2=(-1嚴(yán) A B 、拉普拉斯展開式：A °C B 、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積； 、特征值5. 證明A = 0的方法： 、A =_A ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax二0，證明其有非零解; 、利用秩，證明r（A） n ； 、證明0是其特征值；2、矩陣A是n階可逆矩陣:= A -0 （是非奇異矩陣）；：二r（A） = n （是滿秩矩陣）A的行（列）向量組線性無關(guān)；：二 齊次方程組 Ax二0有非零解；Rn，Ax =b總有唯一解；：二A與E等價(jià)；：二 A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積;A的特征值全不為0； = AtA是正定矩陣；：= A的行（列）向量組是

14、 Rn的一組基；A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；6.對于n階矩陣A :AA* =A* A二A E無條件恒成立;7.(A 丄)*=(A*)丄(A 丄)T =(At 廠(A*)T =( At )8.9.(AB )T =BtAt(AB) =B A(AB)° = B 丄 A 丄矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和; 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：u、AsA =A|A2As ；_L，則:A丿C = AB O。丫AoB丿(-B丄CA丄B I,3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個(gè)mxn矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F =Er

15、76;1°°加跡等價(jià)類：所有與 A等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣 A、B，若r (A) = r (B= A _ B ；2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個(gè)非0元素必須為1； 、每行首個(gè)非0元素所在列的其他元素必須為 0;3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r 、若(A, E)(E , X)，則 A 可逆，且 X =A-；c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當(dāng) A變?yōu)镋時(shí)，B就變成AB，即：(A, B)-(E, AB)；r 、求解線形方程組：對于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax

16、=b，如果(A, b)_-(E, x),則A可逆，且x=Ab ；4.初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;，左乘矩陣A，打乘A的各行元素；右乘,i乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號E(i, j)，且 E (i, j)亠二 E (i, j)，例如:f 1、f 1 11< 1丿<1丿、倍乘某行或某列，符號，例如：11E (i (k)，且 E (k)E()-k、倍加某行或k1-k、1=11丿11(k 式 0)；某列，符號 E (ij(k),且 E (ij (k)宀 E (ij (-k)5.矩陣秩的基本性質(zhì):、0 二

17、r (Am n)三min( m, n)； r(At )二 r(A)；若 A 二 B，則 r(A) =r(B)；若 P、Q 可逆，則 r (A) =r( PA) = r (AQ) = r (PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)、max( r (A), r (B) - r (A, B) _r (A) r (B) ; E)、r(A - B) _r(A) - r(B);(探)、r(AB) _min(r(A),r(B);(探)如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB = 0，U：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX =0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；U、r(A) -r(B) <n、若A、B均為n

18、階方陣，則r(AB) _r(A) - r(B) _n ；6. 三種特殊矩陣的方冪:、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;、型如叼a c I01 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開式芒° b 、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：nr (A) = n 、伴隨矩陣的秩：r(A*) = 1r(A) = n -1 ；0r (A) < n _1 、伴隨矩陣的特征值：A( AXX , A* = A A A X = AX)； 、A = A A丄、A = An-8. 關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r(A) =n，A中有n階子式不為°， n 1階子式全部為&

19、#176;；(兩句話) 、r(A) : n，A中有n階子式全部為°； 、r(A) _ n，A中有n階子式不為0;9. 線性方程組： Ax =b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組 Ax = b有m個(gè)方程； 、n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax = b為n元方程;10. 線性方程組 Ax =b的求解： 、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換(只能使用初等行變換)； 、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:、a11 X1 玄2 xa 1nXn =b.a21 X1 ' a22 X2a2nX

20、n =b2am1 X1am 2 X2 亠'亠 anmXn = bn、a11a 21ram1a12a 229am2(向量方程,A為m n矩陣，m個(gè)方程,n個(gè)未知數(shù))'；1 "an )x 2=0 (全部按列分塊，其中 0 = bE丿S丿、ax a2X2亠亠a.Xn二：(線性表出)、有解的充要條件：r(A)二r(A，乞n( n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù))4、1.2.3.4.5.6.7.8.9.向量組的線性相關(guān)性m個(gè)n維列向量所組成的向量組A: 、，2,，：m構(gòu)成n m矩陣A二（冷，：2,m）；m個(gè)n維行向量所組成的向量組B : J-：m構(gòu)成m n矩陣B =m含有有限個(gè)向量的有序向

21、量組與矩陣一一對應(yīng); 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān) 、向量的線性表岀 、向量組的相互線性表示=Ax = 0有、無非零解；（齊次線性方程組）二Ax =b是否有解；（線性方程組）=AX =B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am沁與B述行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組 Ax = 0和Bx= 0同解；（R01例14）r（ATA） =r（A） ； （ P101 例 15）n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、線性相關(guān)=:=0 ； 、：-3：,線性相關(guān)： ：，卜坐標(biāo)成比例或共線（平行）； 、:,-,線性相關(guān)：二:-J',共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若：'1, ,:-s線性相關(guān)，則：-1,2,，

22、： s, S 1必線性相關(guān)；若訂，2，-'S線性無關(guān)，則 冷，2,，-'S丄必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組 A的每個(gè)向量上添上 n -r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則 A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；向量組A （個(gè)數(shù)為r ）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s）線性表示，且 A線性無關(guān)，則rs；向量組 A能由向量組 B線性表示，則r（A） r（B）；向量組A能由向量組B線性表示=AX =B有解；=r （A）工 r （A, B）向量組A能由向量組B等價(jià)二r （A）

23、= r（B） = r（A, B）方陣A可逆:二存在有限個(gè)初等矩陣 P1, P2,R，使AP2 P ；、矩陣行等價(jià):rA B= PA = B（左乘，P可逆）：二Ax = 0與Bx = 0同解、矩陣列等價(jià):cA B = AQ =B（右乘,Q可逆）；、矩陣等價(jià)：A B = PAQ =B(P、Q可逆）；對于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價(jià)，則 A與B的行秩相等；相關(guān)性；、 、若A與B行等價(jià)，則Ax =0與Bx二0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性矩陣的初等變換不改變矩陣的秩; 矩陣A的行秩等于列秩；10.若 Am sBs n 二Cm n ,則: 、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11. 齊次方程組Bx= 0的解一定是 ABx= 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx =0只有零解=.Bx = 0只有零解； 、Bx二0有非零解二.ABx =0 定存在非零解；12. 設(shè)向量組Bn r : b，p,，br可由向量組 A, s:a1,a2,as線性表示為：(b，P，br) =(a“ a2,，a