版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶(hù)提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、整數(shù)的整除性1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)(1)整除的定義:對(duì)于兩個(gè)整數(shù) a、d (0),若存在一個(gè)整數(shù)p.使得d住成立,則稱(chēng)d整除a,或a被d整除,記作d|a若d不能整除a,貝V記作d a,如2|6 , 46。(2)性質(zhì)1)若b|a,則b|(-a),且對(duì)任意的非零整數(shù) m有bm|am2)若 a|b , b|a,貝V |a|=|b|;3)若 b|a , c|b,貝V c|a4)若 b|ac,而(a, b) =1 (a, b) =1 表示 a、b互質(zhì),則 b|c ;5)右b|ac,而b為質(zhì)數(shù),則b|a,或b|c ;6)若c|a , c|b,則c| (ma+nb,其中m n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還
2、可以推廣到更多項(xiàng)的和)例1(1987年北京初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)x, y, z均為整數(shù),右11 | (7x+2y-5z ),求證:11 | ( 3x-7y+12z )。證明 4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而11 | 11(3x-2y+3z),且11 | (7x+2y-5z),11 | 4(3x-7y+12z)又(11,4)=111 | (3x-7y+12z).2.整除性問(wèn)題的證明方法(1)利用數(shù)的整除性特征(見(jiàn)第二講)解72=8X 9,且(8, 9) =1,所以只需討論8、9都整除 九 UL:;的值。若8 | A;'1',則8丨心,由除法
3、可得b = 2若 9 | _ l',貝V 9 | (a+6+7+9+2),得 a=3。(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì) 任意兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之積必定是一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)之一積, 因此一定可 被2整除。 任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之中至少有一個(gè)偶數(shù)且至少有一個(gè)是3的倍數(shù),所以它們之積一定可以被2整除,也可被3整除,所以也可以被2X 3=6整除。這個(gè)性質(zhì)可以推廣到任意個(gè)整數(shù)連續(xù)之積。3 3 J 11例3 (1956年北京競(jìng)賽題)證明:_對(duì)任何整數(shù)n都為整數(shù),且用3除時(shí)余2。3 1 1+ -n1 +-» -1 =+1)(2左 +1)-1證明h為連續(xù)二整數(shù)的積,必可被2整除.n(n + 1)1對(duì)任何整
4、數(shù)n均為整數(shù),旳(就 + 1)(2“ + 1) -1v 2為整數(shù),即原式為整數(shù).nn + 1)(2料 +1)4 總(卑 +1)(2 時(shí) +1)又v丄:2“(2肖 +1)(2 料 + 2)82n、2n+1、2n+2為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其積必是 3的倍數(shù),而2與3互質(zhì),+ l)(2fl +1)1是能被3整除的整數(shù).3 3 a 1 “3 +1)(2烈+1)-2故 _ 二-被3除時(shí)余2.例4一整數(shù)a若不能被2和3整除,則a2+23必能被24整除.證明Va2+23= (a2-1 ) +24,只需證a2-1可以被24整除即可. 2 . . /-a 為奇數(shù).設(shè) a=2k+1(k 為整數(shù)),則 a2-1=(2k+
5、1) 2-仁4k2+4k=4k(k+1).v k、k+1為二個(gè)連續(xù)整數(shù),故k (k+1)必能被2整除,/ 8|4k ( k+1),即 8| (a2-1 ).又v( a-1 ),a, (a+1 )為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其積必被 3整除,即3|a (a-1 ) (a+1)=a (a -1 ),v3 a,/ 3| ( a2-1 ) .3 與 8 互質(zhì),/ 24|(a 2-1),即 a2+23 能被 24 整除.利用整數(shù)的奇偶性下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來(lái)解幾個(gè)整數(shù)問(wèn)題例5求證:不存在這樣的整數(shù)a、b、c、d使:跡1a b c d -a=iywa b c d -b= i 川 ia b c
6、d -c= i w眥1a b c d -d=門(mén) w證明由,a( bcd-1 ) C右端是奇數(shù),左端a為奇數(shù),bcd-1為奇數(shù).同理,由、知b、c、d必為奇數(shù),那么bcd為奇數(shù),bcd-1必為偶數(shù),則a (bcd-1 )必為偶數(shù),與式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.例6(1985年合肥初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)xi,X2,,xn,其中每一個(gè)不是+1就是-1,且試證n是4的倍數(shù).廿證明 設(shè) ":】(i=1,2,,n-1),則屮不是+1就是-1,但y1+y2+yn=0,故其中+1與-1的個(gè)數(shù)相同,設(shè)為k,于是 n=2k.又y1y2y3yn=1,即(-1 ) k=1,故k為偶數(shù),n是4的倍數(shù)
7、.其他方法:整數(shù)a整除整數(shù)b,即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手 段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7(美國(guó)第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?解 n3+100=(n+10)(n 2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng) 地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是 900.所以,n+10=900,n二890.例8(上海1989年高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)a、b、c為滿(mǎn)足不等式1 < av b< c的整數(shù),且(ab-1)( bc-1 )(ca
8、-1 )能被abc整除,求所有可能數(shù)組(a,b, c).解'/( ab-1 ) ( bc-1 ) (ca-1 )=a2b2c2-abc (a+b+c ) +ab+ac+bc-1,/ abc| (ab-1 )( bc-1 )(ca-1 )存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc-1二kabc,133+ 一:<_.< k=1.若a>3,此時(shí)11111 11 47X 卓 斗* = 仁二:-二: <矛盾.已知a > 1.只有a=2.當(dāng)a=2時(shí),代入中得 2b+2c-仁be ,2 21224_ + _ _ + _ = _即 1=1iI- < iI 0< b<
9、; 4,知b=3,從而易得c=5.c是一項(xiàng)重要解題閡1n,能使數(shù);說(shuō)明:在此例中通過(guò)對(duì)因數(shù) k的范圍討論,從而逐步確定 a、b、 技巧例9(1987年全國(guó)初中聯(lián)賽題)已知存在整數(shù)被1987整除.求證數(shù)廠衛(wèi)創(chuàng)冊(cè)帖哪軸昭拠7js 個(gè)a 個(gè)xt廠11舸馳哪盟創(chuàng)密飽7K+ll B+ll «+11?!+lt都能被1987整除.p =yji 1®十蚩觸9 1滬+劈鐵§8疔+召拠“血機(jī)證明 XH X:X-T因1(103n+.一 1 ;:'),且- 能被 1987 整除,.p 能被 1987 整除.同樣,因1q二小(11,小 +.:"+")10&quo
10、t; =9xjl + lf且:-:- Ji' - ii r .】wim® ii.故a:、10十、被; 除,余數(shù)分因1別為1000,100,10,于是q表示式中括號(hào)內(nèi)的數(shù)被;除,余數(shù)為1987,它可被1987整除,所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被1987整除,即q能被1987整除.練習(xí)十六1. 選擇題(1) ( 1987年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)若數(shù)n=20- 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130,則不是 n 的因數(shù)的最 小質(zhì)數(shù)是()(A 19(B) 17(C) 13( D)非上述答案(2) 在整數(shù)0、1、2、8、9中質(zhì)數(shù)有x個(gè),偶數(shù)有y個(gè),完全平方數(shù)有z個(gè),
11、則x+y+z 等于()(A 14(B) 13(C) 12( D) 11( E) 10(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是()(A 2( B) 3(C) 5( D 311+518 (E 以上都不是2. 填空題(1)( 1973年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)把100000表示為兩個(gè)整數(shù)的乘積,使其中沒(méi)有 一個(gè)是10的整倍數(shù)的表達(dá)式為.一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是.(1989年全國(guó)初中聯(lián)賽題)在十進(jìn)制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是.3. 求使:|"|;為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值.4. (1971年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)證明:對(duì)一切整數(shù)n
12、,n2+2n+12不是121的倍數(shù).5. (1984年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)匚匚乂是一個(gè)四位正整數(shù),已知三位正整數(shù):二"與246的和是一位正整數(shù)d的111倍,匸工又是18的倍數(shù).求出這個(gè)四位數(shù)心:,并寫(xiě) 出推理運(yùn)算過(guò)程6. (1954年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)能否有正整數(shù) m n滿(mǎn)足方程mi+1954=n2.7. 證明:(1)133| (11n+2+12n+1),其中n為非負(fù)整數(shù).(2)若將(1)中的11改為任意一個(gè)正整數(shù)a,則(1)中的12,133將作何改動(dòng)?證明改動(dòng) 后的結(jié)論.8. (1986年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)a、b、c是三個(gè)互不相等的正整數(shù).求證:在 a3b-ab3,b 3c-b
13、c3,c 3a-ca 3三個(gè)數(shù)中,至少有一個(gè)能被10整除.9. (1986年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)100個(gè)正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù) 的最大可能值是多少?證明你的結(jié)論.練習(xí)十六1. B.B.A2. (1)25.(2)27.3 .由2000a為一整數(shù)平方可推出 a=5.4 .反證法.若是12 1的倍數(shù),設(shè)n2+2n+12 = 12 1k (n+1) 2 =ll(llk 1).T1 1是素?cái)?shù)且除盡(+1),11除盡 n+1 11 除盡(n+1) 或11 |11k 1,不可能.5.由7是 d 的111倍,一可能是 19 8, 3 0 9,4 2 0,5 3 1,6 4 2,7 5 3
14、 ;又 A是18的倍數(shù),.;* 只能是 198 .而 198 + 246= 4 4 4,.d = 4, 芒心;.丫匚是 1 9 8 4.7.+ 14 413(1)12X11n-111 n + 2+12n-12X11 n+12X144 n = -=133X11 n).第一項(xiàng)可被13 3整除.又14 4 11|144n + 22n+1+ 12 .2n+1 = 12 1X11 n+12X144 n=121X11 nn+12X(1n-11 n,.(2)1 1改為a.12改為a+1,133改為a(a+1)+1 .改動(dòng)后命題為 a(a+1)+1|a n + 2+(a+1)2n+1,可仿上證明.8.Va 3
15、 b ab 3 = ab(a 2 b 2);同理有 b(b 2 c 2 );ca(c 2 a 2).若a、b、c中有偶數(shù)或均為奇數(shù),以上三數(shù)總能被2整除.又在a、b、c中若有 一個(gè)是5的倍數(shù),貝V題中結(jié)論必成立.若均不能被5整除,則a2,b 2,c 2個(gè)位數(shù)只能是1, 4,6,9,從而a 2bb2c2,c a2的個(gè)位數(shù)是從1,4, 6,9中,任取三個(gè)兩兩之差,其中必有0或±5,故題中三式表示的數(shù)至少有一 個(gè)被5整除,又2、5互質(zhì).9 .設(shè)10 0個(gè)正整數(shù)為a 1 ,a 2,-,a 1oo,最大公約數(shù)為d,并令=d ai (1 <i <100).則a 1 +a 2 + +a 100 =
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 房地產(chǎn)業(yè)安全生產(chǎn)管理辦法
- 動(dòng)物救助捐贈(zèng)管理計(jì)劃
- 體育賽事巴士租賃合同
- 神經(jīng)外科人才聘用合同模板
- 2022年大學(xué)森林資源專(zhuān)業(yè)大學(xué)物理下冊(cè)月考試卷C卷-附解析
- 2022年大學(xué)生物科學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)物理二月考試題C卷-附解析
- 25樓地面采暖工程施工合同
- 2022年大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)物理二期末考試試卷D卷-附解析
- 2022年大學(xué)口腔醫(yī)學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)物理二期末考試試卷-附解析
- 新生兒濕疹護(hù)理健康宣教
- 堤壩拋石固腳施工方案(標(biāo)準(zhǔn)版)
- 醫(yī)療器械不良事件報(bào)告表
- 災(zāi)難救援現(xiàn)場(chǎng)的檢傷分類(lèi)方法
- 探秘瀾滄江-湄公河流域的河流地貌(公共課件)
- 盤(pán)扣支架施工合同
- 建筑工程各種材料臺(tái)賬樣表格模板
- 配餐學(xué)校供餐企業(yè)交接餐檢查記錄表
- 通風(fēng)隊(duì)崗位說(shuō)明書(shū)XXXX117
- 初中體育與健康人教九年級(jí)(2023年修訂) 田徑初三跨欄教案
- DB13T 5216-2020 建設(shè)用地土壤污染風(fēng)險(xiǎn)篩選值
- 金壇區(qū)蘇科版六年級(jí)上冊(cè)勞動(dòng)《09T形路口信號(hào)燈》課件
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論