多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)(精簡版)(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)下冊復(fù)習(xí)提綱第八章 多元函數(shù)微分學(xué)本章知識點(diǎn)(按歷年考試出現(xiàn)次數(shù)從高到低排列):復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（）條件極值-拉格朗日乘數(shù)法（）無條件極值（）曲面切平面、曲線切線（）隱函數(shù)（組）求導(dǎo)（）一階偏導(dǎo)數(shù)、全微分計(jì)算（）方向?qū)?shù)、梯度計(jì)算（）重極限、累次極限計(jì)算（）函數(shù)定義域求法（）1. 多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例 設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解 ，析 1）明確函數(shù)的結(jié)構(gòu)(樹形圖)這里，那么復(fù)合之后是關(guān)于的二元函數(shù).根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，可以知道：對的導(dǎo)數(shù)，有幾條線通到“樹梢”上的，結(jié)果中就應(yīng)該有幾項(xiàng)，而每一項(xiàng)都是一條線上的函數(shù)對變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡單的說就是，“按線相乘，

2、分線相加”.2）是的簡寫形式，它們與的結(jié)構(gòu)相同，仍然是的函數(shù).所以對求導(dǎo)數(shù)為.所以求導(dǎo)過程中要始終理清函數(shù)結(jié)構(gòu)，確保運(yùn)算不重、不漏.3）f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而連續(xù)，所以.練 1. 設(shè)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2. 設(shè)其中f二階可導(dǎo)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.2. 多元函數(shù)極值例1. 求函數(shù)的極值.解 （1）求駐點(diǎn).由 得兩個駐點(diǎn) ，（2）求的二階偏導(dǎo)數(shù)，（3）討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)在處，有，由極值的充分條件知 不是極值點(diǎn)，不是函數(shù)的極值；在處，有，而，由極值的充分條件知 為極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值.析 1）這是二元函數(shù)無條件極值問題.2）解題步驟：第一步是求出駐點(diǎn)-一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)；第二

3、步求目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；第三步求出駐點(diǎn)的判別式，判斷是否為極值點(diǎn)以及極大極小.2. 將正數(shù)12分成三個正數(shù)之和 使得為最大.解：令，則解得唯一駐點(diǎn)，故最大值為析 1）題目是為了熟悉條件極值的求法-拉格朗日乘數(shù)法.這里拉格朗日函數(shù)也可寫成. 2）由于目標(biāo)函數(shù)是乘積形式，而其和為常數(shù)，可以利用均值不等式.方法較為簡單，但沒有拉格朗日乘數(shù)具有一般性.3. 求函數(shù)在圓上的最大值與最小值.解 先求函數(shù)在圓內(nèi)部可能的極值點(diǎn).令解得點(diǎn)，而.再求函數(shù)在圓周上的最值.為此做拉格朗日函數(shù)，解之得，而.比較三值可知，在圓上函數(shù)最大值為，最小值為.析 1）在閉域上求函數(shù)最值只需找出在開區(qū)域和邊界上的可疑點(diǎn)，最后比較函

4、數(shù)值即可.而不需要判斷是否為極值點(diǎn).2）在求方程組的解時(shí)，要注意方程的對稱性，必要時(shí)也可做換元處理，以簡化計(jì)算.3）本題在邊界上的最值也可考慮寫出圓周的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.練 1. 求的極值.2. 證明函數(shù)有無窮多個極大值，但無極小值.3. 在橢球面的第一卦限求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的且平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.4. 求拋物線與直線之間的距離.3. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用例1. 求曲面平行于平面的切平面方程.解 令 ，曲面在點(diǎn)處的法向量為，已知平面的法向量為，而切平面與已知平面平行，所以，從而有， （1）又因?yàn)辄c(diǎn)在切面上，應(yīng)滿足曲面方程 （2）(1)、（2）聯(lián)立解得切點(diǎn)為及，

5、所以所求切平面方程為： ，或 .析 1）由于已經(jīng)給出平面的法向量，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)，直接利用平面的點(diǎn)法式方程即可.2） 法向量的求法:由曲面方程得 . 如果曲面方程為 ,那么,或 . 對應(yīng)的法向量就為 或 . 3）注意不要把 寫成 ，它們的分量是對應(yīng)成比例而不一定相等，否則將得出錯誤結(jié)論.4）兩個平面要獨(dú)立寫出，千萬不要用大括號聯(lián)立.還有就是萬萬不可把平面方程寫成了直線啊.2. 求曲線，在點(diǎn)處的切線及法平面方程.解 曲線方程為 ，取為自變量，則和看作的函數(shù)，即.那么曲線的切向量.方程組兩邊對求導(dǎo)，得，解得 .將點(diǎn)代入，得切向量為.所以曲線在點(diǎn)處的切線為，法平面為.析 1）曲線方程為參數(shù)形式在點(diǎn)處

6、對應(yīng)參數(shù)為，那么曲線在處的切向量為.由直線的對稱式（點(diǎn)向式）方程可得切線方程為，法平面方程為.2）若曲線方程是一般式(隱函數(shù)形式)，則，那么曲線在處的切向量為.由于此公式較為復(fù)雜，我們經(jīng)常從三個變量中選取一個作為參數(shù)，剩余兩個看作其函數(shù)例題中的解法就是如此.練 1. 設(shè)曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到一旋轉(zhuǎn)曲面，求該曲面在點(diǎn)指向外側(cè)的單位法向量.2. 求橢球面上某點(diǎn)處的切平面的方程，使過已知直線.3. 在曲線 上求點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線平行于平面.4. 求曲線在點(diǎn)處的切線方程.4. 隱函數(shù)(組)導(dǎo)數(shù)例1. 設(shè) ，求 ，.解 方程兩端對求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =；方程兩端對求偏導(dǎo)數(shù)，得 即 =.析 當(dāng)然題目也可用公

7、式法求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，那是將看成是三個自變量，的函數(shù)，即，處于同等地位. 方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，是自變量，是，的函數(shù)，它們的地位是不同的.2. 設(shè) ，求.解 方程組兩端對求導(dǎo)，得即則 ，.同樣方程組兩端對求導(dǎo)，得, .析 1) 方程組確定的隱函數(shù)個數(shù)等于方程的個數(shù),而每個函數(shù)自變量的個數(shù)為“方程組中所有變量個數(shù)”減“方程的個數(shù)”. 2) 大家解線性方程組時(shí)可以用代入法或直接使用求解公式.練1. 設(shè)方程確定隱函數(shù)，求和. 2. 設(shè)函數(shù) 由方程確定,求和.3. 設(shè) ,而是由方程所確定的函數(shù),其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 .4. 設(shè) ，,其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求 ，和.5. 偏導(dǎo)數(shù)及全微分例1.

8、 設(shè)，求 ，.解 ，.析 1) 利用一元函數(shù)求導(dǎo)即可.對其中變量求導(dǎo),其余的自變量都看作常數(shù). 2) 也可利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo).2. 已知，求 .解 .于是，.析 1) 此類題目“先代后求”,或“先求后代”.對于確定一點(diǎn)的一般選后一種方法.2) 另外分段函數(shù)在分界點(diǎn)處要用偏導(dǎo)數(shù)定義來求.3. 設(shè)，求解 設(shè) ，則 ，所以 ， ，從而 =練 1. 設(shè)，求.2. 求 在點(diǎn)處的全微分.3. 求 的全微分.4. 證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在不連續(xù)，而在可微6. 方向?qū)?shù)級梯度例 求 在的梯度及沿方向的方向?qū)?shù).解 ,而 故 ,則在處的梯度為 .又,故其方向余弦為,所以 沿方向的方向?qū)?shù)為.析 1) 熟悉方向?qū)?shù)和梯度概念及求法. 2) 需要注意的是只有在才可用求方向?qū)?shù).如分段函數(shù)在