北京門頭溝區(qū)2013高考一模試題-數(shù)學(xué)理（word解析版）

1、門頭溝區(qū)2013年高三年級(jí)抽樣測(cè)試（一模）2013.3數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第卷和第卷兩部分，第卷l至2頁(yè)，第卷3至5頁(yè)，共150分考試時(shí)間120分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并回交第卷 (選擇題 40分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1.已知全集U R，集合A，B，則集合等于(A) (B) (C) (D) R 【答案】A【解析】,，所以，選A.2. “”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的(A) 充分而不必要條件(B) 必要而不充分條件(C) 充分必要條件(D) 既不充分也不必要條件【答

2、案】C【解析】若時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)且單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)。因?yàn)?，所以要使在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則有函數(shù)單調(diào)遞增，所以。所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的充分必要條件，選C.3下列直線中，平行于極軸且與圓相切的是 (A)(B)(C)(D) 【答案】B【解析】由得，即，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為1.所以與軸平行且與圓相切的直線方程為或，即極坐標(biāo)方程為或，所以選B.4有4名優(yōu)秀學(xué)生A、B、C、D全部被保送到甲、乙、丙3所學(xué)校，每所學(xué)校至少去一名，且A生不去甲校，則不同的保送方案有(A) 24種(B) 30種(C) 36種(D) 48種【答案】A【解析】若A單獨(dú)去一個(gè)學(xué)校，

3、則有種。若A不單獨(dú)去一個(gè)學(xué)校，則有，所以不同的報(bào)送方案有24種，所以選A.5如圖：圓O的割線PAB經(jīng)過圓心O，C是圓上一點(diǎn)，PAACAB，則以下結(jié)論不正確的是(A) CBCP(B) PCACPABC(C)PC是圓O的切線(D) BCBABP【答案】D【解析】連結(jié).因?yàn)?，所以，即，所以是的中點(diǎn)，所以，且,即PC是圓O的切線，所以C正確。同時(shí),所以A正確。因?yàn)椋珻BCP，所以PCACPABC，所以B正確。又，所以，所以D錯(cuò)誤。選D.6已知P是中心在原點(diǎn)，焦距為的雙曲線上一點(diǎn)，且的取值范圍為，則該雙曲線方程是(A) (B)(C) (D) 【答案】C【解析】由題意知，所以。又的取值范圍為，所以雙曲線的

4、漸近線效率，且焦點(diǎn)在軸上。即，所以，解得，所以雙曲線的方程為，選C.主視圖1左視圖1俯視圖17一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是(A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】由三視圖可知該幾何體時(shí)一個(gè)正方體去掉以角，其直觀圖如圖，其中正方體的邊長(zhǎng)為1.所以正方體的體積為1.去掉的三棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為，選C.8定義在 R上的函數(shù)是減函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，若滿足不等式組，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由得，即，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以，又，所以，設(shè)，做出不等式對(duì)

5、應(yīng)的區(qū)域。由得，平移直線，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)截距最小。此時(shí)。由，得，即,此時(shí)直線的截距最大，為。所以，所以選D.第卷 (非選擇題110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分 9復(fù)數(shù)，則 【答案】【解析】，所以。10在等差數(shù)列中，則等于 【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，所以?1在ABC中，若，則 【答案】【解析】由，得,所以.所以,即，所以。開始，輸出S結(jié)束是否12執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，輸出的S值為 【答案】【解析】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，；第五次循環(huán)，此時(shí)滿足條件輸出。13在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E、F分別為BC、DC的中點(diǎn)

6、，則向量 【答案】【解析】，所以。14定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“等比函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：；，則其中是“等比函數(shù)”的的序號(hào)為 【答案】【解析】若，則，所以不是常數(shù)，所以不是“等比函數(shù)”。若，所以不是常數(shù)，所以不是“等比函數(shù)”。若，所以是常數(shù)，所以是“等比函數(shù)”。若，則，所以是常數(shù)，所以是“等比函數(shù)”。所以是“等比函數(shù)”的的序號(hào)為.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題滿分13分）已知：函數(shù)（）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值16（本小題滿分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中

7、，N是BC的中點(diǎn)將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）（）求證：平面； （）求證：平面；（）求二面角的余弦值17（本小題滿分13分） 交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，交通指數(shù)取值范圍為010，分為五個(gè)級(jí)別，02 暢 通；24 基本暢通；46 輕度擁堵；68 中度擁堵；810 嚴(yán)重?fù)矶?早高峰時(shí)段，從北京市交通指揮中心隨機(jī)選取了四環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如右圖 3456789交通指數(shù)頻率0.240.20.160.1組距（）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？ （）據(jù)此估計(jì)，早高峰四環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?/p>

8、多少？ （III）某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望18(本小題滿分14分）已知函數(shù)（）函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；（）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍2,4,619（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中， 動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是到點(diǎn)的距離的倍（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）設(shè)直線與（）中曲線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)和作的垂線，垂足為，問：是否存在點(diǎn)使得的面積是面積的9倍？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由20（本小題滿分13分）對(duì)于集合，定義函數(shù)，對(duì)于兩個(gè)集合，定義集合已知，（）寫出

9、與的值，并用列舉法寫出集合；（）用表示有限集合所含元素的個(gè)數(shù)，求的最小值；（III）有多少個(gè)集合對(duì)，滿足，且門頭溝區(qū)2013年高三年級(jí)抽樣測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（理工類）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分12345678ACBADCCD二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分91011121314三、解答題：本大題共6小題，共80分15（本小題滿分13分）已知：函數(shù)（）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值解：（） 5分 7分 函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱 所以 對(duì)稱軸方程為 9分 （）當(dāng)時(shí)， 由函數(shù)圖象可知，的最大值為1，最小值為12分所以函數(shù)的最大值為，最

10、小值為 13分16（本小題滿分14分）ACDBN在等腰梯形ABCD中，N是BC的中點(diǎn)將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）（）求證：平面；（）求證：平面；（）求二面角的余弦值（）證明：因?yàn)?，N是BC的中點(diǎn)所以，又所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)榈妊菪危瑇zyACDBN所以 ，所以四邊形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因?yàn)?平面平面所以平面 4分（）證明：因?yàn)椋?所以平面平面又因?yàn)槠矫妫?平面 8分 （）因?yàn)槠矫嫱砥矫?，建立如圖如示坐標(biāo)系設(shè)， 則, ， 9分則，設(shè)平面的法向量為，有 ，得 11分因?yàn)槠矫?，所以平面平面又，平面平面所以平面與交于點(diǎn)O，O則為AN的中點(diǎn)，O所以

11、平面的法向量 12分所以 13分由圖形可知二面角為鈍角所以二面角的余弦值為 14分17（本小題滿分13分） 交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，交通指數(shù)取值范圍為010，分為五個(gè)級(jí)別，02 暢 通；24 基本暢通；46 輕度擁堵；68 中度擁堵；810 嚴(yán)重?fù)矶?3456789交通指數(shù)頻率0.240.20.160.1組距早高峰時(shí)段，從北京市交通指揮中心隨機(jī)選取了四環(huán)以內(nèi)的50個(gè)交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如右圖 （）這50個(gè)路段為中度擁堵的有多少個(gè)？ （）據(jù)此估計(jì)，早高峰四環(huán)以內(nèi)的三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?（III）某人上班路上

12、所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘，基本暢通為30分鐘，輕度擁堵為36分鐘；中度擁堵為42分鐘；嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘，求此人所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望解：（） 這50路段為中度擁堵的有18個(gè) 3分 （）設(shè)事件A “一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆?，則 事件B “至少一個(gè)路段嚴(yán)重?fù)矶隆保瑒t所以三個(gè)路段至少有一個(gè)是嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适?分（III）分布列如下表：303642600.10.440.360.1此人經(jīng)過該路段所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望是分鐘13分18（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）函數(shù)在點(diǎn)的切線與直線平行，求的值；（）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍解： （） 2分， 3分 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)的切線與直線平行所以， 5分（）令當(dāng)時(shí)，在上，有，

13、函數(shù)增；在上，有，函數(shù)減， 函數(shù)的最小值為0，結(jié)論不成立6分當(dāng)時(shí)， 7分若，結(jié)論不成立 9分若，則，在上，有，函數(shù)增；在上，有，函數(shù)減，只需 ，得到，所以 11分若，函數(shù)在有極小值，只需得到，因?yàn)?，所?13分綜上所述， 14分19（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中， 動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是到點(diǎn)的距離的倍（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（）設(shè)直線與（）中曲線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，分別過點(diǎn)和作的垂線，垂足為，問：是否存在點(diǎn)使得的面積是面積的9倍？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意知 3分化簡(jiǎn)得 所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 5分（）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)因?yàn)?，所以有，由已知得，所以有?） 7分由，得，（2），（3） 10分由（1）（2）（3）得或所以 存在點(diǎn)為 13分20（本小題滿分13分