2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版選修2-3檢測：2.2.1條件概率Word版含解析

1、2. 2.1條件概率填一填1 .條件概率的定義：一般地，設(shè)A, B為兩個(gè)事件，且 P(A)>0,稱P(B|A)=P-AB-為在事件A發(fā)生的條件下, P A事件B發(fā)生的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率.2 .條件概率的性質(zhì)(1)任何事件的條彳概率都在0和1之間，即0WP(B|AW1.(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BUC|A) = P(B|A)+P(C|A)._)判一判判斷(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"X”)1 .若事件A與B互斥，則P(B|A)=0.(，)2 .若事件 A等于事件B,則P(B|A) = 1.(，)3 . P(B|A)與 P(A|B)相同.

2、(X)4 .已知 P(AB)=：3, P(A) = 3,則 P(B|A)為1.(，)10525 .由“0” “1”組成的三位數(shù)組中，若用事件 A表示“第二位數(shù)字為0"，用事件B表1本“第一位數(shù)字為0"，則P(A|B)等于；.(><)36 .把一枚硬幣任意擲兩次，事件A= 第一次出現(xiàn)正面,事件B= 第二次出現(xiàn)正面,則 P(B|A)=2.(，)想一想1 .如何判斷題目是條件概率？提示：在題目條件中，若出現(xiàn) “在發(fā)生的條件下 發(fā)生的概率”時(shí)，一般可認(rèn)為 是條件概率.2 .解決條件概率問題的一般方法有哪些？提示：(1)在原樣本空間中，先計(jì)算P(AB),P(A),再利用公

3、式P(B|A)=P$B計(jì)算求得P(B|A);P A(2)若事件為古典概型，可利用公式P(B|A) = nJAB-,即在縮小后的樣本空間中計(jì)算事件Bn a發(fā)生的概率.3 . 一個(gè)盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不 放回.若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.提示：本題可以用公式求解，也可以用縮小樣本空間的方法直接求解.法一(定義法)：設(shè)Ai=第i只是好的(i=1,2).由題意知要求出 P(A2|A1).636X51口為 p(Ai)=10 = 5，P(Aia2)= 10X9 = 3,P A1A2所以 p(A2|Ai)=、ti=59.法二(直接法)：因事件Ai

4、已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件 A2發(fā)生便可，在 Ai發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中AB發(fā)生的可能數(shù)5只好的，所以 P(A2Ai)=A發(fā)生的可能數(shù)59.P(B|A)表示事件B在“事件A已發(fā)生”這個(gè)附加條件下的概率，與沒有這個(gè)附加條件的概 率是不同的.也就是說，條件概率是在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上再加上一定的條件，求另一事件 在此“新條件”下發(fā)生的概率.因此利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)計(jì)算條件概率時(shí)，首先明確是求“在誰發(fā)生的前提下誰的概率 ”，其次轉(zhuǎn)換樣本空間，即把給定事件A所含的基本事件定義為新的樣本空間，顯然待求事件B便縮小為事件AB,如圖所示，從而 P(B|A) = n等.n a思考感悟：1

5、1 .1.已知A與B是兩個(gè)事件，P(B) = 4, P(AB) = 8,則P(A|B)等于(X,則XW 6的概率為解析：設(shè)A= “投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同30 5:B= =6” , 則 P(A)=|°=5, P(AB)P AB 2.p(B|A)=b = 5.,2答案：254.某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為：4,既刮四級以上的風(fēng)又下雨的概率為A.設(shè)事件1510A為該地區(qū)下雨，事件 B為該地區(qū)刮四級以上的風(fēng)，則 P(B|A) =.141P AB 10 3斛析：由題息知 P(A)=15, p(ab)=,故 p(B|A)=-pA-=7=8.15答案:8二測一.冬罪工廠二III國冕翼石拓哉知

6、識點(diǎn)一求條件概率1.現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中 4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語言類節(jié)目，如果不放回地依次 抽取2個(gè)節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率.解析：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件 A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件 B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件 AB.(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)，總的事件數(shù) n(Q)=A6=30.nA20 2根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有n(A)=A4A5 = 20,所以P(A) = -= 2r=-.n L230 3(2)因?yàn)?n(AB) = A4=12,所以

7、 P(AB)=nB =30=5.(3)法一：由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率 P(B|A)2P AB _5_ 3P A =2= 5.3法二：因?yàn)?n(AB)=12, n(A)=20,所以 P(B|A) =n ABn A12 3 20=5.2 .拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件 A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為 4或6”，事件B為“兩顆骰 子的點(diǎn)數(shù)之和大于 8”，求：(1)事彳A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的概率；(2)事彳B發(fā)生的條件下事件 A發(fā)生的概率.解析：法一：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為6X6=36,事件A的基本事件數(shù)為6X2 = 12,.12 1所以P=而=3.

8、由于 3+6 = 6+3=4+5=5+4>8,4 + 6=6+4=5+5>8,5 + 6=6+5>8,6+6>8,所以事件B的基本事件數(shù)為 4+3+2+1 = 10, ,105所以P(B) = 36=值.在事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生，即事件 AB的基本事件數(shù)為6.故P(AB) = /=1.36 6由條件概率公式得P AB(1)P(B|A)=右P AB1 6131612.(2)P(A|B)=- = 7P B 535.條件概率性質(zhì)應(yīng)用110'1X211X31P(AB)= =4? P(AC尸碎=30.1.P(B|A-迫=41 =也=2 p(c|a) ='

9、 P a 工 45 9，P(C|A)10P AC130P A 11013.18法二：n(A) = 6X2=12.由 3+6=6 + 3=4+5=5+ 4>8,4+6= 6 + 4= 5+5>8,5+6= 6+ 5>8,6 + 6>8 知 n(B)= 10, 其中 n(AB)=6.n AB 61所以匕3伊)=12=2. n a *乙 乙 n AB 63(2)P(A|B)=-=-.n B 10 5 知識點(diǎn)二3 .在一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球,4個(gè)白球，從中依次不放回地摸 2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅球的事件下，第二個(gè)球是黃球或黑

10、 球的概率.解析：法一：設(shè)“摸出的第一個(gè)球是紅球”是事件A, “摸出的第二個(gè)球是黃球”是事件B, “摸出的第二個(gè)球是黑球”是事件C,則P(A) = P(B U C|A)= P(B A)+ P(C|A) = 2+ 3= 5.9 3 9.所求的條件概率為5.9法二：n(A)=1X C9=9, n(BU C) AA=c2+c3=5,P(BUC|A)=5.，所求的條件概率為9. 994.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件 A: “取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件 B:“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()11A.8 B.421C.5 D.2i解析：P(A)=C tC =2 P(AB)

11、 = C2=；5.有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取1粒, 則這粒種子能長成幼苗的概率為 . 解析：記“種子發(fā)芽”為事件A, “種子長成幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活)，出芽后 的幼苗成活率為 P(B|A)=0.8,又 P(A) = 0.9,故 P(AB)=P(B|A) P(A)=0.72. 答案：0.72 .在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出 6道題，若考生至少能答對其中4道題即 可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在 這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率. 解析：記事件A為“該考生6道題全答對

12、”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另 一道答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在 這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀 ”，則A, B, C兩兩互斥，且C60 C10C10 C40C20 D=AU BUC, E = AUB,可知 P(D) = P(AU BU C)= P(A)+ P(B) + P(C) = c + 以0 + 或 = 180-C2, P(AD)=P(A), P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)咨2JL鱉13P D + P D 12 180+ 12 180 58.C60C60 13故所求的概率為1

13、3.58三測一川駕縱I恒時(shí)測評難易適中運(yùn)更高效1 .下列說法正確的是()A. P(B|A)<P(AB)P BB. P(BA)=j"是可能的 P AC. 0<P(B|A)<1D. P(A|A)=0,由條件概率的計(jì)算公式得P(B|A)=-PAB- = v=C55C5 10PA 251 . 一1.故選B項(xiàng).4答案：B|綜合知識|條件概率綜合應(yīng)用解析：由條件概率公式 P(B|A) = PAB及0WP(A)W1知P(B|A)>P(AB),故A選項(xiàng)錯(cuò)誤; P A故B項(xiàng)正確；由于0WP(B|A)W1,，人，,P B當(dāng)事件A包含事件B時(shí)，有P(AB)= P(B),此時(shí)P(B|

14、A) = - P AP(A|A) = 1,故C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤.故選 B項(xiàng). 答案：B2 .根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為白，下雨的概率為11,既吹東風(fēng) 3030又下雨的概率為導(dǎo).則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為(30C.5B.181琮解析：設(shè)事件A表示“該地區(qū)四月份下雨，一 .11“四月份吹東風(fēng):則P(A) = H，30P(B)=30 P(AB)=30,從而在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(A|B) = 7P AB830B_9_3089.答案：D3.在10個(gè)形狀大小均相同的球中有7個(gè)紅球和3個(gè)白球，不放回地依次摸出 2個(gè)球,B.5解析:法一(定義法)：設(shè)第一次摸到的是紅球?yàn)槭录嗀,r

15、r _7則p(a)=70,設(shè)第二次摸得紅球?yàn)槭录﨎,7X67則P(AB) =元% =而故在第一次摸得紅球的條件下第二次也摸得紅球的概率為法二(直接法)：第一次抽到紅球，則還剩下，一6 2概率為9=3.答案：D4.某種家用電器能使用三年的概率為0.8,電器已經(jīng)使用了三年，則它能夠使用到四年的概率為9個(gè)，紅球有P AB 2P(BA)=TT=3.6個(gè)，所以第二次也摸到紅球的能使用四年的概率為0.4,已知某一這種家用()在第1次摸出紅球的條件下，第 2次也摸到紅球的概率為(7 A.而C工 C.10A. 0.32 B, 0.4C. 0.5 D, 0.6解析：記“家用電器能使用三年”為事件A,記“家用電器

16、能使用四年”為事件B,根據(jù)題意，易得 P(A) = 0.8, P(B)=0.4,則 P(AA B) = 0.4,由條件概率的計(jì)算方法P = 04= 0.5.答案：C. .1_135.在區(qū)間（0,1）內(nèi)隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)M（其坐標(biāo)為x）,右A= x 0Vx<2 , B= x 4Vx<4 ，則P（B|A）等于（）1A.2C1C.3B.4d.4解析:1 _ _1P(A) = 2, P(AB) = 4P AB，P(BA)=-PT /V14 1,彳=2,選A.2答案:6 .從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出 2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，1A.而CC.19 解析:則第2張也是

17、假鈔的概率為（）17B.382D.17設(shè)事件A表示“抽到2張都是假鈔"，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為 P(A|B).而 P(AB) =C51.P(A|B) =瓦=歷，P(B) =P AB _ 2 P B =17.C5+ C5C1517C20 = 38.答案：D7.某種電路開關(guān)閉合后，會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概_(tái) 1，、一 “ ，一.，一， 一 ，、一 “一 ，一 一率是2,在第一次閉合出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合還出現(xiàn)紅燈的概率是現(xiàn)紅燈的概率為（）13,則兩次閉合都出1A- 61C.35B.62 %解析:記第一次閉合出現(xiàn)紅燈為事件A,第二次閉合出

18、現(xiàn)紅燈為事件B,則 P(A)=2, P(B|A)i -,所以3答案:1、，1 1P(AB)=P(B|A) P(A) = 3X2=6.二、填空題8.已知 P(A)=0.2, P(B)=0.18, P(AB)= 0.12,則 P(A|B) =，P(BA) =解析：P(A|B) =P AB 0.12 2P AB 0.12 3P B =0.18=3； P(B|A)= p a =0.2=5.2 3答案：2 33 59 . 100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽 1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為解析：設(shè)“第一次抽到次品則 P(A) =100= 20，P(AB)= A200

19、 = 396,”為事件A,“第二次抽到正品”為事件B,c5c1519所以呼冏=底=9§.答案:9599 310 .設(shè)A, B為兩個(gè)事件，若事件 A和B同時(shí)發(fā)生的概率為 ,在事件A發(fā)生的條件下,1事件B發(fā)生的概率為萬，則事件A發(fā)生的概率為 31解析：由題息知 P(AB)=io，P(B|A) = 1,3_.,p(A)=PA=W=3P BA 15.23答案：3511.如圖，四邊形 EFGH是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用 A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則(1)P(A) =；(2)P(B|A尸.解

20、析：正方形的面積為2,圓的面積為 兀.(1)：A表示事件“豆子落在正方形 EFGH內(nèi)”，P(A)=2. 兀(2) B表示事件“豆子落在扇形 OHE (陰影部分)內(nèi)1.P(AB)=3P AB 1P(BlA)=pPA-=4.答案：(1)2 (2)1兀 412.拋擲骰子2次，每次結(jié)果用(xi, X2)表示，其中X1, X2分別表示第一次、第二次骰子的點(diǎn)數(shù).若設(shè) A=(X1, X2)|X1 +解析：,P(A) = 今：36X2= 10 , B=(X1, X2)|X1>X2.則 P(B|A) = 1二行 P(AB)=36, 1.P(B|A) =P AB 3611213.,1答案：13三、解答題13

21、.某種元件用滿6 000小時(shí)未壞的概率是4,用滿10 000小時(shí)未壞的概率是.現(xiàn)有1個(gè)此種元件，已經(jīng)用過 6 000小時(shí)未壞，求它能用到10 000小時(shí)的概率.解析：設(shè)人=用滿10 000小時(shí)未壞,B = 用滿6 000小時(shí)未壞，顯然AB = A，所以P(A|B)1P AB PA 2 2P B = P B =3 = 3.414.任意向x軸上(0,1)這一區(qū)間內(nèi)擲一個(gè)點(diǎn)，問：1 ,(1)該點(diǎn)落在區(qū)間 0,-內(nèi)的概率是多少？3(2)在(1)的條件下，求該點(diǎn)落在5，1內(nèi)的概率.5解析：由題意知，任意向(0,1)這一區(qū)間內(nèi)擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在(0,1)內(nèi)哪個(gè)位置是等可能的,人1, , _,一令A(yù)= x 0

22、<x<-,由幾何概率的計(jì)算公式可知.313 1(1)P(A) =3.11,則 AB= x 5<x<3 ,人1(2)令 B= x 5vx<11 1352P(AB) = -=-P AB 15 2故在A的條件下B發(fā)生的概率為 P(B|A) = P-= Y=2.P A 153能力提升15.有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè).其中，第一個(gè)盒子中有7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B;第二個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)；第三個(gè)盒子中則有紅球 8個(gè)，白球2個(gè).試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個(gè)盒子中任取一個(gè)球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個(gè)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的

23、球，則在第三個(gè)盒子中任取一個(gè)球.如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功.求試驗(yàn)成功的概率.解析：設(shè)人=從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母A的球.B= 從第一個(gè)盒子中取得標(biāo)有字母B的球,R= 第二次取出的球是紅球,W= 第二次取出的球是白球.73則容易求得P(A)=, P(B)=-,P(R|A)=；, P(W|A)=；, P(R|B) = 4, P(W|B) = ： 2255事件“試驗(yàn)成功”表示為RAU RB,又事件RA與事件RB互斥，故由概率的加法公式,P(RAU RB)= P(RA) + P(RB)= P(R|A) P(A)+ P(R|B) P(B)J4x3=2 10 5 1059100.16.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表:降水量XX<300300W700WX>900X<700X<900工期延 誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概