【2019-2020】高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破(第一篇)專題02“三招五法”輕松破解含參零點問題學(xué)案

1、1 / 19 【20192019- -20202020】高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破（第一篇）專題 02 02 三招五 法輕松破解含參零點問題學(xué)案三招五法輕松破解含參零點問題 一. 方法綜述 函數(shù)的含參零點問題是高考熱門題型，既能很好地考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程與不等式等基礎(chǔ)知識，又能 考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，所以此類題往往能較好地體現(xiàn)試卷的區(qū)分度，往往出 現(xiàn)在壓軸題的位置.正因為如此，根據(jù)函數(shù)的零點情況，討論參數(shù)的范圍成為高考的難點“對于此類題目， 我們常利用零點存在定理、函數(shù)的性質(zhì)，特別是函數(shù)單調(diào)性（可借助于導(dǎo)數(shù)）探尋解題思路，或利用數(shù)形 結(jié)合思想、分離參數(shù)方法來求解.

2、 具體的，（1）分類討論參數(shù)的不同取值情況， 研究零點的個數(shù)或取值；（2） 利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解； （3）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉 及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)； （4）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問 題，從而構(gòu)建不等式求解 二. 解題策略 類型一 第一招帶參討論 【例1】XX一中2018屆一輪第一次檢測】已知函數(shù) f（x）= ：-,如果函數(shù)f （x）恰有 兩個零點，那么實數(shù) m的取值范圍為 _ . 答案】 丨二 【解析】 分析：根據(jù).與-2 , 0和4的大小關(guān)系逐一判斷的零點個數(shù)即可得出結(jié)論. 解：若m-2,則1（的在（叫

3、ra上無零魚 在（叫+） 1個霍點以=4,不符合題意$ 若2 m0，則f 3 在（-8, 上有1個零鈕=2,在（叫+ ）上育1個零點盜=4,符合題 竜 則f 在（ -00,山上有2個零點X = -27 X = 0J在（g +切 上有1個零點；二4， 不符合題意： 若 ；，則： 在 “上有2個零點:-0，在二 上無零點，符合題意； 一： 門或-王： 故答案為： . 【指點迷津】 1. 根據(jù)題設(shè)要求研究函數(shù)的性質(zhì)，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范2 / 19 圍； 2. 由于函數(shù)含有參數(shù)，通常需要合理地對參數(shù)的取值進行分類討論，并逐一求解 【舉一反三】【揚州中學(xué)201

4、9屆高三10月月考】已知定義在上的函數(shù)： : 可以表示為一個偶函數(shù) - 與一個奇函數(shù) 之和，設(shè) - - - 1 - ；| - - ，丁 営 - - 若方程 /：.：1 - ：i 無 實根，則實數(shù) 負的取值范圍是 _ 【答案】 【解析】 假設(shè)f(X)=g (x) +h (x)其中g(shù) (%)偶函數(shù)，h (x)為奇函數(shù)， 則有 f ( - x) =g ( - x) -h ( -x),即 f -=g x) -h (x)* 由解得咖=回嚴 h(x)= 詈空 /f X)定義在R , Ag (x)? h (x)都定義在R上. VgC-x)=駕型=測，h(-x)=穿國=-h(O 心(X)是偶函數(shù)j h (x)

5、是奇函數(shù)，Vf (x) =2田, 前=哼百=嚴；=2貳 + 羔 h(x)= = =2-i 2 2 /“ p (t) =t+2mt+m - m+1. 即得一 - ，且只要方程無實根，故其判別式 丨，. . .- - : . I ： 3 / 19 “/ 1恒成立，由解得 m 2,.同時成立得 K m 2. 綜上，m的取值范圍為mv 2. x +2ax + at x 0 :h 若關(guān)于 的方程恰有2 個互異的實數(shù)解，則口的取值范圍是 _ . 【答案】： ： 【解析】分析：由題意分類討論 和 兩種情況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果 詳解：分類討論:當x D時，方程1(天)=該卩奸+ 2ax

6、 2a = 整理可得：X2 =a(x-2), 很明顯 = 2不是方程的實數(shù)解，則3 =豈 原問題等價于函數(shù)-與函數(shù):有兩個不同的交點，求 的取值范圍 結(jié)合對勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù) 的圖象, 同時繪制函數(shù) 的圖象如圖所示，考查臨界條件, 結(jié)合 “觀察可得，實數(shù)、的取值范圍是1 . 類型 第二招數(shù)形結(jié)合 【例2】20184 / 19 【指點迷津】 1. 由兩個基本初等函數(shù)組合而得的超越函數(shù) f(x) = g(x) h(x)的零點個數(shù)，等價于方程 g(x) h(x) = 0的 解的個數(shù)，亦即 g(x) = h(x)的解的個數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù) y = g(x)與y= h(x)的圖象

7、的交點個數(shù). 2. 先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個函 數(shù)-：“一.的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二 是轉(zhuǎn)化為：-:的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題“交點的橫坐標即零點 - 0 I 3 八 )| -張+占 有三個零點，則實數(shù) 力的取值范圍為_. 【答案】 【解析】 分析：求出函數(shù)|f (X)- 3x的解析式，畫出函數(shù)的圖象，禾U用函數(shù)的極值，轉(zhuǎn)化求解即可. 4葢一x衛(wèi)x 0 解：函數(shù)f (x) 2 x0 ，若函數(shù)音(X=|f (x) I-如b有三個零點， L JLJ 就是h (x) =|f (x)

8、 I-3x與5b有3個交點 fxfx- -x x2 2.0 x .0 x 4 4 5 / 19 h h (x) =1 -3xx 46 / 19 故答案為: 類型三第三招分離參數(shù) fW = 【例3】XX市2019屆10月調(diào)研】已知函數(shù)； 是定義在：上的偶函數(shù)，且 函數(shù). :有6個零點，則實數(shù)“的取值范圍是( ) A Bl B. (_/)uN C (- D . (- 【答案】D 【解析】 函數(shù)f (x) 疋疋乂在 R上的偶函數(shù)，函數(shù) F (x) =f (x) m有六個零點, 則當x0時，函數(shù)F (x) =f (x) m有三個零點, 令 F ( x) =f ( x) m=0, 6,當且僅當x= 1時

9、取等號，此時-b 6，可得 1 1 1 當OWXW4時，x x2w，當x=時取得最大值，滿足條件的 b (-, 斗 bv 6; 0 “ 綜上，范圍是 兀-兀2(0 x 2) 2 x ，若 當XV 0時, 7 / 19 即 m=f (x),8 / 19 當 QSxf (2) =2=2- -4=4=- -2 2? ? 故f (x)在匕2)上的值域為(-2, / 2- x 當 x2 時，f ( x) = V 0,且當 XT+8, f (X)T0, x-3 Y “-f ( X)= , x- 3 Y 令 f ( X)= =0,解得 x=3, 當 2W xv 3 時，f ( x)V 0, f ( x)單調(diào)

10、遞減， 當x3時，f( x)0, f (x)單調(diào)遞增， 1 f ( x) min=f (3)=-, 1 故f ( x )在2 , +8)上的值域為-,0), 1 “- -2, 1 “當- v mv 0時，當x0時，函數(shù)F (x) =f (x) - m有二個零點, 1 故當- v mv 0時，函數(shù)F (x) =f (x)- m有六個零點， 故選D. 【指點迷津】 1.分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域(最值)問題加以 解決; 2.通過將原函數(shù)中的變參量進行分離后變形成 g(x) = 1(a)，則原函數(shù)的零點問題化歸為與 x軸平行的直線 y = l(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點問題. x

11、 函數(shù) g(x) = b f(2 x)，其中 x 2, b R，若函數(shù)y = f x -g x恰有4個零點，則b的取值范圍是()【舉一反三】【2015年天津卷理】已知函數(shù) 2 x, f x = 2 (x2) 9 / 19 A 7亦 4 C “ 0,7 i D 4丿 【答案】D 【解析】函y = X(x)-(x)恰有4個零點，即方程八或一匱= 即b = f(x)-hf(2-x)有斗個不 同的實數(shù)根，即直線與函數(shù) = /(十人2-0的圖像有四個不同的交點.又 X2 +x+2=x 0 2fijt2 7 “做出該函數(shù)的囲像如圖所示，由團得，當訂6 0，則a的取 A. (2 ,+s ) B. (一 oo

12、 C (1 , +m) D. (一 oo 值范圍為( ) 【答案】B 2) 1) 【解析】 法一單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求解 由已知得,a*0, f (x) = 3ax2 6x, 2 令 f (x) = 0，得 x= 0 或 x=. a 當 a0 時，x ( g, 0) , f (x)0 ; x ( 0, 2 2 ),f (x)0.所以函數(shù) f(x) a a 10 / 19 2 2 在(8, 0)和，+上單調(diào)遞增，在(0,)上單調(diào)遞減，且f(0) = 10,故f(x)有小于零的零點， a a 不符合題意. 2 2 當 a0 時，x( 8, ) , f (x)0 ; x (0 ,+), f (

13、x)o, a a 2 2 只需f ( ) 0,即a 4,解得a0時，如圖 所示，不合題意； 當a0時，由圖 知，可先求出函數(shù) g(x) = ax3與h(x) = 3x2 1的圖象有公切線時 a的值.由g(x)= h(x) , g(x) = h(x)，得a= 2.由圖形可知當a 2時，滿足題意. 3 1 3 1 易知 x豐0,令 f(x) = 0，貝U a= - 3，記 g(x)= - 3， x x x x 在(8, 1)和(1 ,+8)上單調(diào)遞減，在(1,0)和(0,1)上單調(diào)遞增，且 象如圖所示，平移直線 y = a,結(jié)合圖象，可知 a 2. 11 / 19 法五特例法：巧取特例求解 取尸孔

14、則皿二尬一加+L由于AO)=h 從而用)在(-P上存在霑點，排除A、C. 4 斗 3 取盤二亍 則妙=一 護如+L由于/(0)=1,/(-)創(chuàng)，從而用)在(叫Q)上存在霧點.，加跆D, 故選B. 【指點迷津】 1. 本題的實質(zhì)是函數(shù)f(x)存在唯一的零點 x (0 , +R),因此可利 用其代數(shù)特征轉(zhuǎn)化為方程有唯一的正根 來構(gòu)思解析，也可以從零點本身的幾何特征入手，將其轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題來突破，還可以利用選項的 唯一性選取特例求解. 2. 函數(shù)零點的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方 程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象

15、的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得 直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 【舉一反三】【2017課標3,理11】已知函數(shù)f (x) = x2 - 2x a(ex e 1)有唯一零點，則a= 1 1 1 A. B. C. D. 1 2 3 2 【答案】C 【解析】 方法一：函數(shù)的零點滿足 x2 -2x = -a exJ e 1 , 1 2(x4) 設(shè)g x弋心飛宀，則g x 乂2-./4-= , e e 當g x =0時，x =1，當x 1時，g x +1)= x2+2x. ex_ 1+ e 1 _2、.exT ex+1 =2，當且僅當 x =1 時取= 2 2 x + 2x= (x1) +1

16、乞 1，當且僅當 x =1 時取 =“ 若 a0，則 a(ex 1 + e 乂十1)_2a , 1 要使f (x)有唯一零點，則必有 2a=1，即a=. 2 若aw 0,則f(x)的零點不唯一. 1 綜上所述，a=丄. 2 三“強化訓(xùn)練 /(x) = J 總二 x -厲 1.【2018年新課標I卷理】已知函數(shù) 卩哄 Q* 十若g( x)存在2個零點, 則a的取值范圍是 A. - 1 , 0) B . 0 , +R) C . - 1, +R) D . 1 , +R) 【答案】C 【解析】 畫出函數(shù)fQO的團像，y = 0在丫軸右側(cè)的去掉， 即a= 1 -t2 e2 令 h(t) 1 -t2 d

17、e上 ,易得 h(t)為偶函數(shù), 14 / 19 再畫出直線y二一知之后上下移動， 可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)團像有兩個交點 并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點, 即方程fOO = -x-s有兩個解, 也就是函數(shù)EU)有兩個零點、 此時滿足一3 1 f (尤)二X - 1 2. XX高級中學(xué) 2019屆8月調(diào)研】已知函數(shù) I,若函數(shù)J| 有兩個零點, 則實數(shù) 的取值范圍是( ) A. (-2 B . -1 C . (-2,0)。(0卄 D . (-l0)u(0, + oo) 答案】D 解析】 若函數(shù)*二、八-n 有兩個零點， 則函數(shù) 的圖象與 有且僅有兩個交點，

18、 在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù) 的圖象與 的圖象如下：15 / 19 由團可得：當他辦滿足條件多 由加=-10寸，y = 2_爐與y = m (x-1)相切得: lm 0時,滿足條件； 故DO E E ( ( - -1, 1, 0) 0) U U (0, (0, - -Foo)Foo), , 故冼：D. 3. 【2018年仿真模擬(十)】已知函數(shù) -X2-2X- lrx0，若關(guān)于工的方程尸V)-#(町+口二0(歸町 有8個不等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) B J C D . 【答案】D 【解析】 fw = 曠氣2 0 繪制函數(shù) -X2-2X lfx0的圖象如圖所示， 令 ，由題意可知，方程 :;在

19、區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根， 令；廠- J 由題意可知: + + + + 3 6 93 6 9 - - - 14 14 9 9- -4 4 - - - - & 5 “ -+ a0 ，據(jù)此可得: 即的取值范圍是 16 / 19 本題選擇D選項.17 / 19 4 4.【2019屆同步單元雙基雙測 AB卷】函數(shù)；的定義域為實數(shù)集 fW = -1,-1 x 的 ；都有；3+門一.；：=2：|,若在區(qū)間|-.二|函數(shù) - 恰有三個不同的零點 ,對于任意 則實數(shù)-的 取值范圍是( ) (1 1 1 A. I 2對B .才引C 【答案】D 【解析】 (x+2) =f (x-2), ；.f (x) =f (x

20、-4), f x)是以4為周朗的函數(shù), 若在區(qū)間-5, 3上函數(shù)g (x) -f (x) -mxF恰有三個不同的零鼠 則f (x)和y-m (x-1)在-廠3上有3個不同的交點， 畫出函數(shù)函數(shù)f (x)在-5, 3上的圖象，如圖示： 18 / 19 1 1 由&（=-, KBC=-，結(jié)合圖象得: ） mi , 故選： ri 1 5. XX高級中學(xué)2019屆8月調(diào)研】定義在 X 1上的函數(shù)fU）,滿足 1 若函數(shù)gg = fg -血在b上有零點，則實數(shù)的 a取值范圍是（ 【答案】B 交占 八、 7T k0Aal),其中k0A= 由圖象可得, 故選：B. /IX X E 胡,且當 7T A. 1

21、1血 叭 0 C . I n D = x (lh 7T J 所以和）在1上的圖象如圖，要使函數(shù) 1 - ：小在L J上有零點，只要直線 與“的圖象有 71 所以使函數(shù) 上有零點，則實數(shù) 的取值范圍是心） 時，；-_3 【解析】 在 19 / 19 fM = 2x + 1-fxl 6. 【皖中名校聯(lián)盟 2019屆10月聯(lián)考】設(shè)函數(shù)， - 若互不相等的實數(shù) “滿足20 / 19 1 :-則-的取值范圍是（ A. ： I B . : C . 丨 D . 【答案】B 2P+1 -1 = 一 2 肝亠 + 1 且 D m 1, 所以 P = q舎）或 2 卅丄 4 2 葉 =2 即茁+ 2 勺=1 且孑

22、r4, 故西 + 2 Q+2r - l+2rE （947）,故選 B. 目（jfc1） _ （尢 A 0） 7. XX市舒城中學(xué) 2018屆仿真（三）】函數(shù) 1 ，關(guān)于方程 ：.： “汁 有三個不同實數(shù)解，則實數(shù) 的取值范圍為（） A. r - B . ； -.- f】 VI C.心 D . 2 計 答案】D 【解析】 2x _ 2住 + 1) 2 _ 2 x+ 1 X + 1 X + 1 0 Z-0 時， 兀 + 1 ，即 g(x 當t = 0時 2m + 3=0,解得m = 一？ 此時方程為一= 0，解得t = 0或上=- 當t = 0時/ g(x)=哺個根蓋=1 當 2 爭寸，1恥)|詔

23、，此時也只有一個根, 此時方程共有兩個根，不滿足條件 設(shè)冷；| + / 當有一個根為 時，：；】 +川+ +、？：】 4 1 m j = 解得 ，此時另一個根為 ，滿足條件 根不是I時, .( 2m + 30 :二 即 3 4 V m.莖一= 綜上所述， 41 故實數(shù) 的取值范圍為 8. 【雙流中學(xué)2018屆一?！繉τ诤瘮?shù)； 和，設(shè)汀匚川,八：；，若所有的.，都有 I 二-則稱 和. 互為零點相鄰函數(shù) . 與 “互為零點相 m - 2 斗 m 22 / 19 鄰函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是( 【解析】 fw =皆71 - s為單調(diào)遞増的函數(shù)，且代-Iftffl數(shù)唯一的零點，由ftQgCO互為潯點相令I(lǐng)數(shù)3 貝呃的靂點在聽12間 (1)當農(nóng))有唯一的零點時J A=必解得a = 2,解得蠱=1滿足題旨 當g(純62J2間有唯一霧點時g(0)g(2) 必解得a (2J 綜上所述解得a 2J.K選D 龍 l 4