【試卷】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）（解析版）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿

2、足有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.2. 復(fù)數(shù)的虛部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.3. 在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出四個選項(xiàng)中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

3、，方差為；對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln193）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可

4、得解.【詳解】，所以，則，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5. 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋

5、物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題目.6. 已知向量 ，滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7. 在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，根據(jù)余弦定理：可得 ，即由故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬

6、于基礎(chǔ)題.8. 下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ）A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9. 已知2tantan(+)=7，則tan=（ ）A. 2B.

7、1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.10. 若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D. y=x+【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，

8、即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.11. 設(shè)雙曲線C：（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為P是C上一點(diǎn)，且F1PF2P若PF1F2的面積為4，則a=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，根據(jù)雙曲線定義可得，即，即，解得，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12. 已知5584，13485設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則

9、（ ）A. abcB. bacC. bcaD. ca400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2k)0.050 0010 0.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、的概率分別為、；（2）；（3）有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、的概率；（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，

10、一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19. 如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得二面角的正弦值.【詳解】

11、（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、，在長方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20. 已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點(diǎn)（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，求的面積【答案】（1）；（2）

12、.【解析】【分析】（1）因?yàn)椋傻?，根?jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，過點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為，可得，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，過點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，又，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，當(dāng)點(diǎn)為時，故，可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離

13、為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；當(dāng)點(diǎn)為時，故，可得：點(diǎn)為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21. 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f()處的切線與y軸垂直（1）求b（2）若有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）由（1）可得，易

14、知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)椋深}意，即則；（2）由（1）可得，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個絕對值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個零點(diǎn)，即在上存在唯一一個零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個零點(diǎn)，即在上存在唯一一個零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時不存在絕對值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，

15、考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)且t1)，C與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn).（1）求|：（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由參數(shù)方程得出的坐標(biāo)，最后由兩點(diǎn)間距離公式，即可得出的值；（2）由的坐標(biāo)得出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可.【詳解】（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即.；（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，屬于中檔題.選修45：不