高中數(shù)學(xué)本冊綜合測試北師大版選修(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 選修22綜合測試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1計算：()A1iB1iC1i D1i答案B解析1i.2用反證法證明命題“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個能被3整除”，假設(shè)應(yīng)為()Aa，b都能被3整除 Ba，b都不能被3整除Ca，b不都能被3整除 Da不能被3整除答案B解析“至少有一個”的否定為“一個也沒有”3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212，從nk到nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C

2、(k1)2 D(k1)2(k1)21答案B解析當(dāng)nk時，左邊1222(k1)2k2(k1)22212，當(dāng)nk1時，左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，從nk到nk1，左邊應(yīng)添加的式子為(k1)2k2.4已知函數(shù)f(x)，則yf(x)的圖象大致為()答案B解析當(dāng)x1時，y<0，排除A；當(dāng)x0時，y不存在，排除D；當(dāng)x從負(fù)方向無限趨近于0時，y趨近于，排除C.故選B.5已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a92×9 Da1a2a92×

3、9答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知，a1a9a2a82a5，故D成立6做直線運動的質(zhì)點在任意位置x處，所受的力F(x)1ex，則質(zhì)點從x10，沿x軸運動到x21處，力F(x)所做的功是()AeBC2eD答案B解析由W(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知復(fù)數(shù)(x2)yi(x，yR)對應(yīng)向量的模為，則的最大值是()A B C. D答案C解析由|(x2)yi|，得(x2)2y23，此方程表示如圖所示的圓C，則的最大值為切線OP的斜率由|CP|，|OC|2，得COP，切線OP的斜率為，故選C.8設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)

4、的圖像可能是()答案C解析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象由f(x)在x2處取極小值知f(2)0且在2的左側(cè)f(x)<0，而2的右側(cè)f(x)>0，所以C項合適函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合命題，對學(xué)生應(yīng)用函數(shù)能力提出了較高要求9.觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有_個小正方形，第n個圖中有_個小正方形()A28， B14，C28， D12，答案A解析根據(jù)規(guī)律知第6個圖形中有123456728.第n個圖形中有12(n1).10.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f(x)(f(x)，若f(x)<

5、0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx，則f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)lnx2x，則f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)x32x1，則f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)<0；若f(x)xex，則f(x)2exxex(2x)ex.在x(0，)上，恒有f(x)>0，故選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11(2014

6、83;北京理，9)復(fù)數(shù)()2_.答案1解析復(fù)數(shù)i，故()2i21.12用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1能被14整除時，當(dāng)nk1時，對于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_答案34·34k152·52k1解析nk時，34k152k1能被14整除，因此，我們需要將nk1時的式子構(gòu)造為能利用nk的假設(shè)的形式.34(k1)152(k1)134·34k152·52k134·52k134·52k134(34k152k1)(5234)52k1，便可得證13在ABC中，D是BC的中點，則()，將命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：_.答案在四面

7、體ABCD中，G為BCD的重心，則()14已知函數(shù)f(x)x3ax23ax1在區(qū)間(，)內(nèi)既有極大值，又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)(9，)解析由題意得y3x22ax3a0有兩個不同的實根，故(2a)24×3×3a>0，解得a<0或a>9.15.如圖為函數(shù)f(x)的圖像，f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式x·f(x)<0的解集為_答案(3，1)(0,1)解析x·f(x)<0或(3，1)是f(x)的遞增區(qū)間，f(x)>0的解集為(3，1)(0,1)是f(x)的遞減區(qū)間，f(x)<0的解集為(0

8、,1)故不等式的解集為(3，1)(0,1)三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16(2015·山東青島)已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解析(1)|z1|i(1i)3|i|·|i1|32.(2)如圖所示，由|z|1可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓而z1對應(yīng)著坐標(biāo)系中的點Z1(2，2)，所以|zz1|的最大值可以看成是點Z1(2，2)到圓上的點的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓的半徑)21.17設(shè)函數(shù)f(x)kx33x21(k

9、0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的極小值大于0，求k的取值范圍解析(1)當(dāng)k0時，f(x)3x21，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)當(dāng)k>0時，f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，0)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)(2)當(dāng)k0時，函數(shù)f(x)不存在極小值當(dāng)k>0時，由(1)知f(x)的極小值為f()1>0，即k2>4，又k>0，k的取值范圍為(2，)18.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213°cos217°sin13°cos17&

10、#176;；sin215°cos215°sin15°cos15°；sin218°cos212°sin18°cos12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析解法一：(1)選擇(2)式，計算如下：sin215°cos2

11、15°sin15°cos15°1sin30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sincos(30°).證明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2(cos30°cossin30°sin)2sin(cos30°cossin30°sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sincos(30°).證明如下：sin2cos2

12、(30°)sincos(30°)sin(cos30°cossin30°sin)cos2(cos60°cos2sin60°sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.設(shè)a>0且a1，函數(shù)f(x)x2(a1)xalnx.(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的極值點解析(1)由已知得x>0.當(dāng)a2時，f(x)x3，f(3)，所以曲線yf(x)在(3，f(3)處切線的斜率為.(2)f(x)x(a1).由f(x)0，得x1或xA當(dāng)

13、0<a<1時，當(dāng)x(0，a)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(a,1)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時xa時f(x)的極大值點，x1是f(x)的極小值點當(dāng)a>1時，當(dāng)x(0,1)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，a)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點綜上，當(dāng)0<a<1時，xa是f(x)的極大值點，x1是f(x)的極小值點；當(dāng)a>

14、;1時，x1是f(x)的極大值點，xa是f(x)的極小值點20.(2014·廣東理)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式解析(1)a1S12a23×124×12a27a1a2S24a33×224×24(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28聯(lián)立解得，a3S3a1a21587，綜上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：由(1)知，當(dāng)n1時，a132×11，猜想成立；假設(shè)當(dāng)nk時，猜想成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時，ak1ak·(2k1)332k32(k1)1這就是說nk1時，猜想也成立，從而對一切nN*，an2n1.21.如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B及CD的中點P處，已知AB20 km，CB10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且與A，B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為y km.(1)設(shè)BAOrad，將y表示成的函數(shù)關(guān)系式；(2)確定污水處理廠