三角函數(shù)的恒等變換

1、三角函數(shù)的恒等變換 教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個(gè)公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等2熟悉三角變換常用的方法化弦法，降冪法，角的變換法等并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)、證明3掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是掌握所有三角公式，并能應(yīng)用它對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行變形由于公式多，題目雜，因此對(duì)三角關(guān)系式進(jìn)行變形時(shí)，要通過觀察、分析，合理的選擇公式，靈活的運(yùn)用公式，這是難點(diǎn)另外，在三角形中應(yīng)用三角變換公式，也是難點(diǎn)教學(xué)過程一、三角變換公式的使用特點(diǎn)1同角三角函數(shù)關(guān)系式(1)理解公式中“同角”的含義(2)明確公式成立的條件，例

2、如，tan2+1=sec2，當(dāng)且僅當(dāng)ak(3)掌握公式的變形特別需要指出的是 sin=tan·cos，cos=cot·sin它使得“弦”可以用“切”來表示(4)使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法(5)幾個(gè)常用關(guān)系式sin+cos，sin-cos，sin·cos；(三式之間可以互相表示)同理可以由sin-cos或sin·cos推出其余兩式A恒正 B恒負(fù)C可以為零D可得任意實(shí)數(shù)分析 答案為A分析 用化弦法例3 已知 sin+cos=m，tan+cot=n，則 m，n的關(guān)系是_分析 用化弦法得代入得m

3、2n=n+22誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式中的角是使公式成立的任意角(2)正確使用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是公式中符號(hào)的確定(3)sin(k+)=(-1)ksin；cos(k+)=(-1)kcos(kZ)分析 使用誘導(dǎo)公式，并用化弦法3兩角和與差的三角函數(shù)(1)公式不但要會(huì)正用，還要會(huì)逆用例6 計(jì)算：(2)公式的變形應(yīng)用要熟悉熟記：tan+tan=tan(+)(1-tan·tan)，它體現(xiàn)了兩個(gè)角正切的和與積的關(guān)系分析 (1)中涉及 80°與70°的正切和與積，(2)中涉及+與的正切差與積，所以都用正切和角公式的變形公式(3)角的變換要能靈活應(yīng)用，如=(+)-，=-(-)，2=(

4、+)+(-)等分析 因?yàn)?(+)-，所以求cos用余弦兩個(gè)角差的公式分析 因?yàn)?=(+)-(-)，所以例10 已知3 sin=sin(2+)，則tan(+)=2 tan證明 將已知變形：3sin(+-)=sin(+) 3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin等式兩邊同時(shí)除以cos(+)·cos，即得tan(+)=2tan4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式時(shí)，公式的選擇要準(zhǔn)確如已知sin，cos，tan求cos2時(shí)，應(yīng)分別選擇cos2=1-(3)余弦的二倍角公式的變形升冪公式、降冪公式必須熟練掌握要明確，降冪法是三角變換中非常

5、重要的變形方法對(duì)sin3，cos3的公式應(yīng)記住(4)使用正弦、余弦的半角公式時(shí)，要注意公式中符號(hào)的確定方法正在使用無理表達(dá)式時(shí)，須要確定符號(hào)；在使用兩個(gè)有理表達(dá)式時(shí)，無須確定符號(hào)，這是與選用無理表達(dá)式最大的區(qū)別，因此在化簡(jiǎn)、證明題中，例11 求值：(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°順序?yàn)?倍的關(guān)系，聯(lián)想到正弦的2倍角公式，分析 使用 1±cos的升冪公式，便于開

6、方(2)5sin2-3sin·cos+2cos2分析 由已知得tan=-4(2)原式可以加一個(gè)分母sin2+cos2，這樣分子、分母同時(shí)除以cos2還可以這樣研究：將sin2、cos2降冪，使用萬能公式原式=5·5和差化積、積化和差公式這兩組公式現(xiàn)在不要求記憶，但要會(huì)使用(1)要明確，這兩組公式是解決正、余弦的加、減、乘的運(yùn)算關(guān)系式(3)對(duì)下列關(guān)系式要熟記：例14 將下列各式化積：(1)1-sin2-cos2；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析 對(duì)(1)，題中有 1±cos時(shí)，通常都用升冪

7、公式對(duì)(2)、(3)，先將乘積化和差，再和差化積例15 求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析 可以用余弦的兩角和、差公式展開計(jì)算；若先降冪，再化積更簡(jiǎn)單(1)cos(-)； (2)sin(+)-2cos(+)解(1) 將已知的兩式平方相加，得(2)將已知的兩式化積并相除，得評(píng)述 對(duì)sin±sin=a，cos±cos=b這樣兩個(gè)式子通常的用法是，如(1)，兩式平方相加；如(2)，兩式化積并相除這兩種用法要掌握6三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)(1)

8、角的變換因?yàn)樵贏BC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半在非直角ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(4)在ABC中，熟記并會(huì)證明：A，B，C成等差數(shù)列的充分必要條件是B=60°ABC是正三角形的充分必要條件是A，B，C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列 若A為鈍角，則A(120°，180°) A+B180°，不可能，所以例18 判定滿足下列條件

9、的ABC的形狀解 (1)由已知及正弦定理得因此ABC是以C為頂角的等腰三角形或以C為直角的直角三角形；因此ABC為正三角形例19 ABC中，若A，B，C順序成等差數(shù)列，則cos2A+cos2C的取值范圍是_分析 因?yàn)锳，B，C順序成等差數(shù)列，所以2B=A+C， B=60°，A+C=120°對(duì)cos2A+cos2C用降冪變形，得二、綜合題分析分析 要求角的大小，一般的方法是求角的一個(gè)三角函數(shù)值，但是為了確定這個(gè)角的函數(shù)值，還必須研究這個(gè)角的范圍二象限評(píng)述 (1)本題涉及倍角、半角、差角公式，因此作題時(shí)要分步進(jìn)行，(2)判定一個(gè)角所在的象限，常常需要這個(gè)角的兩個(gè)三角函數(shù)值例23

10、 求值：(1)4cos235°-cos170°-tan160°·sin170°；(2)cot70°+4cos70°還可以采用下面的解法：由上面的變形，得評(píng)述 對(duì)于(2)，通分后，出現(xiàn)了sin 20°+2 sin 140°，非特殊角間的正、余弦的代數(shù)和經(jīng)常走和差化積的思路，這就需要?jiǎng)?chuàng)造和差化積的條件第一種解法創(chuàng)造和差化積的條件方法是將2sin140°分成兩部分；第二種解法創(chuàng)造和差化積的條件方法是取20°，40°的平均值30°，這樣展開以后，可以合并同類項(xiàng)，便于化簡(jiǎn)例2

11、4 在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin2A=3sin2B+3sin2C，cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1，求abc及三個(gè)角的大小解 由cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1得3cosA+3cos(B-C)=1-cos2A=2sin2A有 3sin2B+3sin2C=3cosA+3cos(B-C)，1-cos(B+C)·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)1+cosA·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)1-cosA=cos(B-C)(1-cosA)由1-cosA0，得cos(B-C)=1，即B=C將B=C代入co

12、s2A+3cosA+3cos(B-C)=1中，得所以 B=C=30°例25 在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A，B，C順序成等差數(shù)列，且log4sina+log4sinC=-1，三根據(jù)正弦定理例26 ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c順序成等差數(shù)列，且A-C=120°，求sinA，sinC解 因?yàn)?b=a+c，由正弦定理得能力訓(xùn)練1已知cos(-110°)=m，則tan 70°等于 3在ABC中，AB是sinasin B的 A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分也不必要條件 5若13sin

13、+5cos=9，13cos+5sin=15，則sin(+)的值是 6已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan2=_9求值：(1)cos422°30+cos467°30；(2)sin20°·cos50°+sin220°+cos250°；(3)tan22°·tan31°+tan31°·tan37°+tan37°·tan22°；(4)tan9°+cot117°-tan243°-cot351°10根據(jù)下列條件，判定ABC的形狀B所對(duì)的邊)11求值：sec50°+tan10°12求值：2sin20°+2cos25°+cot70°·sin10°13ABC中，若A，B，C所對(duì)的邊a，b，c順序成答案提示1D 2A 3C 4B 5C(3)tan31°(tan22°+tan37°)+tan37°·tan22°=tan31°·tan59°·(1-tan22°·