高等數(shù)學-第8章 - (第4次課)

1、高等數(shù)學 課程相關(guān) 教材及相關(guān)輔導用書 高等數(shù)學第一版，肖筱南主編,林建華等編著, 北京大學出版社2010.8. 高等數(shù)學精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,2006.7.高等數(shù)學第七版,同濟大學數(shù)學教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學學習輔導與習題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數(shù)學系編 高等教育出版社,2014.8. 第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 8.1 向量代數(shù) 8.2 數(shù)量積 向量積 混合積 8.3 空間曲面及其方程 8.4 空間曲線及其空間曲線及其方程方程 8.5 平面及其方程 8.6 空間直線及其方程 8.7 綜合例題回顧回顧： 2122122

2、1221zzyyxxMM 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個向量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（結(jié)果是一個數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）數(shù)量積、向量積、混合積 cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角) sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面四、錐面五、二次曲面水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)

3、關(guān)系系：（1 1） 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：xyzo ),(zyxP旋轉(zhuǎn)曲面： 一平面曲線C繞同一平面上的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸。 , 0,22 zyxf表表示示yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程. 方

4、程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf同同理理：xoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf同同理理：xoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zxf繞繞x 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zyxf定義三、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 移動的直線 所形成的曲面稱為柱面.CL這條定曲線 叫柱面的準線，動直線 叫柱面的母線.C

5、L從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y【結(jié)論結(jié)論】柱面的方程是柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且與的二元方程，且與其準線方程相同其準線方程相同. . 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲

6、線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：8.4、空間曲線及其方程例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當當給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx

7、，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 例例 3 3 如如果果空空間間一一點點M在在圓圓柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，同同時時又又以以線線速速度度v沿沿平平行行于于z軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點點M構(gòu)構(gòu)成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin

8、 vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.投

9、影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的在坐標面上的投影投影方程方程. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的面上的投影方投影方程

10、為程為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22與平面與平面 02 zyx 的截線在三個坐標面上的投影曲線方程的截線在三個坐標面上的投影曲線方程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,00452

11、2 zxxyyx補充補充: : 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設一個立體設一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、

12、參數(shù)方程四、小結(jié)空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 222與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.思考題解答思考題解答,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲面曲面zyx10922 與與yoz平面的交線是平面的交線是_；2 2、 通過曲線通過曲線162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母線平行于母線平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_；3 3、 曲線曲線01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程組方程組 3215xyxy在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_；5 5、 方程組方程組 3194