例談數(shù)形結合的應用

1、例談數(shù)形結合的應用內(nèi)容摘要: 1、構造幾何圖形解決代數(shù)問題2、用代數(shù)與三角解決幾何問題關鍵詞: 數(shù)學思想方法，數(shù)形結合數(shù)學研究的對象是空間形式和數(shù)量關系。形與數(shù)是數(shù)學的兩大支柱，它們是對立的，又是統(tǒng)一的，辯證地以數(shù)表形和以形示數(shù)，是探索和解決數(shù)學問題的重要途徑，勿視形與數(shù)的任何一個方面，都將使數(shù)學變得殘缺不全，正如我國數(shù)學家華羅庚所述：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)學思想就是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識。數(shù)學思想、數(shù)學方法是密不可分，對于數(shù)學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質(zhì)和理論基礎，方法則是實施有關思

2、想的技術手段。中學數(shù)學中出現(xiàn)的數(shù)學觀點和各種數(shù)學方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。 在數(shù)學思想中，有一類思想是體現(xiàn)基礎數(shù)學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學思想。中學階段的基本數(shù)學思想包括：分類討論的思想；數(shù)形結合的思想，變換與轉(zhuǎn)化的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計思想，極限思想等等。中學數(shù)學教學中處處滲透著基本數(shù)學思想。如果能使它落實到學生學習和運用數(shù)學的思維活動上，它就能在發(fā)展學生的數(shù)學能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數(shù)學思想方法中數(shù)形結合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個中學數(shù)學的教學課程。本文對數(shù)形結合思想在數(shù)學教學中的應用談談一些自己的看法。數(shù)

3、形結合就是把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思索，使抽象思維和形象思維結合相結合?？墒箯碗s的問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結合有兩種基本形式，一是“形”的問題轉(zhuǎn)化為用數(shù)量關系去解決，運用代數(shù)、三角知識進行討論，它往往把技巧性極強的推理論證轉(zhuǎn)化可具體操作的代數(shù)運算，很好在起化難為易的作用。在解析幾何中就常常利用數(shù)量關系去解決圖形問題。二是“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為形狀的性質(zhì)去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受的優(yōu)點。數(shù)形結合在解題過程中應用十分廣泛，如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域和最值問題中，在求復數(shù)和三角函數(shù)問題中都有體現(xiàn)，運用數(shù)形結合思想解題，不僅直觀

4、易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程，這在選擇、填空題解答中更顯優(yōu)越。下面就數(shù)形結合思想在學習中的應用做一個簡單的分析。一、構造幾何圖形解決代數(shù)問題1. 構造數(shù)軸解決某些問題 例1：已知：a、b均為負數(shù)，c為正數(shù)，且|b|>|a|>|c|，化簡。 解：依題意，畫數(shù)軸、標出各數(shù)。 得b<a<0<c, 且b+c<0 , a-c<0,  b-a<0, 說明：通過構造數(shù)軸，將表示a、b、c的點標在數(shù)軸上后，便能直觀地看出b+c<0 , a-c<0,b-a<0，再來化簡代數(shù)式就不易出錯了。 2、構造三角形去

5、解決問題 例2:已知x,y,z,r均為正數(shù),且x2+y2=z2, z 求證: rz=xy 分析:由x2+y2=z2 ，自然聯(lián)想到勾股定理，由z，可以聯(lián)想到射影定理，從而可以作出符合題設條件的圖形。對照圖形，結論的正確性則一目了然。B 圖2 C A D說明：仔細觀察，善于聯(lián)想是構造幾何圖形解決代數(shù)問題的關鍵。 二、用代數(shù)與三角方法解決幾何問題 例3:如圖，在ABC中，ABAC，CF,BE分別是AB及AC邊上的高。試證：AB+CFAC+BE證明：因為 A（當A900時取等號） E F A B C 說明：采用了三角法與代數(shù)法，較之純幾何證法來，易于想到。數(shù)形結合思想貫穿于整個中學階段，最重要、最常用的數(shù)學思想方法之一，是中學數(shù)學的精髓。然而數(shù)學思想方法教學并不是一個單一的過程，各種思想方法是相互聯(lián)系，相互滲透，往往幾種數(shù)學思想、方法交織在一起。數(shù)學思想方法的教學是循環(huán)往復、螺旋上升的過程。在教學過程中依據(jù)具體情況在一段時間內(nèi)突出滲透與明確一種數(shù)學思想或方法，效果可能更好些。有關數(shù)學思想和數(shù)學方法，尚是一個嶄新的研究課題。以上認識只是本人