圓錐曲線軌跡問題

1、與圓錐曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題復(fù)習(xí)題有關(guān)動點(diǎn)的軌跡問題是解析幾何中的一類重要的問題，求動點(diǎn)的軌跡和圓錐曲線的定義、性質(zhì)有著密切的關(guān)系在求解時要先畫出相應(yīng)的草圖進(jìn)行分析，再選擇好相應(yīng)的解題策略和具體方法 探求曲線軌跡的基本方法：直接法（軌跡法） 、定義法、 相關(guān)點(diǎn)法（代入法）、 參數(shù)法、代入法、待定系數(shù)法、點(diǎn)差法。教學(xué)重點(diǎn)：靈活運(yùn)用題設(shè)條件，確定動點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線的定義確定曲線的類型。教學(xué)難點(diǎn)：理解軌跡的完備性與純粹性，并能準(zhǔn)確地運(yùn)用。（完備性是指符合條件的點(diǎn)都要在軌跡上，不能遺漏；純粹性是指軌跡上的所有點(diǎn)都符合條件，沒有“假冒”。）思考并回答：（1）已知且，則點(diǎn)P的軌跡是 圓 （

2、2）已知ABC的一邊BC的長為6，周長為16，則頂點(diǎn)A的軌跡是什么？（橢圓，除去與BC邊共線的兩個頂點(diǎn)。）（3）若則點(diǎn)M的軌跡是 雙曲線右支 （4）過點(diǎn)（2，3）且與y軸相切的圓的圓心的軌跡是什么？（拋物線）ABCD（5）(2003·北京春)在同一坐標(biāo)系中,方程與的曲線大致是（ ） 解析:將方程與轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：,因為,因此,所以有：橢圓的焦點(diǎn)在y軸,拋物線的開口向左,得D選項答案: D（6）已知圓C：及圓內(nèi)一點(diǎn)P（3，0），求過點(diǎn)P且與已知圓內(nèi)切的圓的圓心M的軌跡方程。分析：（1）圓C的半徑與圓心坐標(biāo)可定。 （2）兩圓內(nèi)切可得：外圓半徑內(nèi)圓半徑連心距。 （3）動點(diǎn)M滿足的等量關(guān)系：

3、| MC | + | MP | = 10| PC | （4）由定義可確定動點(diǎn)M的軌跡為以P、C為焦點(diǎn)的橢圓。（7）已知動圓與圓和圓C2：都外切，求動圓圓心P的軌跡方程。分析：（1）從已知條件可以確定圓C1、C2的圓心與半徑。 （2）兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距（3）動圓半徑r,依題意有 r1 + r = | P C1 | , r2 + r = | P C2 |兩式相減得：| PC1 | - | PC2 | = r1 -r2 < | C1 C2| （4）由雙曲線定義得：點(diǎn)P的軌跡是C1 、C2以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。 （5）再根據(jù)題設(shè)條件求出參數(shù)a、b即可。1直接法如果動點(diǎn)運(yùn)動的條件就是

4、一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法；常見的等量關(guān)系：已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式、幾何量中的等量關(guān)系等，直接列出動點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。例1 動點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程？解：|PA|=代入得化簡得，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.例2 動點(diǎn)P到一高為h的等邊ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離的平方和等于它到頂點(diǎn)C的距離平方，求點(diǎn)P的軌跡？解 以C為原點(diǎn)，AB上的高線CD所在直線為x軸建

5、立直角坐標(biāo)系設(shè)動點(diǎn)P（x,y），則A（），B（）列出等式化簡得評析：1、用直接法求動點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補(bǔ)”。2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。2定義法 圓錐曲線是解析幾何中研究曲線和方程的典型問題，當(dāng)動點(diǎn)符合圓錐曲線定義時，可直接寫出其軌跡方程。這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件 例3、已知ABC中，ÐA,ÐB,ÐC所對應(yīng)的邊為a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差數(shù)列

6、，|AB|=2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸為4，焦距為2, 短軸長為2, 橢圓方程為, 又a>b, 點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必有x<0,而C點(diǎn)在x軸上時不能構(gòu)成三角形，故x2, 因此點(diǎn)C的軌跡方程是：(2<x<0)評析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。 3 相關(guān)點(diǎn)代入法 若軌跡點(diǎn)P（x ,y）依賴于某一已知曲線上的動點(diǎn)Q（x0, y0），則可先列出關(guān)于x、y, x0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程。例4

7、已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上的動點(diǎn)，求F1F2P的重心G的軌跡方程。 解 設(shè) 重心G（x, y）, 點(diǎn) P（x0, y0）， 因為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0） 則有 , ， 故代入 得所求軌跡方程（y0）評析：一般地：定比分點(diǎn)問題，對稱問題或能轉(zhuǎn)化為這兩類的軌跡問題，都可用相關(guān)點(diǎn)法。練習(xí)1：如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬級題目.知識依托：利用平面幾何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.錯解分

8、析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因為R是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動.設(shè)Q(x,y)，R(x

9、1,y1)，因為R是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.4點(diǎn)差法 圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P（x, y）的坐標(biāo)滿足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程。例5、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、

10、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例6、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，兩式相減，得故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般

11、存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。例7、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為例8、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得注意：（1）雙曲線與拋物線的中點(diǎn)弦的存在性問題；（2）弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線內(nèi)。利用點(diǎn)差法求解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題，方法簡捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美

12、，而且應(yīng)用特征明顯，是訓(xùn)練思維、熏陶數(shù)學(xué)情感的一個很好的材料，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣。5參數(shù)法求軌跡方程有時很難直接找到動點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程。常用的參數(shù)：有點(diǎn)參數(shù)，角()參數(shù),斜率(k)參數(shù),定比()參數(shù),用此法要注意參數(shù)的實(shí)際意義.例9、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。MOAB例10如圖,設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2= 4px (p>0)上原點(diǎn)O以外的兩個動點(diǎn),且OAOB,過O作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程. 解1 (常規(guī)設(shè)參)設(shè)M(x,y)，A(x1,y1),

13、B(x2,y2),則（）由A,M B共線得 則把（）代入上式得化簡得M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x0)解2 (變換方向) 設(shè)OA的方程為y=kx (k0) 則OB的方程為由 得 A() ， 由得B (2pk2,-2pk)所以直線AB的方程為 因為OMAB,所以直線OM的方程為 ×即得M的軌跡方程:x2+y2-2px=0(x0)解3 (轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)) 視點(diǎn)M為定點(diǎn),令M( x0,y0), 由OMAB可得直線AB的方程為, 與拋物線y2=4px聯(lián)立消去y 得,設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2) 則又因為OAOB 所以 故=即 所以M點(diǎn)的軌跡方程為6交軌法 求兩動曲線交點(diǎn)軌跡時，

14、可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點(diǎn)時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。例11設(shè)，則不論取何值，直線與直線的交點(diǎn)一定在 （ ）A、一個圓上 B、橢圓上 C、雙曲線上 D、拋物線上例12已知MN是橢圓中垂直于長軸的動弦，A、B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，求直線 MA和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程。ONMBA 解1:(利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))令M(x1,y1 ) ，則N(x1,-y1)而A(-a,0),B(a,0) .設(shè)AM與NB的交點(diǎn)為P(x,y)因為A, M, P 共線. 所以因為N, B,P 共線. 所以兩式相乘得， 而即代入得，即交點(diǎn)

15、P的軌跡方程為7韋達(dá)定理法有些軌跡問題,其變量或不確定的因素較多,直接探求顯得困難,但是,根據(jù)題設(shè)構(gòu)造出一個一元二次方程,利用韋達(dá)定理來探究,則往往能消除一些參變量,迅速求得軌跡方程例13 過拋物線y=x2的頂點(diǎn) O,任作兩條互相垂直的弦OA,OB, 若分別以O(shè)A,OB為直徑作圓, 求兩圓的另一交點(diǎn)C的軌跡方程解：設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (), () , 則由OAOB得 t1t2=1因為以O(shè)A為直徑的圓方程為 同理以O(shè)B為直徑的圓方程為 而點(diǎn)C(x,y)滿足 ,由知t1,t2是關(guān)于t的二次方程yt2 + xt- x2- y2= 0的兩根,根據(jù)t1t2=1及韋達(dá)定理得 , 即有x2 + y2

16、- y =0(y0)這就是C點(diǎn)的軌跡方程.鞏固訓(xùn)練1（2008北京理）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（ D ） A圓B橢圓C雙曲線D拋物線2.(2008山東理)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ A ）（A） (B) (C) (D)3.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .解析：橢圓方程化為+=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，0<k<1.答案：0k14.()ABC中，A為動點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(,

17、0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點(diǎn)A的軌跡方程為 .5 在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是 解答： 8xy15=0提示 設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2) 即kAB=8 故所求直線方程為y=8x15 6 如圖，弧為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變 建立適當(dāng)?shù)钠?/p>

18、面直角坐標(biāo)系，求曲線C的方程；解 以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓 設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,a=,c=2,b=1 曲線C的方程為+y2=1 7 已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程 解 由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0 化簡得=1,故直線AB的方程為y=x+3,代入橢圓方程得3x212x+182b2=0 有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8 故所求橢圓方程為=1 8、點(diǎn)Q為雙曲線x24y2=16上任一點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，4），求內(nèi)