數(shù)值分析計(jì)算方法超級(jí)總結(jié) 習(xí)題

1、工程碩士數(shù)值分析總復(fù)習(xí)題（2011年用）由教材中的習(xí)題、例題和歷屆考試題選編而成,供教師講解和學(xué)生復(fù)習(xí)用一. 解答下列問題: 1）下列所取近似值有多少位有效數(shù)字( 注意根據(jù)什么? :a 對(duì),取= 2.71828b 數(shù)學(xué)家祖沖之取 作為的近似值.c 經(jīng)過四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它們的有效 數(shù)字位數(shù)分別為 位, 位, 位。2 簡述下名詞:a 截?cái)嗾`差 (不超過60字 b 舍入誤差 (不超過60字c 算法數(shù)值穩(wěn)定性 (不超過60字3 試推導(dǎo)( 按定義或利用近似公式 : 計(jì)算時(shí)的相對(duì)誤差約等于的相對(duì)誤差的3倍。4 計(jì)算球體積 時(shí),為使其相對(duì)誤差不超過 0.3

2、% ,求半徑的相對(duì) 誤差的允許范圍。5） 計(jì)算下式時(shí),為了減少乘除法次數(shù), 通常采用什么算法? 將算式加工成什么形式? 6 遞推公式 如果取 ( 三位有效數(shù)字 作近似計(jì)算， 問計(jì)算到時(shí)誤差為初始誤差的多少倍？ 這個(gè)計(jì)算過程數(shù)值穩(wěn)定嗎 ？ 二. 插值問題:1 設(shè)函數(shù)在五個(gè)互異節(jié)點(diǎn) 上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 ，根據(jù)定理，必存在唯一的次數(shù) （A） 的插值多項(xiàng)式，滿足插值條件 ( B . 對(duì)此，為了構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式,由5個(gè)節(jié)點(diǎn)作 ( C 個(gè)、次數(shù)均為 ( D 次的插值基函數(shù)= _（E） ， 從而得Lagrange插值多項(xiàng)式= （F） ,而插值余項(xiàng) = （G） 。2 試用三種方法求過三個(gè)離散點(diǎn)：A

3、（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的插值多項(xiàng)式。3） 求函數(shù) 在 0 , 1 上的近似一次插值多項(xiàng)式。4 由函數(shù)值表: : 1 2 3 : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068 求的近似值.5 利用插值方法推導(dǎo) 三. 擬合問題:1 對(duì)離散實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做最小二乘擬合的兩個(gè)主要步驟是 ( A 和 ( B .2 對(duì)同一個(gè)量的多個(gè)近似值, 常取其算術(shù)平均作為該量的近似值, 這種做法的意義是什么?3 設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 1.36 1.73 1.95 2.28 14.094 16.844 18.475 20.963 按最小二乘法求其擬合曲線。4 已知某試驗(yàn)過

4、程中函數(shù)依賴于的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： ： 4 ： 0.8 1.5 1.8 2.0 試按最小二乘法擬合出一個(gè)形如 的經(jīng)驗(yàn)公式。5 設(shè)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 4 4 10 18 26 按最小二乘法擬合出一個(gè)形如 的經(jīng)驗(yàn)公式 。 四. 數(shù)值求積:1 寫出數(shù)值求積公式的一般形式, 指出其特點(diǎn), 并說明它對(duì)計(jì)算機(jī)的計(jì)算有什么意義?2 簡述數(shù)值求積公式的 ”代數(shù)精度” 的概念3 插值型求積公式 中,每個(gè)系數(shù)可用公式=( A 計(jì)算,它們之和 = ( B , 其代數(shù)精度 ( C .又Newton-Cotes公式的一般形式為 ( D , 其主要特點(diǎn)是 ( E , 其Cotes系數(shù)之和 = ( F , 其代數(shù)精度

5、 ( G ; 4 考察數(shù)值求積公式 ,直接指出: 它是什么類型的公式? 為使其精度盡可能高,應(yīng)取什么確值? 它是不是Gauss型公式?5 求的近似值, 試寫出使用11個(gè)等分點(diǎn)函數(shù)值的求積公式( 要求只列出數(shù)值公式,不需要求出具體結(jié)果 。6 利用復(fù)化Simpson公式求積分 的近似值 （只需列出算式） 。7 利用現(xiàn)成函數(shù)表，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分 五. 解線性代數(shù)方程組的直接法: 1） Gauss消去過程中引入選主元技巧的目的是下列中的哪一項(xiàng)或哪幾項(xiàng)？A提高計(jì)算速度； B提高計(jì)算精度； C簡化計(jì)算公式； D提高計(jì)算公式的數(shù)值穩(wěn)定性； E節(jié)省存儲(chǔ)空間。2） 采用“列主元

6、Gauss消去法” 解下列方程組： a 用 ”列主元Gauss消去過程” 將方程組約化成上三角方程組;b 用 ”回代過程” 依次列式計(jì)算出方程組的解。 3 設(shè)方程組現(xiàn)采用“列主元Gauss消去法”求解，試回答：a） 所用列主元Gauss消去法包括哪兩個(gè)過程？b） 要用幾步消元？c） 每一步消元計(jì)算之前需做哪些工作（用簡短、準(zhǔn)確的文字?jǐn)⑹觯?d） 現(xiàn)經(jīng)第步消元結(jié)果, 上述方程組已被約化為請(qǐng)你繼續(xù)做消元計(jì)算, 直至約化成上三角方程組。e）對(duì)所得上三角方程組依次列式計(jì)算出方程組的解。 六. 解線性代數(shù)方程組的迭代法: 1 解線性代數(shù)方程組 的基本型迭代公式其中稱為什么? 又稱為什么? 如果迭代序列有

7、極限（即迭代公式收斂），則極限是什么？2） 設(shè)解線性代數(shù)方程組（其中非奇異，）的迭代公式為 則其迭代矩陣是什么? 此迭代公式對(duì)任意的初始向量收斂的充分必要條件是什么？ 又此迭代公式對(duì)任意的初始向量收斂的一個(gè)充分條件是什么？ 3 設(shè)線性方程組 ，試構(gòu)造解此方程組的Jacobi迭代公式和GS迭代公式； 試問所作的兩種迭代公式是否收斂,為什么? 試用初值 計(jì)算GS迭代公式的前三個(gè)值. 4 設(shè)方程組 試構(gòu)造解此方程組的收斂的Jacobi迭代公式和收斂的Guass-Seidel迭代公式, 并說明兩者收斂的根據(jù); 求出這兩種迭代的迭代矩陣. 5 設(shè)線性方程組請(qǐng)按便于計(jì)算的收斂充分條件, 求使J法和GS法均

8、收斂的 的取值范圍.七一元方程求根:1 寫出求方程 在 1，2 中的近似根的一個(gè)收斂的不動(dòng)點(diǎn)迭代公式，并證明其收斂性。2 已知方程 的有根區(qū)間 3，4 .試寫出求該方程在 3 , 4 中的根的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)迭代公式; 證明所給出的迭代公式是收斂的。試設(shè)計(jì)其計(jì)算機(jī)算法.3 用Newton迭代法求方程 在 附近的根,試寫其Newton迭代公式; 并說明其收斂情況。4 試寫出求 的Newton迭代公式，并說明其收斂情況。八. 常微分方程初值問題:1） 常微分方程定解問題分為初值問題和 ( A 問題.初值問題是指由 （B） 和 （C） 兩部分聯(lián)立起來構(gòu)成的問題。研究常微分方程初值問題時(shí)， 通常針對(duì)基本形式

9、 （D） 進(jìn)行研究。設(shè)函數(shù)是某初值問題的解析解， 則該初值問題在處的解為 ( E 而數(shù)值解(通常記為 （F） ,它們的關(guān)系是 ( G .若記是初值問題在點(diǎn)處的解， 是由某數(shù)值方法得出的處的數(shù)值解，則該數(shù)值方法在處的局部截?cái)嗾`差是指 （H） .2） 設(shè)初值問題 試用Euler方法取，求解上述初值問題的數(shù)值解。3 設(shè)初值問題 試用梯形方法求其解在兩點(diǎn) 處的值的近似值。4） 設(shè)初值問題 試用改進(jìn)的Euler方法，并取，設(shè)計(jì)一個(gè)求解上述初值問題數(shù)值解的求解方案 （或稱計(jì)算機(jī)算法描述; 不必求出解的具體數(shù)值） 。5 設(shè)初值問題 試用4階經(jīng)典R-K方法，并取，設(shè)計(jì)一個(gè)求解上述初值問題數(shù)值解的求解方案 （或

10、稱計(jì)算機(jī)算法描述; 不必求出解的具體數(shù)值） 。九、下列各小題任選其中已學(xué)過的小題作練習(xí)：1） 設(shè), 求， , ；設(shè) ，求 ， ， , 。2 用較簡捷的方法分別求下列的插值多項(xiàng)式和,并寫出其余項(xiàng)公式:a b 3 用插值方法求在處與相切 ,在處與相交的二次多項(xiàng)式 ,并推導(dǎo)插值余項(xiàng)的估計(jì)式為4 試用最小二乘法原理求下列超定方程組的近似解:5 要計(jì)算函數(shù) 在 = 0.2, 0.4, 0.6 三處的近似值，試用解初值問題的數(shù)值方法,設(shè)計(jì)其計(jì)算方案 （要求采用二階精度的計(jì)算公式）.6 用追趕法解三對(duì)角方程組： 7 對(duì)方程組擬用迭代法求解, 試確定 的取值范圍,使得上述迭代公式收斂.8 對(duì)迭代函數(shù)，試求使迭代公式，局部收斂于的的取值范圍。9 試給出求 的Newton 迭代公式, 使得迭代公式?jīng)]有開方和除法運(yùn)算. 10 由迭代公式， 產(chǎn)生的序列對(duì)任何初值均二階收斂于什么？解釋其