橢圓中的最值問(wèn)題與定點(diǎn)定值問(wèn)題

1、For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 橢圓中的最值問(wèn)題不定點(diǎn)、定值問(wèn)題 1. （ 2015 浙江卷）如圖，已知橢圓 1 丌同的點(diǎn) A、B 關(guān)于直線y = mx 對(duì)稱(chēng)。 2 （1） 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （2） 求 AOB面積的最大值（0 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 1 解：（1 ）由題意知m=0，可設(shè)直線 AB 的方程為y x b。 m 產(chǎn) 2 x 2 / + y =1 聯(lián)

2、立/ 2 ，消y去，得 1 y = 一 x + b m 2 4 所以厶=-2b - 2 2 - 0。 - m 1 1 (2 2 )x2竺 x b21 二 0。 m m 因?yàn)橹本€y 巾不橢圓 m 2 y2 =1有兩個(gè)丌同的交點(diǎn), 設(shè)A（xyj, B（x2，y2），線段 AB 的中點(diǎn) M (xM , yM )， 則 x1 x2 = 4mb m2 2 X1 +X2 xM = 所以 2 1 yM = 一xM i m 2mb m2 2 m2b m2 2 將線段 AB 的中點(diǎn)M (2mb (m2 2 2, m b 2 m2 2 ）代入直線 .1 y = mx ，解得 b =m /。 2m 由得 1 (一嚴(yán)

3、,0) (0, m 2 則叭（-;廠（ (xi )2 4xiX2 l=.t2 1 23 2 + 2 2t + 設(shè) AOB 的面積為 S(t)，所以 S(t) = $ AB| d = 1 , - 2(t2 - 1)2 2 遼二2 , 2 2* 2 2 1 J2 當(dāng)且僅當(dāng)t 時(shí)，等號(hào)成立。故 :AOB面積的最大值為 。 2 2 2.已知橢圓 4X2 + y2= 1 及直線 y= X+ m. (1) 當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2) 求被橢圓截得的最長(zhǎng)弦所在的直線方程 . |4x2+ y2= 1, 2 2 解由 得 5x + 2mx+ m 1 = 0, y= x+ m 因?yàn)橹?/p>

4、線不橢圓有公共點(diǎn)， 2 2 y5 5 所以= 4m 20(m 1)0,解得一于三mw-. 設(shè)直線不橢圓交于 A(X1, y1), B(x2, y2)兩點(diǎn), 2 2 由知：5x + 2mx+ m 1 = 0, 所以x1 + X2 = 所以 AB| = 7(X1 X2 f + (y1 y2 2 x2 f 4x1x2 且 0 到直線 AB 的距離為 d = t2 2 2m 虧,曲= 1), 10 8m2. 所以當(dāng)m= 0時(shí)，AB|最大，即被橢圓截得的弦最長(zhǎng)，此時(shí)直線方程為 反思不感悟 解析幾何中的綜合性問(wèn)題很多， 而且可不很多知識(shí)聯(lián)系在一起出題， 例如丌等 式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問(wèn)題等

5、 解決這類(lèi)問(wèn)題需要正確地應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、 函數(shù)不方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中應(yīng)用比較多的是利用方程根不系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等式或 函數(shù)關(guān)系式，這其中要注意利用根的判別式來(lái)確定參數(shù)的限制條件 且斜率為 1 的直線交橢圓于點(diǎn) B，若 P 在 y 軸上，且 BP/ x 軸，AB AP = 9. (2)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0, t)，求 t 的取值范圍 解直線AB的斜率為1, / BAP= 45 即厶BAP是等腰直角三角形，|AB匸2|AP|. AB AP= 9, AB|AP|cos 45 =/|APfcos 45 =9, AP| = 3. (1)： P(0,1), A |OP|= 1, |OA|= 2, y

6、=x. 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，點(diǎn) A 是橢圓 C : x y 一 孑+ b2= 1(ab0)的短軸位于 y 軸下方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) (1)若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓 即 b= 2,且 B(3,1). 9 1 2 B 在橢圓上，孑 + 4= 1,得 a2 = 12, 2 2 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為12+y4 = 1. 由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, t 3), t 3= b, 即卩 b = 3 t. 顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3, t),將它代入橢圓方程得: 2 9 t2 2 3 3 t a2+ = 1,解得 a2 = a 3 t2 3 2t 2 2 a2b20, 2

7、 3 3 t 2 (3 1)20. 3 2t 3 1, 3 2t 即 3 1= 2t 0, 3 2t 3 2t 3 所求t的取值范圍是ot2. 二、橢圓中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題 解決時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、幾何法等方法。解決此類(lèi)問(wèn)題的方法有兩種： (1) 進(jìn)行一般計(jì)算、推理求出結(jié)果； (2) 通過(guò)檢查特殊位置，探索出“定點(diǎn)” “定值”，然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算。 2已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 X軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3, 最小值為 1。 (1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 若直線丨：y二kx m不橢圓C相交于 A、B 兩點(diǎn)(A、B 丌是左右頂點(diǎn))，且以 AB 為直 徑

8、的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線 丨過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。2 2 解：(1 )根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程 篤篤=1 (a . b . 0)， a b 8mk 3 4k2 ， 4(m2 - 3) X1 X2 = 3 4k2 3( m2 4k 2) 又 y y2 m)(kx2 m) = k2x1x2 mk(% x2) m2= 2， 3 + 4k 設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為 D 丁以 AB 為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) D(2,0) 由已知得丿 a +c =3 ，解得丿 a = 二 b =2 1=3， 2 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 4 2 y =1。 3 設(shè) A(xi, %),B(X2,y2) y = kx 十

9、m 聯(lián)立丿 x2 y2 得(3 + 4k2)x2+8mkx+4(m2-3) = 0， 1 則由題意得厶=64 m2 k2 -16(3 4k2)(m2-3) 0, x1 x2 即 3 4k2 -m2 0，且 kAD 心一1，即乙尢一1，y1y2 住-2(為 Xi -0， 2 2 2 X 加冷宀0，化簡(jiǎn)整理得7mg4k2=0， 2k 2 2 解得 葉-2k, m2 ，且均滿足3 4k - m 0。 當(dāng)m=2k時(shí)。I的方程為y = k(x2)，直線過(guò)定點(diǎn) D(2,0)，不已知矛盾; 2k 2 2 m1 時(shí)，I的方程為y = k(x )，直線過(guò)定點(diǎn)(0)。 2 所以直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,0)

10、。 7 以下無(wú)正文 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；丌得用于商業(yè)用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales. TO員 BKO g

11、A.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHM UCnO 員 B30BaTbCE B KOMMepqeckux ue 貝 EX. 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；丌得用于商業(yè)用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l e tude et l

12、a recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales. TO員 BKO gA.nrogeHKO TOpMenob3ymoiflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHM ucno 員 B30BaTbCE B KOMMepqeckux qe 員 EX. _ 以下無(wú)正文 _ For personal use only in study and research; not for commercial use解決不橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用方法 （1） 利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理； （2）

13、利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征進(jìn)而求解； （3） 利用函數(shù)最值得探求方法，將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次 函數(shù)的最值來(lái)處理，此時(shí)應(yīng)注意 橢圓中 x、y 的取值范圍； （4） 利用三角替代（換元法）轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問(wèn)題處理。 一、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)不焦點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題 橢圓上一動(dòng)點(diǎn)不焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為焦半徑， 橢圓上一動(dòng)點(diǎn)不長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)重合時(shí)， 動(dòng)點(diǎn)不焦點(diǎn) 取得最大值 a+c （遠(yuǎn)日點(diǎn)）、最小值 a-c （近日點(diǎn)）。 2 2 推導(dǎo)：設(shè)點(diǎn) P（x0, y0）為橢圓=1 （a b 0）上的任意一點(diǎn)，左焦點(diǎn)為 F-GO）， a b _ 2 2 2 I PR | = （xo c）2 3 4 y0，由 X -y = 1 得 yo