橢圓及其方程教案(中檔篇)

1、高二數(shù)學(xué)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 1. 掌握橢圓的定義。（第一定義和第二定義）。 2. 能根據(jù)條件熟練求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 3. 掌握橢圓的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、c、e的幾何意義，及a、b、c、e間的相互關(guān)系； 4. 能綜合應(yīng)用橢圓的有關(guān)知識(shí)解決最值問題及參數(shù)的取值范圍； 5. 理解直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求橢圓截直線所得的弦長，會(huì)應(yīng)用弦中點(diǎn)的性質(zhì)求解問題。 能力訓(xùn)練：進(jìn)一步鞏固求曲線方程的方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法的自覺性及解決幾何問題的能力；進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力；同時(shí)提高代數(shù)運(yùn)算能力、綜合分析問題解決問題的能力?！镜湫屠}】一. 知識(shí)提要： 1. 橢圓的第一定義：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1、

2、F2的距離和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。 2. 橢圓的第二定義： 3. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)：【學(xué)習(xí)障礙】1理解障礙(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是關(guān)鍵(2)對于直線和橢圓的位置關(guān)系，可用一元二次方程的來判定，其理論根據(jù)是交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這一點(diǎn)應(yīng)理解準(zhǔn)確(3)直線和橢圓相交時(shí)，常常借助韋達(dá)定理解決弦長問題應(yīng)深刻理解弦長公式的推導(dǎo)過程及各字母含義(4)給出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，其焦點(diǎn)是在x軸還是在y軸，怎樣判別，其理論依據(jù)是什么(5)理解橢圓兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式，應(yīng)理解為什么可以這樣設(shè)2解題障礙(

3、1)確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個(gè)定位條件(如焦點(diǎn)的位置)和兩個(gè)定形條件(如a、b)，a、b是橢圓的定形條件，焦點(diǎn)是橢圓的定位條件(2)點(diǎn)(x0，y0)在橢圓內(nèi)1；點(diǎn)(x0，y0)在橢圓上 1；點(diǎn)(x0，y0)在橢圓外1(3)橢圓定義是解題的常用工具，但如何轉(zhuǎn)化為定義，如何應(yīng)用定義需要有明確的思維方向【學(xué)習(xí)策略】1坐標(biāo)法解析幾何的最大特點(diǎn)就是通過建立平面直角坐標(biāo)系，把一個(gè)難以解決的平面問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過坐標(biāo)和計(jì)算得出結(jié)論坐標(biāo)系建的好壞，直接影響到解題過程的繁簡以及結(jié)果的好壞通常建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，可利用圖形的對稱性，或利用圖形中的垂直關(guān)系，或使盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上2求橢圓方程一

4、般采取“先定位，后定量”的方法所謂定位，就是研究一下此橢圓是不是標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，其焦點(diǎn)到底是在x軸上還是在y軸上；所謂定量就是求出橢圓的a、b、c，從而寫出橢圓方程3定義是解決橢圓問題的常用工具，如果題目的條件能轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和為常數(shù)的問題可考慮能否利用橢圓定義；或者牽扯到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也可考慮橢圓定義4研究直線與橢圓的位置關(guān)系，或者利用弦長公式計(jì)算弦長事先都要先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)得x(或y)的一元二次方程，再利用其或韋達(dá)定理進(jìn)行5直線與橢圓相交，如果涉及到中點(diǎn)及直線的斜率可考慮平方差法6Ax2By2C(其中A、B、C為同號(hào)且不為零的常數(shù)，AB)，它包含

5、焦點(diǎn)在x軸或y軸上兩種情形方程可變形為1當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上例1. 的標(biāo)準(zhǔn)方程。 分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程。但焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程即知。 解：設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1，（m>0，n>0） 例2. 與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求ABF2的周長。 解析：數(shù)形結(jié)合，由橢圓定義即可求得答案。 解： 又ABF2的周長=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=

6、4a ABF2的周長為4a。 例3. 線的距離為（ ） A. 6B. 8C. 10D. 15 解析：法一：應(yīng)用橢圓的第二定義即可求出結(jié)果為15。 左準(zhǔn)線距離，作差即可求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線距離。 例4. 點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是12，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。 分析：根據(jù)橢圓的第二定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， 解： 例5. 求|PQ|的最大值。 分析：做此題要數(shù)形結(jié)合，從圖中可見，要求|PQ|的最大值，只要考慮圓心到橢圓上的點(diǎn)的距離即可，而橢圓上的點(diǎn)是有范圍的，于是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。 設(shè)：橢圓上的一點(diǎn)Q（x

7、，y），又C（0，4）。 則|QC|2=x2+(y4)2 |PQ|的最大值為5+1=6。例6. 上求一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。 分析：|MF|是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，有 顯然，P、M、M'三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|MM'|有最小值。 解：過P作PM'l交橢圓于M，由橢圓方程知 例7. 在的直線方程。 分析：所求直線過定點(diǎn)M（2，1），因此，設(shè)為y1=k(x2)，再利用弦中點(diǎn)條件求出直線的斜率k。 解法一：設(shè)所求直線方程為y1=k(x2)， 解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2） M（2，1）為AB的

8、中點(diǎn)， x1+x2=4，y1+y2=2。 解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)B（4x，2y）。 點(diǎn)A、B都在橢圓上。 由于過A、B的直線只有一條， 【例題分析】例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4，0)，(4，0)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于10；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，2)，(0，2)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(，)；(3)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(，2)和B(2，1)策略：根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，后設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出橢圓中的a、b即可若判斷不出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，可采用標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式解：(

9、1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)2a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(3)解法一：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(ab0)由A(，2)和B(2，1)兩點(diǎn)在橢圓上可得：解之得若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(ab0)，同上可解得，不合題意，舍去故所求的橢圓方程為1解法二：設(shè)所求橢圓方程為mx2ny21，(m0，n0且mn)由A(，2)和B(2，1)兩點(diǎn)在橢圓上可得即，解得故所求的橢圓方

10、程為1評注：(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先應(yīng)明確橢圓的焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法求a、b(2)第(3)小題中的橢圓是存在且惟一的，為計(jì)算簡便，可設(shè)其方程為mx2ny21(m0，n0)，不必考慮焦點(diǎn)位置，直接可求得方程想一想，為什么？例2已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|6，且ABC的周長等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程策略：在解析幾何里，求符合某種條件的點(diǎn)的軌跡方程，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系為選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，常常需要畫出草圖如圖811所示，由ABC的周長等于16，|BC|6可知，點(diǎn)A到B、C兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)，即|AB|AC|16610，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，據(jù)此可建立坐標(biāo)系并畫出草圖

11、解：如圖811所示，建立坐標(biāo)系，使x軸經(jīng)過點(diǎn)B、，原點(diǎn)與BC的中點(diǎn)重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216由于點(diǎn)A在直線BC上時(shí)，即y0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A的軌跡方程是1(y0)評注：橢圓的定義在解題中有著廣泛的應(yīng)用另外，求出曲線的方程后，要檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果有不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在方程后注明，常用限制條件來注明例3一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程策略：兩圓相切時(shí)，圓心之

12、間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件解：兩定圓的圓心和半徑分別為O1(3，0)，r11；O2(3，0)，r29設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3b2a2c225916故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1評注：正確地利用兩圓內(nèi)切、外切的條件，合理地消去變量R，運(yùn)用橢圓定義是解決本題的關(guān)鍵，這種求軌跡方程的方法叫做定義法例4已知P是橢圓1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，且F1PF230°，求PF1F2的面積策略：如圖812所示，已知P30°，要求

13、PF1F2的面積，如用|F1F2|·|yP|，因?yàn)榍驪點(diǎn)坐標(biāo)較繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°較好，為此必須先求出|PF1|·|PF2|，從結(jié)構(gòu)形式可看出用余弦定理可得出夾30°角的兩邊的乘積 解：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF

14、2|·|PF1|·|PF2|(2)|PF1|·|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664，|PF1|·|PF2|64(2)|PF1|·|PF2|·sin30°·64(2)·16(2)例5橢圓ax2by21與直線xy1相交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|2且PQ的中點(diǎn)C與橢圓中心連線的斜率為，求橢圓方程策略：該題是求橢圓方程，即利用題設(shè)中的兩個(gè)獨(dú)立條件，求出a、b之值即可解：由得(ab)x22bxb10設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中點(diǎn)C(，1

15、)，即C(，)kOC 由得a，b所求橢圓方程為1評注：本題是一個(gè)小型綜合題，此類問題一般先將兩個(gè)獨(dú)立的條件都用待定系數(shù)a，b表示出來，再聯(lián)立解方程組，可得所求橢圓方程例6中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)是F(0，)，又這個(gè)橢圓被直線l：y3x2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求該橢圓方程策略：本題中涉及到弦的中點(diǎn)及弦所在直線的斜率，故可采用“平方差法”解：據(jù)題意，此橢圓為焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓，設(shè)其方程為1(ab0)設(shè)直線l與橢圓C的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：1，兩式相減得：0即3 a23b2 又因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為F(0，) c則a2b250 由解得：a275，b225該橢圓

16、方程為1【同步達(dá)綱練習(xí)】1如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）A(0，) B(0，2)C(1，) D(0，1)2已知橢圓1，F(xiàn)1、F2分別為它的兩焦點(diǎn)，過F1的焦點(diǎn)弦CD與x軸成角(0)，則F2CD的周長為（ ）A10 B12C20 D不能確定3橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（ ）A± B±C± D±4設(shè)橢圓1的兩焦點(diǎn)分別是F1和F2，P為橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF2，則|PF1|PF2|等于A6 B2C D5直線yx與橢圓y21相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|等于

17、A2 BC D6點(diǎn)P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF260°，則F1PF2的面積為_ _7ABC的兩頂點(diǎn)B(8，0)，C(8，0)，AC邊上的中線BM與AB邊上的中線CN的長度之和為30，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_ _8 F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|MF2|6，則M點(diǎn)的軌跡是_ 9以兩坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)P(，4)和Q(，3)，則此橢圓的方程是_ _10在橢圓1內(nèi)，過點(diǎn)(2，1)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程是_ 11 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是，求頂點(diǎn)A的軌跡方程12在面積為1的PMN

18、中，tanM，tanN2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)并且過點(diǎn)P的橢圓方程【模擬試題】 1. 已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2=30°，求F1PF2的面積。 2. 已知橢圓的焦點(diǎn)F1（0，1），F(xiàn)2（0，1），直線y=4是它的一條準(zhǔn)線，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF2|PF1|=1，求F1PF2的面積。 3. 橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍。 4. 求與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)M（1，1）的直線方程。參考答案bbb:/aaadeareduaaa【同步達(dá)綱練習(xí)】1解析：將方程x2ky22化為橢圓的標(biāo)

19、準(zhǔn)方程為1，又焦點(diǎn)在y軸上，>2，解之得0<k<1答案：D2解析：由橢圓方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，則F2CD的周長|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020答案：C3解析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易知c3，不妨設(shè)F1(3，0)、F2(3，0)，因?yàn)榫€段PF1的中點(diǎn)在y軸上，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知xP3，由橢圓方程1解得yp±，故M點(diǎn)縱坐標(biāo)為±答案：A4解析：從方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，(|PF1|PF2|)2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|18

20、0由已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|2答案：B5解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組得1x±y±，即A()，B(，)由兩點(diǎn)間距離公式可得|AB|答案：C6解析：設(shè)|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理有m2n22mncos60°|F1F2|2122，即m2n2mn144 由橢圓定義知mn20，則m2n22mn400 由得，3mn256，故mn因此，答案：7解析：如圖23所示，設(shè)B、C為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則B(24，0)，C(24，0)，連接AB，AC，設(shè)A(x，y)，BM、CN又分別為ACB與ABC的中位線|AB|2|BM|，|AC|2|CN|AB|AC|2(|BM|CN|)60由橢圓定義，動(dòng)點(diǎn)A到兩定點(diǎn)B、C的距離的和為定長60，所以點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)，中心在原點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)2a60，a30由|BC|48，得c24b2a2c2900576324則點(diǎn)A的軌跡方程是1(y0)答案： 1(y0)8解析：盡管動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|M