2012年全國各地中考數(shù)學(xué)解析匯編四十五章開放探索型問題

1、四十五章 開放探索型問題12. (2012山東日照，12，3分)如圖，在斜邊長為1的等腰直角三角形OAB中，作內(nèi)接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作內(nèi)接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作內(nèi)接正方形A3B3C3D3；依次作下去，則第n個正方形AnBnCnDn的邊長是（ ）OA1B1C1D1ABA2B2C2D2A. B. C. D. 解析：設(shè)正方形A1B1C1D1的邊長為x，則AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x=；同理，正方形A2B2C2D2的邊長為，故可猜想第n個正方形AnBnCnDn的邊長是.解答：選B點評：本題是規(guī)律探究性問題，解

2、題時先從較簡單的特例入手，從中探究出規(guī)律，再用得到的規(guī)律解答問題即可.本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及學(xué)生分析問題的能力.解題的關(guān)鍵是求正方形A1B1C1D1的邊長.（2012河北省25,10分）25、（本小題滿分10分）如圖14，A（-5,0），B(-3,0)，點C在y軸的正半軸上，CBO=45°，CDAB，CDA=90°，點P從點Q（4,0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位的速度運動，運動時間為t秒（1）求點C的坐標；（2）當(dāng)BCP= 15°時，求t的值；（3）以點P為圓心，PC為半徑的P隨點P的運動而變化，當(dāng)P與四邊形ABCD的邊（或邊所在直線）相切時，求t

3、的值?！窘馕觥吭谥苯侨切蜝CO中，CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此點C的坐標為（0,3）；（2）BCP= 15°，只是提及到了角的大小，沒有說明點P的位置，因此分兩種情況考慮：點P在點B的左側(cè)和右側(cè)；（3）P與四邊形ABCD的邊（或邊所在直線）相切，而四邊形有四條邊，肯定不能與AO相切，所以要分三種情況考慮。【答案】解（1）BCO=CBO=45° OC=OB=3又點C在y軸的正半軸上， 點C的坐標為（0,3）2分（2）當(dāng)點P在點B右側(cè)時，如圖2.若BCP=15°，得PCO=30°，故OP=OCtan30°=此時4分當(dāng)點P在

4、點B左側(cè)時，如圖3，由. BCP=15°得PCO=60°故PO=OCtan60°=3， 此時t=4+3t的值為4+或4+36分（3）由題意知，若P與四邊形ABCD的邊都相切，有以下三種情況：當(dāng)P與BC相切于點C時，有BCP=90°，從而OCP=45°，得到OP=3，此時t=17分當(dāng)P與CD相切于點C時，有PCCD，即點P與點O重合，此時t=48分當(dāng)P與AD相切時，由題意，DAO=90°， 點A為切點，如圖4，于是，解得t=5.6t的值為1或4或5.60分【點評】本題主要是分情況討論和解直角三角形的應(yīng)用，在今后的教學(xué)中多滲透考慮問題要全

5、面（不重不漏），培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì)。有一定難度。（2012河北省26,12分）26、（本小題滿分12分）如圖15-1和圖15-2，在ABC中，AB=13，BC=14，。探究 如圖15-1，AHBC于點H，則AH=_，AC=_，ABC的面積SABC=_。拓展 如圖15-2，點D在AC上（可以與點A、C重合），分別過點A，C作直線BD的垂線，垂足為E、F，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n，（當(dāng)點D與點A重合時，我們認為SABC=0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D

6、，指出這樣的x的取值范圍。發(fā)現(xiàn) 請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值。【解析】探究 根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，進而求出三角形的面積。拓展（1）利用所給數(shù)據(jù)，寫出表示兩個三角形面積的代數(shù)式；（2）利用（1）中的式子，用x表示m和n，再求（m+n）的值。點D在AC上，BD的長度可以認為是點D到AC的距離，所以當(dāng)BDAC時，x最小，是三角形AC邊上的高，最大值是BC的長度，容易求出的最大值和最小值；（3）根據(jù)垂線段最短和軸對稱可知，點D唯一時，只能是點D是垂足時和點D在點A關(guān)于垂足的對稱點的下方時兩種情況。發(fā)現(xiàn) 滿足

7、條件的直線就是AC所在直線，A、B、C三點到這條直線的距離之和的最小值就是（m+n）的最小值。【答案】解：探究12 15 843分拓展（1）由三角形面積公式得，4分（2）由（1）得， m+n=5分由于AC邊上的高為 x的取值范圍為（m+n）隨x的增大而減小， 當(dāng)x=時，（m+n）的最大值為15；7分當(dāng)x=14時，（m+n）的最小值為12. 8分（3）x的取值范圍是或10分發(fā)現(xiàn)AC所在的直線11分最小值為12分【點評】此題為探究題型，前半部分難度較小，在確定x的取值范圍時，學(xué)生不容易想到；第（3）中x的取值范圍也不容易想到，是本題的難點。探究就是上邊知識點的一個應(yīng)用，相對來說簡單一些。整體來說，

8、此題難度偏難，有一定挑戰(zhàn)性。24. （2012·湖北省恩施市，題號24 分值12）如圖12，已知拋物線y-x2bx與一直線相交于A（-1,0），C（2,3）兩點，與y軸交與點N。其頂點為D。（1求拋物線及直線A、C的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；（3）若拋物線對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上任意一點，過E作EFBD，交拋物線于點F，以B、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若點P是該拋物線上位于直線AC上方的一動點，求APC面積的最大值【解析】（1）直接將A、C兩點的坐標代入y-x2b

9、x和y=kx+b即可。（2）本題實質(zhì)是在直線x=3上找一點M使MN+MD的值最小。作N關(guān)于x=3的對稱點，連接D N1，求直線D N1和x=3的交點可得m的值；（3）BD、EF是平行四邊形的鄰邊，分點E在線段AC和線段AC（或CA）延長線上兩種可能來考慮。BD長可求，EF=BD，點F和點E橫坐標相同，點F縱坐標等于點E縱坐標加（或減）BD長度，設(shè)點E（x,y），則點F坐標（x,y+3）或(x,y-3),代入拋物線表達式可求解；（4）作CQx軸于Q，作PGx軸，交AC于H，則點H和點P橫坐標相同，設(shè)二者橫坐標為x，根據(jù)直線與拋物線表達式可用分別表示出相應(yīng)縱坐標，進而用x表示PH的長度，根據(jù)PAC

10、面積等于PH×AQ（AQ為定值）可討論其最值?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)直線AC的解析式為:y=kx+n，點 A（-1,0），C（2,3）在AC上，可得： 解得:k=1,n=1AC的解析式為：y=x+1; 把A（-1,0），C（2,3）y-x2bx解得b=2,c=3,拋物線的解析式為y= -x22x3，N（0,3）D（1,4）.(2) 作N關(guān)于x=3的對稱點N1，連接DN1，則N1（6,3）.設(shè)直線D N1的解析式為y=px+q，則有：，p=，q=,D N1的解析式y(tǒng)=x+，當(dāng)M（3，m）在D N1上時，MN+MD的值最小，m=×3+=；（3）易知B(1,2)，又D（1,4）BD=2.

11、因為點E在AC上，設(shè)點E（x,x+1）,1°當(dāng)點E在線段AC上時，點F（x.x+3），代入y= -x22x3，得x+3=-x22x3，解得x=0或=1（不符合題意舍去），E；2°當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F（x.x-1），代入y= -x22x3，得x-1=-x22x3，解得x=，所以E（,）E(,)綜上所述，當(dāng)點E（0, 1）、（,）或(,)時以B、D、E、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形；（4）作CQx軸于Q，作PGx軸，交AC于H。設(shè)H（x,x+1），則P（x, -x22x3）,所以PH=（-x22x3）-（x+1）= -x2+ x+2，又SPAB=SPA

12、H+ SPBH=PH×AQ=（-x2+ x+2）×3=（x-）2+，APC面積的最大值是。的交點可得m的值；【點評】本題是存在性探索性問題，在解決這一類存在性探索問題時主要應(yīng)注意：首先假定這個數(shù)學(xué)對象已經(jīng)存在，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，將其構(gòu)造出來；然后再根據(jù)已知條件與有關(guān)性質(zhì)一步步地進行探索，如果探索出與條件相符的結(jié)果，就肯定存在，否則不存在，探索過程就是理由.本題主要考查了用待定系數(shù)法求解析式、勾股定理、解方程組等，用到的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)有函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、對稱思想、分類討論思想等，題目綜合性強、難度大，但是考查的知識面較廣，是一個區(qū)分度很大題目。28（2012湖南衡

13、陽市，28，10）如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動（點P異于點O）（1）求此拋物線的解析式（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R，求證：PF=PR；是否存在點P，使得PFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷RSF的形狀解析：（1）根據(jù)題意能判斷出點O是矩形ABCD的對角線交點，因此D、B關(guān)于原點對稱，A、B關(guān)于x軸對稱，得到A、D的坐標后，利用待定

14、系數(shù)法可確定拋物線的解析式（2）首先根據(jù)拋物線的解析式，用一個未知數(shù)表示出點P的坐標，然后表示出PF、RF的長，兩者進行比較即可得證；首先表示RF的長，若PFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可；根據(jù)的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180°減去這個和值即可判斷出RSF的形狀答案：解：（1）拋物線的頂點為坐標原點，A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱；E是AB的中點，O是矩形ABCD對角線的交點，又B（2，1）A（2，1）、D（2，1）；由于拋物線的頂點為（0，0），可設(shè)其解析式為：y

15、=ax2，則有：4a=1，a=拋物線的解析式為：y=x2（2）證明：由拋物線的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），則：則：PF=a2+1，PR=a2+1PF=PR由得：RF=；若PFR為等邊三角形，則RF=PF=FR，得：=a2+1，即：a4a23=0，得：a2=4（舍去），a2=12；a=±2，a2=3；存在符合條件的P點，坐標為（2，3）、（2，3）同可證得：QF=QS；在等腰SQF中，1=（180°SQF）；同理，在等腰RPF中，2=（180°RPF）；QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=180°1+2=（360

16、76;SQFRPF）=90°SFR=180°12=90°，即SFR是直角三角形點評：該題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、矩形的性質(zhì)、特殊三角形的判定等知識，綜合性較強在答案題目時，要注意數(shù)形結(jié)合，并靈活應(yīng)用前面小題中證得的結(jié)論27. （2012貴州省畢節(jié)市，27，16分）如圖，直線1經(jīng)過點A（-1，0），直線2經(jīng)過點B(3,0), 1、2均為與軸交于點C(0,),拋物線經(jīng)過A、B、C三點.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）拋物線的對稱軸依次與軸交于點D、與2交于點E、與拋物線交于點F、與1交于點G。求證：DE=EF=FG;(3)若12于軸上的C點處，點P為拋物

17、線上一動點，要使PCG為等腰三角形，請寫出符合條件的點P的坐標，并簡述理由。解析：（1）已知A、B、C三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）D、E、F、G四點均在對稱軸x=1上，只要分別求出其坐標，就可以得到線段DE、EF、FG的長度D是對稱軸與x軸交點，F(xiàn)是拋物線頂點，其坐標易求；E是對稱軸與直線l2交點，需要求出l2的解析式，G是對稱軸與l1的交點，需要求出l1的解析式，而A、B、C三點坐標已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系數(shù)法求出至此本問解決；（3）PCG為等腰三角形，需要分三種情況討論如解答圖所示，在解答過程中，充分注意到ECG為含30度角的直角三角形，P1CG為等邊

18、三角形，分別利用其幾何性質(zhì)，則本問不難解決解答：解（1）依題意，得. ， 解得拋物線的函數(shù)表達式是y=x2-x-;（2）直線l1經(jīng)過點A（-1，0），C（0，-），直線l1的函數(shù)表達式為y1=-x-.直線l2經(jīng)過點B（3，0），C（0-），直線l2的函數(shù)表達式為y2=x-.又拋物線的對稱軸是x=1，點D的坐標為（1，0），點E的坐標為（1，-），點F的坐標為（1，-），點G的坐標為（1，-2）.DE=EF=FG=；（3）P點的坐標為：P1（2，-），P2（1，）.理由：分三種情況：以G點為圓心，GC長為半徑作弧，交拋物線于點C和點P1，連結(jié)CP1、GP1，所以GC=GP1.由等腰三角形的三線合

19、一性質(zhì)（或拋物線的對稱性）可知點P1與點C關(guān)于直線x=1對稱，所以點P1的坐標為（2，-）；以點C為圓心，CG長為半徑作弧，因為CGF=30°，所以CGP1=60°，即CGP1是等邊三角形，又因為AC=CG=2，所以作出的弧與拋物線交于點A和點P1，但A、C、G在同一條直線上，不能組成三角形.作線段CG的垂直平分線，因為CGP1是等邊三角形，所以P1點在線段CG的垂直平分線上；連接CF，由于l1l2于點C，F(xiàn)是EG的中點，所以FC=FG，即F點也在線段CG的垂直平分線上，所以P2點與F點重合，即P2點的坐標是（1，-）.綜上所述，點P的坐標是P1（2，-），P2（1，-）.

20、點評：作為中考壓軸題，本題考查的知識點比較多，包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）解析式、等腰三角形、等邊三角形以及勾股定理等難點在于第（3）問，需要針對等腰三角形PCG的三種可能情況分別進行討論，在解題過程中，需要充分挖掘并利用題意隱含的條件（例如直角三角形、等邊三角形），這樣可以簡化解答過程29(2012江蘇蘇州，29，12分)如圖，已知拋物線y=x2（b+1）x+（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為（b，0），點C的坐標為（0，）（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存

21、在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由分析：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；（2）存在，先假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形設(shè)點P的坐標為（x，y），連接OP，過P作PDx軸，

22、PEy軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明PECPDB，進而求出x和y的值，從而求出P的坐標；（3）存在，假設(shè)存在這樣的點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使QOA與QAB相似，只能QAO=BAQ=90°，即QAx軸；要使QOA與OQC相似，只能QCO=90°或OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可解答：解：（1）令y=0，即y=x2（b+1）x+=0，解得：x=1或b，b是實數(shù)且b2，點A位于點B的左側(cè)，點B的坐標為（b，0），令x=0，解得：y=，點C的坐標為（0，），故答案為：（b，0），（0，）；（2）存在

23、，假設(shè)存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形設(shè)點P的坐標為（x，y），連接OP則S四邊形POCB=SPCO+SPOB=x+by=2b，x+4y=16過P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，PEO=EOD=ODP=90°四邊形PEOD是矩形EPO=90°EPC=DPBPECPDB，PE=PD，即x=y由解得由PECPDB得EC=DB，即=b，解得b=2符合題意P的坐標為（，）；（3）假設(shè)存在這樣的點Q，使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似QAB=AOQ+AQO，QABAOQ，QABAQO要使QOA與QAB

24、相似，只能QAO=BAQ=90°，即QAx軸b2，ABOA，Q0AABQ只能AOQ=AQB此時OQB=90°，由QAx軸知QAy軸COQ=OQA要使QOA與OQC相似，只能QCO=90°或OQC=90°（I）當(dāng)OCQ=90°時，CQOQOAAQ=CO=由AQ=AQ2=OAAB得：（）2=b1解得：b=8±4b2，b=8+4點Q的坐標是（1，2+）（II）當(dāng)OQC=90°時，QCOQOA，=，即OQ2=OCAQ又OQ2=OAOB，OCAQ=OAOB即AQ=1×b解得：AQ=4，此時b=172符合題意，點Q的坐標是（1

25、，4）綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得QCO，QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似專項十一 開放探索型問題27.（2012連云港，27，12分）（本題滿分12分）已知梯形ABCD,ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3.問題1：如圖1，P為AB邊上一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？如圖2，P為AB邊上任意一點，以PD、PC為邊做平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，的長是否存在最小值？若果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由。 問題3：P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，以PE、PC為邊做平行四

26、邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ，的長是否也存在最小值？若果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由。問題4：如圖3，P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA,(n為常數(shù))以PE、PB為邊做平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？若果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）只要看DPC能否為90°，在在RtDPC中，由勾股定理列出方程，根據(jù)方程是否有解確定對角線PQ與DC能不能相等。（2）、（3）（4）可找PQ最小時點P的位置，利用全等三角形、相似三角形列方程求線段PQ的長。【答案】（1） 問題1：因為四邊形PCQD是平行四邊形，若對

27、角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形。所以DPC=90°，因為AD=1，AB=2，BC=3.所以DC=2，設(shè)PB=x,則AP=2x,在RtDPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+ (2x)2+1=8,化簡得x22x+3=0,因為=（2）24×1×3=80，方程無解，所以對角線PQ與DC不可能相等。問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點G，所以點G是的中點，作QHBC，交BC的延長線于H。因為ADBC，所以ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，因為PDCQ，所以PDC=DCQ，所以ADP=QCH，又PD=CQ，所

28、以RtADPRtHCQ,所以AD=HC。因為AD=1，BC=3，所以BH=4，所以當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為4.問題3：如圖3，設(shè)PQ與DC相較于點G。因為PECQ，PD=DE,所以，所以G是DC上一定點。作QHBC，交BC的延長線于H，同理可證ADP=QCH，所以RtADPRtHCQ即，所以CH=2.所以BH=BC+CH=3+2=5，所以當(dāng)PQAB時，PQ的長最小，即為5.問題4：存在最小值，最小值為（n+4）。（注：各題如有其它解法，只要正確，均可參照給分）【點評】本題是一個動態(tài)幾何題，此題是一道綜合性較強的題目，主要考查學(xué)生的圖感，利用點P的運動過程，確定PQ最小時，P所在線段的位

29、置，考察到的到的知識點比較多，需要同學(xué)們利用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)確定PQ的最小值是否存在本題的亮點是由有三角形全等到三角形相似而引出一般情況28.（2012江蘇泰州市，28，本題滿分12分）如圖，已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖像與x軸相交于點A，與反比例函數(shù)y2=的圖像相交于B（-1,5）、C（）兩點.點P（m，n）是一次函數(shù)y1=kx+b的圖像上的動點.（1）求k、b的值；（2）設(shè)-1<m<，過點P作x軸的平行線與函數(shù)y2=的圖像相交于點D，試問PAD的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)m=1-a，如果在兩個實數(shù)

30、m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍. （第28題圖）【解析】（1）先將B點坐標代入y2，求出c，從而確定y2的解析式，然后再將C點代入求出d，最后將B、C代入y1即可（2）先確定PAD的面積的解析式，如何再利用二次函數(shù)的最值解決，從而得到P點坐標（3）分情況討論列出不等式解決即可【答案】（1）將B點坐標代入y2，得：c=5，將點C橫坐標代入，得d=-2，將B、C代入直線解析式，求得：k=-2，b=3；（2）令y1=0，x=，A（，0），由題意得，點P在線段AB上運動（不含A、B），設(shè)點P（，n），因為DP平行于x軸，所以yD=yP=n，所以D（-，n），所以S=PD

31、 yP=（+）5=-（n-）2+，而-2m+3=n，得：0n5，所以由S關(guān)于n的函數(shù)解析式所對應(yīng)的拋物線開口方向決定，當(dāng)n=，即P（，），S最大=.（3）由已知P（1-a，2a+1），易知， mn，1-a2a+1，a0；若a0，m1n，由題意m0，n2，解出不等式組的解集：0a；若a0，n1m，由題意n0，m2，解出：a0；綜上，A的取值范圍是a0或0a.【點評】本題主要考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的知識，求函數(shù)的解析式通常采用“待定系數(shù)法”，此題的關(guān)鍵在于分清順序逐步求解，做題過程中要特別注意線段長度與坐標之間的轉(zhuǎn)換，尤其是符號的變化，還考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法以及分析問題、解決問

32、題的綜合能力.23. （2012浙江麗水10分，23題）（本題10分）在直角坐標系中，點A是拋物線y=x2在第二象限上的點，連接OA，過點O作OBOA，交拋物線于點B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC.（1）如圖1，當(dāng)點A的橫坐標為_時，矩形AOBC是正方形；（2）如圖2，當(dāng)點A的橫坐標為-時，求點B的坐標；將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x2，試判斷拋物線y=-x2經(jīng)過平移變換后，能否經(jīng)過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由.【解析】：（1）若矩形AOBC是正方形，則AOC=BOC=45°，即點A在象限角平分線上，設(shè)點A坐標為（x，

33、-x），則有-x=x2，x=0（舍去）或x=-1.（2）過點A作AEx軸于點E，過點B作BFx軸于點F.求出OE，AE的長，再由AEOOFB得，進而借助方程求出B點坐標；過點C作CGGF于點G，先求出C點坐標，再利用待定系數(shù)法求出經(jīng)過A、B兩點的拋物線的解析式，判斷出點C在過A、B兩點的拋物線上.先將拋物線化成頂點式，進而根據(jù)拋物線平移規(guī)律說出變換過程.【解】：（1）-1.（2）過點A作AEx軸于點E，過點B作BFx軸于點F.當(dāng)x=-時，y=（-）2=，即OE=，AE=，由AEOOFB，得：.設(shè)OF=t，則BF=2t，t2=2t，解得t1=0（舍去），t2=2.B（2，4）.過點C作CGGF于

34、點G，AEOBGC，CG=OE=，BG=AE=.xc=2-=，yc=4+=，點C（，）.設(shè)過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x2+bx+c，由題意得解得經(jīng)過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x2+3x+2.當(dāng)x=時，y=-（）2+3×+2=，所以點C也在拋物線上.故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=x2+3x+2=-（x-）2+.平移方案：先將拋物線y=-x2向右平移個單位，再向上平移個單位得到拋物線y=-（x-）2+.【點評】：本題是一道幾何與代數(shù)的綜合題，綜合考查正方形、矩形、全等三角形、相似三角形、拋物線、一元二次方程等知識，是一道綜合性較強的試題，題目有一定的難度.26（2

35、012四川內(nèi)江，26，12分）已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF60°，連接CF（1）如圖131，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：BDCF，ACCFCD；（2）如圖132，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論ACCFCD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖133，當(dāng)點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDEF圖131ABCDEF圖132ABCD圖133【解析】（1）根據(jù)等邊

36、三角形和菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)等線段、等角，證明ABDACF解決（2）圖形直觀，CF最長，顯然（1）中結(jié)論不再成立，這時模仿（1）中全等三角形的證明思路，看同樣字母的兩個三角形是否仍然全等，進而解決問題（3）總結(jié)（1）（2）發(fā)現(xiàn)那三條線段之間就是最長的一條等于較短的兩條線段之和，可以畫出圖形直觀感受或證明發(fā)現(xiàn)【答案】解：（1）ABC是等邊三角形，A BAC，BAC60°四邊形ADEF為菱形，ADAFBACDAF60°，BACDACDAFDAC，即BADCAFABDACFBDCFACBCBDCD，且由BDCF，ACCFCD（2）不成立存在的數(shù)量關(guān)系為：CFACCD理由：由（1）同理可

37、得ABDACF，BDCFBDBCCDACCD，CFACCD（3）CDACCF補全圖形133ABCD圖133FE【點評】此題屬于幾何中的結(jié)論開放題，并具有探究性，讓學(xué)生在圖形變化過程中感受恒不變的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，滲透了運動與變化的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了幾何圖形的直觀性解答此類題的關(guān)鍵是順著題目鋪設(shè)好的臺階一步一步走，順著前題提供的思考方向“順藤摸瓜”，求同存異，大膽猜想、探究26. (2012山東省臨沂市，26，13分）如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)1200至OB位置，（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、

38、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標，若不存在，說明理由。【解析】（1）作BCx軸，垂足為C ，由旋轉(zhuǎn)的定義，可得BCO=900，BOC=600，OB=4，應(yīng)用三角函數(shù)可直接求得點B 的坐標；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合圖形，可得點O（0,0），點A（4,0），由待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（3）以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形,存在三種形式，即OP=OB,PO=PB,BO=BP,分別討論三種情況，成立的就存在點P；解：（1）如圖，過點B作BCx軸，垂足為C ，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)1200至OB位置，BOC=600，OB=4，BC=4×si

39、n600=4×=,OC=4×cos600=4×=2,點B在第三象限，點B（-2，-）；（2）由函數(shù)圖象得，拋物線通過（-2，-），（0,0），（4,0）三點，設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,由待定系數(shù)法得，解得，此拋物線解析式為y=.(3)存在。理由：如圖，拋物線的對稱軸是x=,解得，直線與x軸的交點為D。設(shè)點P（2，y），若OP=OB,則22+|y|2=42,解得y=±,即P點坐標為（2，）或（2，-），又點B（-2，-），當(dāng)P點為（2，）時，點P、O、B共線，不合題意，舍去，故點P坐標為（2，-）；若BO=BP,則42+|y+|2=42,解得y=,

40、點P坐標為（2，-）；若PO=PB,則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=,點P坐標為（2，-）；綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，-）?！军c評】：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的判定等知識點主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法24（2012浙江省義烏市，24，12分）如圖1,已知直線y=kx與拋物線 交于點A（3，6）.（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM, 交x軸于點M（點M、O不重合）,交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線

41、,交y軸于點N.試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是,求出這個定值,如果不是,說明理由；（3）如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上（與點O、A不重合）,點D（m，0）是x軸正半軸上的動點,且滿足BAE=BED=AOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？OxyABED圖2圖1AxyPQMNO24【解析】（1）將點A代入y=kx可求出k的值。再由勾股定理求出OA的長。（2）首先討論QH與QM重合時易知=2；當(dāng)QH與QM不重合時，易知QHMQGN， （3）延長AB交x軸于點F，過點F作FCOA于點C，過點A作ARx軸于點R，易知AO

42、RFOC，即，可求得OF的長即可求出F的坐標。設(shè)點B（x，），過點B作BKAR于點K，則AKBARF，可求B的坐標，易求得AB的長。也可設(shè)出直線AF，將A、F代入求其解析式，然后將其與拋物線聯(lián)立，求出B的坐標，進而求AB的長。再易得ABEOED，可求拋物線的頂點坐標，再畫出幾何關(guān)系圖，根據(jù)不同情況求出E的個數(shù)解：（1）把點A（3,6）代入y=kx 得6=3k ， k=2 ，y=2x 2分圖1AxyPQMNOGHOA= 3分（2）是一個定值 ，理由如下：過點Q作QGy軸于點G，QHx軸于點H .當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合,此時；當(dāng)QH與QM不重合時，QNQM,QGQH不妨設(shè)點H，G分

43、別在x、y軸的正半軸上MQH =GQN 又QHM=QGN=90°QHMQGN 5分當(dāng)點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得 7分（3）延長AB交x軸于點F，過點F作FCOA于點C，過點A作ARx軸于點RAOD=BAE AF=OF OC=AC=OA= ARO=FCO=90° AOR=FOCOxyABEDFRCKAORFOC OF= 點F（，0）設(shè)點B（x，），過點B作BKAR于點K，則AKBARF 即 解得x1=6 ,x2=3（舍去）點B(6,2) BK=63=3 AK=62=4 AB=5 8分(求AB也可采用下面的方法)設(shè)直線AF為y=kxb（k0） 把點A（3,6）

44、，點F（，0）代入得k=，b=10 （舍去） B（6,2）AB=5 8分(其它方法求出AB的長酌情給分)在ABE與OED中BAE=BED ABEAEB=DEOAEB ABE=DEOBAE=EOD ABEOED 9分設(shè)OE=x，則AE=x （） 由ABEOED得 （）10分頂點為（，），xmO如圖，當(dāng)時，OE=x=,此時E點有1個；當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點有2個.當(dāng)時，E點只有1個 11分當(dāng)時，E點有2個 12分【點評】本題綜合考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，是一道對學(xué)生能力要求較高的題26(2012重慶，26，12分)已知：如圖，在

45、直角梯形ABCD中，AD/BC，B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。E為BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)(l）當(dāng)正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；(2）將（l）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B'EFG，當(dāng)點E與點C重合時停止平移設(shè)平移的距離為t，正方形B'EFG的邊EF與AC交于點M，連接B'D,B'M，DM，是否存在這樣的t，使B'DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(3）在（2）問的平移過程中，設(shè)正方形B&

46、#39;EFG與ADC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍解析：用t表示有關(guān)線段的長度，是解決本題的關(guān)鍵。答案：（1）如答圖1所示，設(shè)BE長為x，AGFABC ，x=2,即BE=2 (2)如圖2，由題意知，BB=t,DH=3,BH=2,CE=4-t, CEMABC, ME=2-，根據(jù)勾股定理得：BM=，BD=t-4t+13,DM=+t+1分三種情況討論：若DBM=90°,則有BM+ BD= DM，求得t=,若BMD=90°,則有BM+ DM= BD，求得t=-3,若BDM=90°則有BD+ DM= BM，無解 （3）當(dāng)0t時,

47、s=t 當(dāng)t2時,s=-t+t-當(dāng)2t時,s=-t+2t-當(dāng)t4時,s=-t+點評：解決本題的關(guān)鍵是會用t表示出各個線段的長度，然后用勾股定理就可求出答案。24. （2012浙江麗水12分，24題）（本題12分）在ABC中，ABC=45°，tanACB=，如圖，把ABC的一邊放置在x軸上，有OB=14，OC=，AC與y軸交于點E.（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；（2）過點O作OGAC，垂足為G，求OEG的面積；（3）已知點F（10，0），在ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合題意的點P的坐標；若

48、不存在，請說明理由.【解析】：（1）解直角OCE求出E點坐標，再利用待定系數(shù)法求直線的解析式.（2）解直角三角形OCE，求出EG，OG，利用三角形面積公式即可求面積；（3）應(yīng)分類加以討論.解：（1）在RtOCE中，OE=OCtanOCE=，點E（0，2）.設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+2，有k+2=0，解得k=-，直線AC的函數(shù)解析式為y=-x+2.（2）方法1：在RtOGE中，tanEOG=tanOCE=，設(shè)EG=3t，OG=5t，OE=t，2=t，得t=2.故EG=6，OG=10.SOEG=OG×EG=×10×6=30.方法2：在RtOCE中，tanOCE

49、=，sinOCE=.OG=OCsinOCE=10.在RtOEG中，EG=OGtanOCE=10×=6，SOEG=OG×EG=×10×6=30.（3）當(dāng)點Q在AC上時，點Q即為點G，如圖1，作FOQ的平分線交CE于點P1，由OP1FOP1Q，則有P1Fx軸，由于點P1在直線AC上，當(dāng)x=10時，y=-×10+2=2-6.點P1（10，2-6）.當(dāng)點Q在AB上時，如圖2，有OQ=OF，作FOQ的角平分線交CE于點P2，過點Q作QHOB于點H，設(shè)OH=a，則BH=QH=14-a，在RtOQH中，a2+（14-a）2=100，解得a1=6，a2=8.Q

50、（-6,8）或Q（-8,6），當(dāng)Q（-6,8）時，連接QF交OP2于點M，則點M（2,4）.此時直線OM的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x.解得點P2（，）.當(dāng)Q（-8,6）時，同理可求得P3（，）.如圖3，有QP4OF，QP4=OF=10，設(shè)點P4的橫坐標為x，則點Q的橫坐標為（x-10）.yQ=yP，直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=x+14.（x-10）+14=-x+2.解得x=，可得y=.點P4（，）.當(dāng)Q在BC邊上時，如圖4，OQ=OF=10，點P5在E點，點P5（0，2）.綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：P1（10，2-6），點P2（，），P3（，），P4（，），P5（0，2）.【點評】：本題是一道綜合

51、性大題，要注意靈活應(yīng)用所有的知識點，另外在考慮問題時要全面，不要丟解.第（3）小題中，共四種情況，易出現(xiàn)丟解現(xiàn)象.25. （2012廣州市，16， 3分）（本小題滿分10分）如圖10，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點，CEAB于E，設(shè)ABC=（）（1）當(dāng)=60°時，求CE的長；（2）當(dāng)時，是否存在正整數(shù)k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。連接CF，當(dāng)取最大時，求tanDCF的值?！窘馕觥浚?）可以按照k等于1、2、3等正整數(shù)時，把EFD分為幾等分，從而確定k的值是否存在。（3）找出變量BE，找出的關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系式，計算

52、出取得最大值時，得到自變量BE的值，計算tanDCF的值?！敬鸢浮拷猓海?）如果ABC=60°，在RtABC中，CE=BCsin60°=10=5（2）取BC的中點G，連接FG，CF，則AF=BG=DF=CGAFBG,FDCG四邊形ABGF，四邊形FGCD都是平行四邊形又AB=5，BC=10，AB=BG=FG=CG=5，四邊形ABGF，四邊形FGCD都是菱形3=4，ABFGABFG1=2設(shè)GF交CE于M則MGBEEM=MCBECEGMCEFM垂直平分CEFE=FC2=3=4=1EFD=3AEFk=3設(shè)BE=x，則AE=5-x過點F作AB的垂線，垂足為N，則N=BEC=90°AFBGNAF=BNAFEBCAN=，F(xiàn)N=CEEN=AE+AN=5-x+=在RtEBC中，在RtNEF中，=y=+ =-1<0當(dāng)時，取最大值。FN=，NE=tanDCF=tanNEF=?！军c評】第（2）問轉(zhuǎn)化為把EFD分為k等分，證明其中的一份等于AEF的問題。確定k的值。第（3）關(guān)鍵是列出二次函數(shù)，計算當(dāng)取得最大值時，確定BE的長，也就是確定點E的位置，把DCF放在直角三角形中求其正切值