有趣的坐標(biāo)系

1、有趣的坐標(biāo)系一、教材分析：學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過(guò)平面直角坐標(biāo)系，了解了點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，本節(jié)課 在此基礎(chǔ)上，研究點(diǎn)的其它相關(guān)數(shù)量，從而將直角坐標(biāo)系拓展到菱形坐標(biāo)系、 距 離坐標(biāo)系、圓坐標(biāo)系、三角形坐標(biāo)系等等。從直角坐標(biāo)系到其它坐標(biāo)系，是思維 的模式突破，但這種知識(shí)的由來(lái)并不是強(qiáng)加給學(xué)生的， 而是從舊知識(shí)的延伸。通 過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)知識(shí)、用知識(shí)、建立新模型的樂趣，這也是數(shù)學(xué) 教學(xué)的重要目標(biāo)。本節(jié)課采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自我構(gòu)建，這種思維方式將 對(duì)孩子們將來(lái)的學(xué)習(xí)和工作起到一定的影響。（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 知識(shí)目標(biāo)：（1）理解點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2）會(huì)在不同的坐標(biāo)系中根據(jù)坐標(biāo)找

2、到點(diǎn)、有點(diǎn)寫出坐標(biāo)2. 能力目標(biāo)：（1）通過(guò)研究直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的相關(guān)量從而建立新的坐標(biāo)系，培養(yǎng)學(xué)生初步的建模能力。（2）探究活動(dòng)，積累一定的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)能力， 培養(yǎng) 學(xué)生歸納、抽象及用語(yǔ)言表達(dá)結(jié)論的能力。3 .情感目標(biāo)：通過(guò)實(shí)際操作得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和探索精神。（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)在新的坐標(biāo)系中掌握點(diǎn)與坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。難點(diǎn)：在新坐標(biāo)系中如何定義點(diǎn)的坐標(biāo)。三、授課內(nèi)容【學(xué)習(xí)任務(wù)一】知識(shí)準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系1. （1）已知 A （3，4）、B （-1，5）、C （ 2. 5，0）、（2）分別寫出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)D （-5，-4）

3、，判斷各點(diǎn)所在的位置，并在坐標(biāo) 系中描出.（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，體會(huì)點(diǎn)與 有序?qū)崝?shù)對(duì)即坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)量變化即坐標(biāo)則點(diǎn)的位置發(fā)生變化，反之，點(diǎn)的位置發(fā)生變化則坐 標(biāo)也隨之變化.）【學(xué)習(xí)任務(wù)二】新知探索1. 上節(jié)課中由互相垂直的中上路與南京路引入，據(jù)此建立平面直角坐標(biāo)系， 用兩個(gè)數(shù)據(jù)就可以確定點(diǎn)的位置，如果兩條路不垂直，如下圖那么在這個(gè)坐標(biāo)系中，用怎樣的方法來(lái)描述點(diǎn)的位置呢？在下左圖中任取點(diǎn)舉例說(shuō)明.先獨(dú)立思考，然后組內(nèi)交流，推選代表發(fā)言.3問(wèn)題：根據(jù)右圖，（1）寫出A、B、C D四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn) E（3，-2 ）、點(diǎn)F（ 2.5，4）.（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)平

4、面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的定義， 很容易想到作平行線， 自然地定義出 坐標(biāo)，不排除少數(shù)同學(xué)可能會(huì)作垂線的方法， 用垂足表示的數(shù)來(lái)定義坐標(biāo)，應(yīng)鼓勵(lì)。在學(xué)生 討論的基礎(chǔ)上，給出菱形坐標(biāo)系，而問(wèn)題的解決是給基礎(chǔ)一般的學(xué)生嘗試的機(jī)會(huì)，也更有利于理解點(diǎn)與坐標(biāo)之間的關(guān)系.）2. （ 1）分別說(shuō)任務(wù)一中 A、B、C、D四點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離，而這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與距離不 無(wú)關(guān)系.那么問(wèn)題1是否也可以類似地來(lái)確定點(diǎn)的位置呢？在上右圖中，取點(diǎn)舉例說(shuō)明.1 2 34、x問(wèn)題1:若PA丄x軸，且點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的距離相等， 你能準(zhǔn)確地找到點(diǎn) P的位置嗎？若兩坐 標(biāo)軸正半軸的夾角為 60°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？此時(shí)點(diǎn) A的

5、坐標(biāo)又是什么？問(wèn)題2:在上述坐標(biāo)系中，兩條數(shù)軸的正半軸的夾角仍為60°,有一條線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3, 3）且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成等邊三角形，M （ a, b）為該線段上任一點(diǎn)，則 a、b之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（設(shè)計(jì)意圖：從菱形坐標(biāo)系到距離坐標(biāo)系難度增加，但思路一致，當(dāng)夾角一般是只要求學(xué)生說(shuō)出大致的方法，而問(wèn)題的解決對(duì)學(xué)生提出更高的要求，而層層鋪墊有利于學(xué)生能力的提高，問(wèn)題2,利用幾何畫板的操作動(dòng)點(diǎn)，幫助學(xué)生識(shí)圖猜想.）3. 在任務(wù)一中給定了一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)相關(guān)的量， 即坐標(biāo)就能確定點(diǎn)的位置了。 請(qǐng)分別計(jì)算OA、 OB、OC的長(zhǎng)度并分別度量射線 OA、OB、OC與x軸的正半軸所成夾角的度數(shù)，

6、并做記錄： 能否根據(jù)這樣的兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定點(diǎn)的位置呢?你準(zhǔn)備建立怎樣的坐標(biāo)系，用怎樣的數(shù)據(jù)描述點(diǎn)的位置？（設(shè)計(jì)意圖：在前兩個(gè)坐標(biāo)系的研究之后，讓學(xué)生嘗試自己建立坐標(biāo)系，有一定的難度，但給學(xué)生留下了更大的空間，譬如，學(xué)生可能把夾角定義為-180 ° 180°,也有可能像前幾個(gè)坐標(biāo)系一樣把到原點(diǎn)的距離分為正負(fù)兩種.）4閱讀理解將一等邊三角形的三條邊各 10等分，按順時(shí)針方向標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)010,將不同邊上的序號(hào)和為10的兩個(gè)點(diǎn)依次連接起來(lái)，這樣就建立了“三角形坐標(biāo)系”如圖，坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三條邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái) 表示（水平方

7、向開始，按順時(shí)針方向），如點(diǎn)A（0，5，5）,點(diǎn)C（2，5，3）.（1）請(qǐng)寫出圖中點(diǎn) B、D的坐標(biāo)（2）觀察A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn).（3）想想三角形坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)有三個(gè)數(shù)據(jù)，與剛才幾個(gè)坐標(biāo)系中由兩點(diǎn)確定點(diǎn)的位置是否有矛盾？為什么？ （4）課后思考：如果將 10小球投放到3個(gè)相同的籃筐中，共有多少種方案?6541235378910 9876543（設(shè)計(jì)意圖：三角形坐標(biāo)系的建立沒有背景，難度太大，但作為一種新型的坐標(biāo)系能引起學(xué)生的興趣，因此通過(guò)閱讀的方式讓學(xué)生了解，還可以提高學(xué)生閱讀理解的能力，同時(shí)通過(guò)問(wèn)題（2）（ 3）的解決，可以讓學(xué)生明白該坐標(biāo)系與其它坐標(biāo)系是相通的問(wèn)題（4）

8、的設(shè)計(jì),旨在讓學(xué)生感受坐標(biāo)系與生活的聯(lián)系，坐標(biāo)未必表示位置，還可以有其它含義）【課堂小結(jié)】學(xué)生談?wù)勈斋@【學(xué)習(xí)任務(wù)三】自主反饋1.某同學(xué)，針對(duì)正六邊形 OABCDE，自己設(shè)計(jì)了一個(gè)坐標(biāo)系如上中圖，該坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為X軸，直線OE為y軸，以正六邊形 OABCDE的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)。坐標(biāo) 系中的任意一點(diǎn) P用一有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）來(lái)表示，我們稱這個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（ a，b）為點(diǎn)P 的坐標(biāo)坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法如下：x軸上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），其中m為M點(diǎn)在x軸上表示的實(shí)數(shù)；y軸上點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，n），其中n為N點(diǎn)在）y軸上表示的實(shí)數(shù)； 不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn) Q的坐標(biāo)為（a，b ），其中a

9、為過(guò)點(diǎn)Q且與y軸平行的直線與x軸的交點(diǎn) 在y軸上表示的實(shí)數(shù)，b為過(guò)點(diǎn)Q且與x軸平行的直線與y軸的交點(diǎn)在y軸上表示的實(shí)數(shù)(1) 分別寫出點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo).(2) 標(biāo)出點(diǎn)M (2, 3)的位置；(3) 若點(diǎn)K(x,y)為射線0D上任一點(diǎn)，則x與y所滿足的關(guān)系式為： .2. 畫一條水平數(shù)軸，以原點(diǎn) 0為圓心，過(guò)數(shù)軸上的每一刻度點(diǎn)畫同心圓，過(guò)原點(diǎn)0按逆時(shí)針方向畫到數(shù)軸正半軸的角度分別為 30° 60° 90°330°的直線，這樣就建立了圓坐標(biāo)系 . 如上右圖，A、B、F點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (4，0 °)、B (2，30°)、F (4，330 °).(1) 寫出點(diǎn)C D