整數(shù)的整除性

1、整數(shù)的整除性1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)(1)整除的定義：對于兩個整數(shù) a、d (0)，若存在一個整數(shù)p.使得d住成立，則稱d整除a,或a被d整除，記作d|a若d不能整除a,貝V記作d a，如2|6 , 46。(2)性質(zhì)1)若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù) m有bm|am2)若 a|b , b|a，貝V |a|=|b|;3)若 b|a , c|b，貝V c|a4)若 b|ac，而(a, b) =1 (a, b) =1 表示 a、b互質(zhì)，則 b|c ;5)右b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c ;6)若c|a , c|b，則c| (ma+nb，其中m n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還

2、可以推廣到更多項的和)例1(1987年北京初一數(shù)學(xué)競賽題)x, y, z均為整數(shù)，右11 | (7x+2y-5z )，求證：11 | ( 3x-7y+12z )。證明 4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而11 | 11(3x-2y+3z),且11 | (7x+2y-5z),11 | 4(3x-7y+12z)又(11,4)=111 | (3x-7y+12z).2.整除性問題的證明方法(1)利用數(shù)的整除性特征(見第二講)解72=8X 9,且（8, 9） =1，所以只需討論8、9都整除 九 UL：；的值。若8 | A；'1',則8丨心，由除法

3、可得b = 2若 9 | _ l'，貝V 9 | （a+6+7+9+2）,得 a=3。（2）利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì) 任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一積， 因此一定可 被2整除。 任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2X 3=6整除。這個性質(zhì)可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。3 3 J 11例3 （1956年北京競賽題）證明：_對任何整數(shù)n都為整數(shù)，且用3除時余2。3 1 1+ -n1 +-» -1 =+1）（2左 +1）-1證明h為連續(xù)二整數(shù)的積，必可被2整除.n（n + 1）1對任何整

4、數(shù)n均為整數(shù)，旳（就 + 1）（2“ + 1） -1v 2為整數(shù)，即原式為整數(shù).nn + 1）（2料 +1）4 總（卑 +1）（2 時 +1）又v丄:2“（2肖 +1）（2 料 + 2）82n、2n+1、2n+2為三個連續(xù)整數(shù)，其積必是 3的倍數(shù)，而2與3互質(zhì),+ l)(2fl +1)1是能被3整除的整數(shù).3 3 a 1 “3 +1)(2烈+1)-2故 _ 二-被3除時余2.例4一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.證明Va2+23= (a2-1 ) +24，只需證a2-1可以被24整除即可. 2 . . /-a 為奇數(shù).設(shè) a=2k+1(k 為整數(shù)),則 a2-1=(2k+

5、1) 2-仁4k2+4k=4k(k+1).v k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k (k+1)必能被2整除，/ 8|4k ( k+1)，即 8| (a2-1 ).又v( a-1 )，a， (a+1 )為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被 3整除，即3|a (a-1 ) (a+1)=a (a -1 )，v3 a，/ 3| ( a2-1 ) .3 與 8 互質(zhì)，/ 24|(a 2-1),即 a2+23 能被 24 整除.利用整數(shù)的奇偶性下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識來解幾個整數(shù)問題例5求證:不存在這樣的整數(shù)a、b、c、d使：跡1a b c d -a=iywa b c d -b= i 川 ia b c

6、d -c= i w眥1a b c d -d=門 w證明由，a( bcd-1 ) C右端是奇數(shù)，左端a為奇數(shù)，bcd-1為奇數(shù).同理，由、知b、c、d必為奇數(shù)，那么bcd為奇數(shù)，bcd-1必為偶數(shù)，則a (bcd-1 )必為偶數(shù)，與式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.例6(1985年合肥初中數(shù)學(xué)競賽題)設(shè)有n個實數(shù)xi,X2,，xn，其中每一個不是+1就是-1，且試證n是4的倍數(shù).廿證明 設(shè) "：】(i=1,2,，n-1)，則屮不是+1就是-1，但y1+y2+yn=0，故其中+1與-1的個數(shù)相同，設(shè)為k，于是 n=2k.又y1y2y3yn=1,即(-1 ) k=1,故k為偶數(shù)，n是4的倍數(shù)

7、.其他方法：整數(shù)a整除整數(shù)b,即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手 段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.例7(美國第4屆數(shù)學(xué)邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少？解 n3+100=(n+10)(n 2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除，則900也能被n+10整除.而且，當(dāng)n+10的值為最大時，相應(yīng) 地n的值為最大.因為900的最大因子是 900.所以,n+10=900,n二890.例8（上海1989年高二數(shù)學(xué)競賽）設(shè)a、b、c為滿足不等式1 < av b< c的整數(shù)，且（ab-1）（ bc-1 ）（ca

8、-1 ）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a,b, c）.解'/( ab-1 ) ( bc-1 ) (ca-1 )=a2b2c2-abc (a+b+c ) +ab+ac+bc-1，/ abc| (ab-1 )( bc-1 )(ca-1 )存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc-1二kabc,133+ 一：<_.< k=1.若a>3,此時11111 11 47X 卓 斗* = 仁二：-二: <矛盾.已知a > 1.只有a=2.當(dāng)a=2時，代入中得 2b+2c-仁be ,2 21224_ + _ _ + _ = _即 1=1iI- < iI 0< b<

9、; 4，知b=3，從而易得c=5.c是一項重要解題閡1n,能使數(shù)；說明：在此例中通過對因數(shù) k的范圍討論，從而逐步確定 a、b、 技巧例9（1987年全國初中聯(lián)賽題）已知存在整數(shù)被1987整除.求證數(shù)廠衛(wèi)創(chuàng)冊帖哪軸昭拠7js 個a 個xt廠11舸馳哪盟創(chuàng)密飽7K+ll B+ll «+11?!+lt都能被1987整除.p =yji 1®十蚩觸9 1滬+劈鐵§8疔+召拠“血機證明 XH X:X-T因1(103n+.一 1 ；：')，且- 能被 1987 整除，.p 能被 1987 整除.同樣，因1q二小(11，小 +.："+")10&quo

10、t; =9xjl + lf且：-：- Ji' - ii r .】wim® ii.故a：、10十、被； 除，余數(shù)分因1別為1000，100，10,于是q表示式中括號內(nèi)的數(shù)被；除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.練習(xí)十六1. 選擇題(1) ( 1987年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)若數(shù)n=20- 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130,則不是 n 的因數(shù)的最 小質(zhì)數(shù)是()(A 19(B) 17(C) 13( D)非上述答案(2) 在整數(shù)0、1、2、8、9中質(zhì)數(shù)有x個，偶數(shù)有y個，完全平方數(shù)有z個，

11、則x+y+z 等于()(A 14(B) 13(C) 12( D) 11( E) 10(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是()(A 2( B) 3(C) 5( D 311+518 (E 以上都不是2. 填空題（1）（ 1973年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）把100000表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有 一個是10的整倍數(shù)的表達式為.一個自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù)，與3的差是6的倍數(shù)，這樣的自然數(shù)中最小的是.（1989年全國初中聯(lián)賽題）在十進制中，各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是.3. 求使:|"|；為整數(shù)的最小自然數(shù)a的值.4. （1971年加拿大數(shù)學(xué)競賽題）證明:對一切整數(shù)n

12、,n2+2n+12不是121的倍數(shù).5. （1984年韶關(guān)初二數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)匚匚乂是一個四位正整數(shù)，已知三位正整數(shù)：二"與246的和是一位正整數(shù)d的111倍，匸工又是18的倍數(shù).求出這個四位數(shù)心：,并寫 出推理運算過程6. （1954年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競賽題）能否有正整數(shù) m n滿足方程mi+1954=n2.7. 證明：（1）133| （11n+2+12n+1），其中n為非負整數(shù).（2）若將（1）中的11改為任意一個正整數(shù)a,則（1）中的12,133將作何改動？證明改動 后的結(jié)論.8. （1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)a、b、c是三個互不相等的正整數(shù).求證:在 a3b-ab3,b 3c-b

13、c3,c 3a-ca 3三個數(shù)中，至少有一個能被10整除.9. （1986年上海初中數(shù)學(xué)競賽題）100個正整數(shù)之和為101101,則它們的最大公約數(shù) 的最大可能值是多少？證明你的結(jié)論.練習(xí)十六1. B.B.A2. (1)25.(2)27.3 .由2000a為一整數(shù)平方可推出 a=5.4 .反證法.若是12 1的倍數(shù)，設(shè)n2+2n+12 = 12 1k (n+1) 2 =ll(llk 1).T1 1是素數(shù)且除盡(+1),11除盡 n+1 11 除盡(n+1) 或11 |11k 1,不可能.5.由7是 d 的111倍，一可能是 19 8, 3 0 9,4 2 0,5 3 1,6 4 2,7 5 3

14、 ;又 A是18的倍數(shù)，.；* 只能是 198 .而 198 + 246= 4 4 4,.d = 4, 芒心;.丫匚是 1 9 8 4.7.+ 14 413(1)12X11n-111 n + 2+12n-12X11 n+12X144 n = -=133X11 n).第一項可被13 3整除.又14 4 11|144n + 22n+1+ 12 .2n+1 = 12 1X11 n+12X144 n=121X11 nn+12X(1n-11 n,.(2)1 1改為a.12改為a+1,133改為a(a+1)+1 .改動后命題為 a(a+1)+1|a n + 2+(a+1)2n+1，可仿上證明.8.Va 3

15、 b ab 3 = ab(a 2 b 2);同理有 b(b 2 c 2 );ca(c 2 a 2).若a、b、c中有偶數(shù)或均為奇數(shù)，以上三數(shù)總能被2整除.又在a、b、c中若有 一個是5的倍數(shù)，貝V題中結(jié)論必成立.若均不能被5整除，則a2,b 2,c 2個位數(shù)只能是1, 4,6,9，從而a 2bb2c2,c a2的個位數(shù)是從1,4, 6,9中，任取三個兩兩之差，其中必有0或±5,故題中三式表示的數(shù)至少有一 個被5整除，又2、5互質(zhì).9 .設(shè)10 0個正整數(shù)為a 1 ,a 2,-,a 1oo，最大公約數(shù)為d,并令=d ai (1 <i <100).則a 1 +a 2 + +a 100 =