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1、第三章 多維隨機變量及其分布1.一 在一箱子里裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中隨機地取兩次,每次取一只??紤]兩種試驗:(1)放回抽樣,(2)不放回抽樣。我們定義隨機變量X,Y如下:試分別就(1)(2)兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解:(1)放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101(2)不放回抽樣的情況P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1
2、=或?qū)懗蒟Y01013.二 盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù),求X,Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解:(X,Y)的可能取值為(i, j),i=0,1,2,3, j=0,12,i + j2,聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 設(shè)隨機變量(X,Y)概率密度為(1)確定常數(shù)k。(2)求P X<1, Y<3(
3、3)求P (X<1.5(4)求P (X+Y4分析:利用P (X, Y)G=再化為累次積分,其中解:(1),(2)(3)y(4)6(1)求第1題中的隨機變量(X、Y )的邊緣分布律。 (2)求第2題中的隨機變量(X、Y )的邊緣分布律。2解:(1) 放回抽樣(第1題)XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為X01Y01Pi·P·j 不放回抽樣(第1題)XY0101邊緣分布為X01Y01Pi·P·j(2)(X,Y )的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解: X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X0123 Y13Pi· P·j7.五 設(shè)
4、二維隨機變量(X,Y )的概率密度為解:8.六 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。xo解: 9.七 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)c。(2)求邊緣概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解:放回抽樣的情況P X=0, Y=0 = P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽樣的情況下,X和Y是獨立的不放回抽樣的情況:P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0=
5、 P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不獨立16.十四 設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在(0,1)上服從均勻分布。Y的概率密度為(1)求X和Y的聯(lián)合密度。(2)設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解:(1)X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨立,于是(X,Y)的聯(lián)合密度為(2)由于a有實跟根,從而判別式 即: 記 19.十八 設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量,其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨立的,試求(1)兩周(2)三周的需要量的
6、概率密度。解:(1)設(shè)第一周需要量為X,它是隨機變量 設(shè)第二周需要量為Y,它是隨機變量且為同分布,其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量,由X和Y的獨立性可知:z0 當(dāng)z<0時,fz (z) = 0當(dāng)z>0時,由和的概率公式知 (2)設(shè)z表示前兩周需要量,其概率密度為 設(shè)表示第三周需要量,其概率密度為:z與相互獨立= z +表示前三周需要量則:0,當(dāng)u<0,f(u) = 0 當(dāng)u>0時所以的概率密度為22.二十二 設(shè)某種型號的電子管的壽命(以小時計)近似地服從N(160,20)分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解:設(shè)X1,X2,X3,X4為
7、4只電子管的壽命,它們相互獨立,同分布,其概率密度為:設(shè)N=minX1,X2,X3,X 4 P N>180=P X1>180, X2>180, X3>180, X4>180 =P X>1804=1pX<1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 設(shè)隨機變量(X,Y)的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05(1)求P X=2|Y=2,P Y=3| X=0(2)求
8、V=max (X, Y )的分布律(3)求U = min (X, Y )的分布律解:(1)由條件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=(2)變量V=maxX, Y 顯然V是一隨機變量,其取值為 V:0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1,Y=0+ P X=1,Y=1+ P X=0,Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2,Y=0+ P X=2,Y=1+ P X=2,Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3,
9、Y=0+ P X=3,Y=1+ P X=3,Y=2+ P X=3,Y=3 +P Y=3, X=0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X=2 =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P V=4=P X=4,Y=0+ P X=4,Y=1+ P X=4,Y=2+ P X=4,Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5,Y=0+ + P X=5,Y=3 =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28(3)顯然U的取值為0,1,2,3 P U=0=P X=0,Y=0+ P X=0,Y=3+ P Y=0,X=1+ +
10、P Y=0,X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U=2=0.25 P U=3=0.17或縮寫成表格形式(2)V012345Pk00.040.160.280.240.28(3)U0123Pk0.280.300.250.17(4)W=V+U顯然W的取值為0,1,8 PW=0=PV=0 U=0=0 PW=1=PV=0, U=1+PV=1U=0 V=maxX,Y=0又U=minX,Y=1不可能上式中的PV=0,U=1=0,又 PV=1 U=0=PX=1 Y=0+PX=0 Y=1=0.2故 PW=1=PV=0, U=1+PV=1,U=0=0.2 PW=2=PV+U=2= PV=2, U=0+
11、 PV=1,U=1 = PX=2 Y=0+ PX=0 Y=2+PX=1 Y=1 =0.03+0.01+0.02=0.06 PW=3=PV+U=3= PV=3, U=0+ PV=2,U=1 = PX=3 Y=0+ PX=0,Y=3+PX=2,Y=1 + PX=1,Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 PW=4= PV=4, U=0+ PV=3,U=1+PV=2,U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3,Y=1+PX=1,Y=3 + PX=2,Y=2 =0.19 PW=5= PV+U=5=PV=5, U=0+ PV=5,U=1+PV=3,U=2 =PX=5 Y=0+ PX=5,
12、Y=1+PX=3,Y=2+ PX=2,Y=3 =0.24 PW=6= PV+U=6=PV=5, U=1+ PV=4,U=2+PV=3,U=3 =PX=5,Y=1+ PX=4,Y=2+PX=3,Y=3 =0.19 PW=7= PV+U=7=PV=5, U=2+ PV=4,U=3 =PV=5,U=2 +PX=4,Y=3=0.6+0.6=0.12 PW=8= PV+U=8=PV=5, U=3+ PX=5,Y=3=0.05或列表為W012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.05二十一 設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)b;(2)求邊緣概率密度fX (x),fY (y)(3)求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。解:(1) (2) (3)Fu ()=P U u=P )=P X u, Y u =F (u, u)= u<0, FU (u) = 01、發(fā)生以下情形,本協(xié)議即終止:(1)、公司因客觀原因未能設(shè)立;(2)、公司營業(yè)執(zhí)照被依法
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