2019-2020學年數學人教A版選修2-3檢測：2.2.1條件概率Word版含解析

1、2. 2.1條件概率填一填1 .條件概率的定義：一般地，設A, B為兩個事件，且 P(A)>0,稱P(B|A)=P-AB-為在事件A發(fā)生的條件下, P A事件B發(fā)生的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.2 .條件概率的性質(1)任何事件的條彳概率都在0和1之間，即0WP(B|AW1.(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A) = P(B|A)+P(C|A)._)判一判判斷(正確的打“，”，錯誤的打"X”)1 .若事件A與B互斥，則P(B|A)=0.(，)2 .若事件 A等于事件B,則P(B|A) = 1.(，)3 . P(B|A)與 P(A|B)相同.

2、(X)4 .已知 P(AB)=：3, P(A) = 3,則 P(B|A)為1.(，)10525 .由“0” “1”組成的三位數組中，若用事件 A表示“第二位數字為0"，用事件B表1本“第一位數字為0"，則P(A|B)等于；.(><)36 .把一枚硬幣任意擲兩次，事件A= 第一次出現正面,事件B= 第二次出現正面,則 P(B|A)=2.(，)想一想1 .如何判斷題目是條件概率？提示：在題目條件中，若出現 “在發(fā)生的條件下 發(fā)生的概率”時，一般可認為 是條件概率.2 .解決條件概率問題的一般方法有哪些？提示：(1)在原樣本空間中，先計算P(AB),P(A),再利用公

3、式P(B|A)=P$B計算求得P(B|A);P A(2)若事件為古典概型，可利用公式P(B|A) = nJAB-,即在縮小后的樣本空間中計算事件Bn a發(fā)生的概率.3 . 一個盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不 放回.若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.提示：本題可以用公式求解，也可以用縮小樣本空間的方法直接求解.法一(定義法)：設Ai=第i只是好的(i=1,2).由題意知要求出 P(A2|A1).636X51口為 p(Ai)=10 = 5，P(Aia2)= 10X9 = 3,P A1A2所以 p(A2|Ai)=、ti=59.法二(直接法)：因事件Ai

4、已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件 A2發(fā)生便可，在 Ai發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中AB發(fā)生的可能數5只好的，所以 P(A2Ai)=A發(fā)生的可能數59.P(B|A)表示事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率，與沒有這個附加條件的概 率是不同的.也就是說，條件概率是在原隨機試驗的條件上再加上一定的條件，求另一事件 在此“新條件”下發(fā)生的概率.因此利用縮小樣本空間的觀點計算條件概率時，首先明確是求“在誰發(fā)生的前提下誰的概率 ”，其次轉換樣本空間，即把給定事件A所含的基本事件定義為新的樣本空間，顯然待求事件B便縮小為事件AB,如圖所示，從而 P(B|A) = n等.n a思考感悟：1

5、1 .1.已知A與B是兩個事件，P(B) = 4, P(AB) = 8,則P(A|B)等于(X,則XW 6的概率為解析：設A= “投擲兩顆骰子，其點數不同30 5:B= =6” , 則 P(A)=|°=5, P(AB)P AB 2.p(B|A)=b = 5.,2答案：254.某氣象臺統計，該地區(qū)下雨的概率為：4,既刮四級以上的風又下雨的概率為A.設事件1510A為該地區(qū)下雨，事件 B為該地區(qū)刮四級以上的風，則 P(B|A) =.141P AB 10 3斛析：由題息知 P(A)=15, p(ab)=,故 p(B|A)=-pA-=7=8.15答案:8二測一.冬罪工廠二III國冕翼石拓哉知

6、識點一求條件概率1.現有6個節(jié)目準備參加比賽，其中 4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次 抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.解析：設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件 A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件 B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件 AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數 n(Q)=A6=30.nA20 2根據分步乘法計數原理，有n(A)=A4A5 = 20,所以P(A) = -= 2r=-.n L230 3(2)因為 n(AB) = A4=12,所以

7、 P(AB)=nB =30=5.(3)法一：由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率 P(B|A)2P AB _5_ 3P A =2= 5.3法二：因為 n(AB)=12, n(A)=20,所以 P(B|A) =n ABn A12 3 20=5.2 .拋擲紅、藍兩顆骰子，記事件 A為“藍色骰子的點數為 4或6”，事件B為“兩顆骰 子的點數之和大于 8”，求：(1)事彳A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率；(2)事彳B發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的概率.解析：法一：拋擲紅、藍兩顆骰子，事件總數為6X6=36,事件A的基本事件數為6X2 = 12,.12 1所以P=而=3.

8、由于 3+6 = 6+3=4+5=5+4>8,4 + 6=6+4=5+5>8,5 + 6=6+5>8,6+6>8,所以事件B的基本事件數為 4+3+2+1 = 10, ,105所以P(B) = 36=值.在事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生，即事件 AB的基本事件數為6.故P(AB) = /=1.36 6由條件概率公式得P AB(1)P(B|A)=右P AB1 6131612.(2)P(A|B)=- = 7P B 535.條件概率性質應用110'1X211X31P(AB)= =4? P(AC尸碎=30.1.P(B|A-迫=41 =也=2 p(c|a) ='

9、 P a 工 45 9，P(C|A)10P AC130P A 11013.18法二：n(A) = 6X2=12.由 3+6=6 + 3=4+5=5+ 4>8,4+6= 6 + 4= 5+5>8,5+6= 6+ 5>8,6 + 6>8 知 n(B)= 10, 其中 n(AB)=6.n AB 61所以匕3伊)=12=2. n a *乙 乙 n AB 63(2)P(A|B)=-=-.n B 10 5 知識點二3 .在一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有1個紅球，2個黃球，3個黑球,4個白球，從中依次不放回地摸 2個球，求在第一個球是紅球的事件下，第二個球是黃球或黑

10、 球的概率.解析：法一：設“摸出的第一個球是紅球”是事件A, “摸出的第二個球是黃球”是事件B, “摸出的第二個球是黑球”是事件C,則P(A) = P(B U C|A)= P(B A)+ P(C|A) = 2+ 3= 5.9 3 9.所求的條件概率為5.9法二：n(A)=1X C9=9, n(BU C) AA=c2+c3=5,P(BUC|A)=5.，所求的條件概率為9. 994.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件 A: “取到的2個數之和為偶數”，事件 B:“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)等于()11A.8 B.421C.5 D.2i解析：P(A)=C tC =2 P(AB)

11、 = C2=；5.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機抽取1粒, 則這粒種子能長成幼苗的概率為 . 解析：記“種子發(fā)芽”為事件A, “種子長成幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活)，出芽后 的幼苗成活率為 P(B|A)=0.8,又 P(A) = 0.9,故 P(AB)=P(B|A) P(A)=0.72. 答案：0.72 .在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出 6道題，若考生至少能答對其中4道題即 可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在 這次考試中已經通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率. 解析：記事件A為“該考生6道題全答對

12、”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另 一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件D為“該考生在 這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀 ”，則A, B, C兩兩互斥，且C60 C10C10 C40C20 D=AU BUC, E = AUB,可知 P(D) = P(AU BU C)= P(A)+ P(B) + P(C) = c + 以0 + 或 = 180-C2, P(AD)=P(A), P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)咨2JL鱉13P D + P D 12 180+ 12 180 58.C60C60 13故所求的概率為1

13、3.58三測一川駕縱I恒時測評難易適中運更高效1 .下列說法正確的是()A. P(B|A)<P(AB)P BB. P(BA)=j"是可能的 P AC. 0<P(B|A)<1D. P(A|A)=0,由條件概率的計算公式得P(B|A)=-PAB- = v=C55C5 10PA 251 . 一1.故選B項.4答案：B|綜合知識|條件概率綜合應用解析：由條件概率公式 P(B|A) = PAB及0WP(A)W1知P(B|A)>P(AB),故A選項錯誤; P A故B項正確；由于0WP(B|A)W1,，人，,P B當事件A包含事件B時，有P(AB)= P(B),此時P(B|

14、A) = - P AP(A|A) = 1,故C、D兩項錯誤.故選 B項. 答案：B2 .根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為白，下雨的概率為11,既吹東風 3030又下雨的概率為導.則在吹東風的條件下下雨的概率為(30C.5B.181琮解析：設事件A表示“該地區(qū)四月份下雨，一 .11“四月份吹東風:則P(A) = H，30P(B)=30 P(AB)=30,從而在吹東風的條件下下雨的概率為P(A|B) = 7P AB830B_9_3089.答案：D3.在10個形狀大小均相同的球中有7個紅球和3個白球，不放回地依次摸出 2個球,B.5解析:法一(定義法)：設第一次摸到的是紅球為事件A,r

15、r _7則p(a)=70,設第二次摸得紅球為事件B,7X67則P(AB) =元% =而故在第一次摸得紅球的條件下第二次也摸得紅球的概率為法二(直接法)：第一次抽到紅球，則還剩下，一6 2概率為9=3.答案：D4.某種家用電器能使用三年的概率為0.8,電器已經使用了三年，則它能夠使用到四年的概率為9個，紅球有P AB 2P(BA)=TT=3.6個，所以第二次也摸到紅球的能使用四年的概率為0.4,已知某一這種家用()在第1次摸出紅球的條件下，第 2次也摸到紅球的概率為(7 A.而C工 C.10A. 0.32 B, 0.4C. 0.5 D, 0.6解析：記“家用電器能使用三年”為事件A,記“家用電器

16、能使用四年”為事件B,根據題意，易得 P(A) = 0.8, P(B)=0.4,則 P(AA B) = 0.4,由條件概率的計算方法P = 04= 0.5.答案：C. .1_135.在區(qū)間（0,1）內隨機投擲一個點M（其坐標為x）,右A= x 0Vx<2 , B= x 4Vx<4 ，則P（B|A）等于（）1A.2C1C.3B.4d.4解析:1 _ _1P(A) = 2, P(AB) = 4P AB，P(BA)=-PT /V14 1,彳=2,選A.2答案:6 .從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出 2張，將其中1張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現是假鈔，1A.而CC.19 解析:則第2張也是

17、假鈔的概率為（）17B.382D.17設事件A表示“抽到2張都是假鈔"，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為 P(A|B).而 P(AB) =C51.P(A|B) =瓦=歷，P(B) =P AB _ 2 P B =17.C5+ C5C1517C20 = 38.答案：D7.某種電路開關閉合后，會出現紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現紅燈的概_ 1，、一 “ ，一.，一， 一 ，、一 “一 ，一 一率是2,在第一次閉合出現紅燈的條件下第二次閉合還出現紅燈的概率是現紅燈的概率為（）13,則兩次閉合都出1A- 61C.35B.62 %解析:記第一次閉合出現紅燈為事件A,第二次閉合出

18、現紅燈為事件B,則 P(A)=2, P(B|A)i -,所以3答案:1、，1 1P(AB)=P(B|A) P(A) = 3X2=6.二、填空題8.已知 P(A)=0.2, P(B)=0.18, P(AB)= 0.12,則 P(A|B) =，P(BA) =解析：P(A|B) =P AB 0.12 2P AB 0.12 3P B =0.18=3； P(B|A)= p a =0.2=5.2 3答案：2 33 59 . 100件產品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽 1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為解析：設“第一次抽到次品則 P(A) =100= 20，P(AB)= A200

19、 = 396,”為事件A,“第二次抽到正品”為事件B,c5c1519所以呼冏=底=9§.答案:9599 310 .設A, B為兩個事件，若事件 A和B同時發(fā)生的概率為 ,在事件A發(fā)生的條件下,1事件B發(fā)生的概率為萬，則事件A發(fā)生的概率為 31解析：由題息知 P(AB)=io，P(B|A) = 1,3_.,p(A)=PA=W=3P BA 15.23答案：3511.如圖，四邊形 EFGH是以O為圓心、1為半徑的圓的內接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用 A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”，則(1)P(A) =；(2)P(B|A尸.解

20、析：正方形的面積為2,圓的面積為 兀.(1)：A表示事件“豆子落在正方形 EFGH內”，P(A)=2. 兀(2) B表示事件“豆子落在扇形 OHE (陰影部分)內1.P(AB)=3P AB 1P(BlA)=pPA-=4.答案：(1)2 (2)1兀 412.拋擲骰子2次，每次結果用(xi, X2)表示，其中X1, X2分別表示第一次、第二次骰子的點數.若設 A=(X1, X2)|X1 +解析：,P(A) = 今：36X2= 10 , B=(X1, X2)|X1>X2.則 P(B|A) = 1二行 P(AB)=36, 1.P(B|A) =P AB 3611213.,1答案：13三、解答題13

21、.某種元件用滿6 000小時未壞的概率是4,用滿10 000小時未壞的概率是.現有1個此種元件，已經用過 6 000小時未壞，求它能用到10 000小時的概率.解析：設人=用滿10 000小時未壞,B = 用滿6 000小時未壞，顯然AB = A，所以P(A|B)1P AB PA 2 2P B = P B =3 = 3.414.任意向x軸上(0,1)這一區(qū)間內擲一個點，問：1 ,(1)該點落在區(qū)間 0,-內的概率是多少？3(2)在(1)的條件下，求該點落在5，1內的概率.5解析：由題意知，任意向(0,1)這一區(qū)間內擲一點，該點落在(0,1)內哪個位置是等可能的,人1, , _,一令A= x 0

22、<x<-,由幾何概率的計算公式可知.313 1(1)P(A) =3.11,則 AB= x 5<x<3 ,人1(2)令 B= x 5vx<11 1352P(AB) = -=-P AB 15 2故在A的條件下B發(fā)生的概率為 P(B|A) = P-= Y=2.P A 153能力提升15.有外形相同的球分裝三個盒子，每盒10個.其中，第一個盒子中有7個球標有字母A,3個球標有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球 8個，白球2個.試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的

23、球，則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功.求試驗成功的概率.解析：設人=從第一個盒子中取得標有字母A的球.B= 從第一個盒子中取得標有字母B的球,R= 第二次取出的球是紅球,W= 第二次取出的球是白球.73則容易求得P(A)=, P(B)=-,P(R|A)=；, P(W|A)=；, P(R|B) = 4, P(W|B) = ： 2255事件“試驗成功”表示為RAU RB,又事件RA與事件RB互斥，故由概率的加法公式,P(RAU RB)= P(RA) + P(RB)= P(R|A) P(A)+ P(R|B) P(B)J4x3=2 10 5 1059100.16.根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表:降水量XX<300300W700WX>900X<700X<900工期延 誤天數Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概