2015年考研數(shù)學真題(數(shù)三)

1、2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題、選擇題：18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1.設XJ是數(shù)列，下列命題中不正確的是（）(A)若 lim Xkka,貝U lim X2kkkm X2k 1(B)若!im X2kkkimX2k 1a ，則沖Xk(C)若 lim Xkk則 lim xk3kkim X2k 1(D)若 kim X3kkimX3ka,則沖Xk2 .設函數(shù)f （X）在（貝u曲線y f（x）的拐點個數(shù)為（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)33 .設(A)4d02cos0 f(r 8s(

2、B)04d2sin0 f(r cos）連續(xù)，其二階導函數(shù)f （X）的圖形如右圖所示,22(X,y) x y貝 Uf(X,y)dXdy=()D,r sin,r sin)rdr)rdr2sino f (r cos , r sin )rdr2coso f (r cos , r sin )rdr1(C)2 0dX1X1 1Ff(X，y)dy- 2x x(D)2 odXx f(X,y)dy 0 X4.下列級數(shù)中發(fā)散的是（）/八、 n1 -1、( 1)1n!(A)-n(B)-=ln(1 -)(C)(D)n 1 3n 1 n nn 2 In nn 1 n1115.設矩陣A12a,b14a2必要條件為()1d

3、 ，若集合d2(1,2),則線性方程組 Axb有無窮多解的充分(A)a ,d (B)a ,d (C)a,d (D)a ,d一 2y3 ,其中p(5©),226 .設二次型f(x,X2,X3)在正交變換x py下的標準形為2yy?若Q (e, e3,e2),則(x1，X2,X3)在正交變換x Qy下的標準形為()222222222222(A) 2y1y2y3(B) 29y2y(C)2y1y2、3(D) 2y1y7 .設A,B為任意兩個隨機事件，則()(A) P(AB) P(A)P(B) (B) P(AB) P(A)P(B)(C) P(AB) PA(D) P(AB) PA8 .設總體X

4、: B(m, ), x1，x2K ,2為來自該總體的簡單隨機樣本，X為樣本均值，則nE (x X)2()1 1(A) (m 1)n (1)(B) m(n 1) (1)(C) (m 1)(n 1) (1)(D) mn (1)二、填空題：914小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙,指定位置上 ln(cosx)9 lim2-=x x X210 設函數(shù) f(x)連續(xù)，(x)°xf ，若(1) 1,(1) 5,則 f(1)x 2y+3z11若函數(shù)z= z(x, y)由方程exyz 1確定，貝U dz(0,0) =12設函數(shù)y y(x)是微分方程yy 2y 0的解，且在x=0處y(x)

5、取得極值3,則y(x) =13設3階矩陣A的特征值為2, -2,1, BA2A E淇中E為3階單位矩陣，則行列式|B = 14設二維隨機變量(X,Y)服從正態(tài)分布 N(1,0;1,1;0),則P(XY Y<0) =三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答牌紙,指定位置上.解答應寫出文字說明、證 明過程或演算步驟.15、(本題滿分10分)設函數(shù) f (x) x ln(1 x) bx sinx, g(x) kx3,若 f(x)與 g(x)在 x 0 時是等價無窮小，求 a,b,k的值。16、(本題滿分10分)計算二重積分 x( x y) dxdy, 其中 D (x,y)x2 y2

6、2,y x2DQ為該商品的需求量，p為價格,17、(本題滿分10分)為了實現(xiàn)利潤最大化，廠商需要對某商品確定其定價模型，設MC為邊際成本，刀為需求彈性(r> 0)(i)證明定價模型為pMC(ii)若該商品的成本函數(shù)為 C(Q) 1600 Q2,需求函數(shù)為 Q 40 p ,試由(1)中的定價模型確定此商品的價格。18、(本題滿分10分)設函數(shù)f (x)在定義域I上的導數(shù)大于零，若對任意的x0 I ,曲線y f (x)在點x0, f(x0)處的切線與直線x Xo及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4,且f(0) 2,求f(x)的表達式。19、(本題滿分10分)I 、一一.、， 、 ， 、 . 一 一

7、一一 、.、 、.、 一一 ' '(i)設函數(shù) u(x) , v(x)可導，利用導致7E乂證明u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)(ii)設函數(shù) u1(x),u2(x), K,u*(x)可導,f (x) u1(x)u2(x)Ku*(x),寫出 f(x)的求導公式。20 (本題滿分11分)a 10設矩陣A1 a 1 ,且 A3 0.0 1a(i)求a的值;(ii)若矩陣X滿足X XA2 AX AXA2E淇中E為3階單位矩陣，求X .21 (本題滿分11分)023設矩陣A133 ,相似于矩陣B12 a(i)求a,b的值(ii)求可逆矩陣P,使P 1AP為對角矩陣。22 (本題滿分11分)設隨機變量X的概率密度為f(x)2 xln2,x>0, 0,x 02個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記 Y為觀測次數(shù)。對X進行獨立重復的觀測，直到第(1) 求Y的概率