計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)值部分第五單元輔導(dǎo)

1、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)值部分第五單元輔導(dǎo) 14 常微分方程的數(shù)值解法一、重點(diǎn)內(nèi)容1. 歐拉公式： 局部截?cái)嗾`差是O(h2)。2. 改進(jìn)歐拉公式： 預(yù)報(bào)校正公式： 即 或表成平均的形式： 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是O(h3) 3. 龍格庫塔法 二階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是O(h3)三階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是O(h4)四階龍格¾庫塔法公式： 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)四階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是O(h5)。二、實(shí)例例1 用歐拉法解初值問題，取步長h=0.2。計(jì)算過程保留4位小數(shù)

2、。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立歐拉迭代格式 當(dāng)k=0，x1=0.2時(shí)，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.8000當(dāng)k1，x2=0.4時(shí)，已知x1=0.2, y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.614 4 當(dāng)k=2，x3=0.6時(shí)，已知x2=0.4,y2=0.6144，有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(40.4×0.4613)0.8000例2 用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問題，取步長h

3、=0.2,計(jì)算 y(0.2),y(0.4)的近似值，計(jì)算過程保留5位小數(shù)。解 步長h=0.2, 此時(shí)f(x,y)=yy2sinx歐拉預(yù)報(bào)校正公式為： 有迭代格式： 當(dāng)k=0，x0=1, y0=1時(shí)，x1=1.2，有 當(dāng)k=1，x1=1.2, y1=0.71549時(shí)，x2=1.4，有 =0.52608 例3 寫出用四階龍格庫塔法求解初值問題的計(jì)算公式，取步長h=0.2計(jì)算y(0.4)的近似值。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。解 此處f(x,y)=83y, 四階龍格庫塔法公式為 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+h

4、k3)本例計(jì)算公式為： 其中 k1=83 yk；k2=5.62.1 yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk當(dāng)x0=0,y0=2, 例4 設(shè)初值問題，證明用梯形公式求解該問題的近似解為 證明 解初值問題的梯形公式為(k=0,1,2,n1) 整理成顯式 ( k=0,1,2,n1)用k=n,n1,n2,1,0反復(fù)代入上式，得到例5 選擇填空題：1. 取步長h=0.1, 用歐拉法求解初值問題的計(jì)算公式是 答案：解答：歐拉法的公式 此處，迭代公式為2. 改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是( )(A) (B) (C) (D)答案：(D)解答：見改進(jìn)歐拉法平均形式公式。三、練習(xí)題1.求解

5、初值問題歐拉法的局部截?cái)嗾`差是( ); 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是( ); 四階龍格庫塔法的局部截?cái)嗾`差是( )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)2. 改進(jìn)歐拉預(yù)報(bào)校正公式是 改進(jìn)歐拉法平均形式公式為yp= , yc= ，yk+1= 試說明它們是同一個(gè)公式。 3. 設(shè)四階龍格庫塔法公式為 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3) 取步長h=0.3，用四階龍格庫塔法求解初值問題的計(jì)算公式是 。4.取步長h=0.1, 用歐拉法求解初值問題5. 試寫出用歐拉預(yù)報(bào)校正公式

6、求解初值問題的計(jì)算公式，并取步長h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代誤差不超過105。6. 對于初值問題試用(1)歐拉法；(2)歐拉預(yù)報(bào)校正公式；(3)四階龍格庫塔法分別計(jì)算y(0.2),y(0.4)的近似值。7. 用平均形式改進(jìn)歐拉法公式求解初值問題在x=0.2,0.4,0.6處的近似值。8. 證明求解初值問題的梯形公式是 yk+1=yk+, h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 四、練習(xí)題答案1. (A), (B), (D) 2. ; yk; 只需將yc, yp的表達(dá)式代入到y(tǒng)k+1中，就得到預(yù)報(bào)校正公式。3.提示：其中 k1=1yk；k2=0.85(1yk)；k3=0.8

7、725(1yk)；k4=0.73825(1yk)4.y1=1，y2=1.005 000，y3=1.010 025，y4=1.025 175，y5=1.045 679， y6=1.078 21，y7=1.103 976，y8=1.142 615，y9=1.188 320，y10=1.241 7945. 計(jì)算公式為 6.歐拉法：y(0.2)»1.000 00; y(0.4)»1.080 00 歐拉預(yù)報(bào)校正公式：y(0.2)»1.020 84; y(0.4)»1.042 40四階龍格庫塔法：y(0.2)»1.002 673 ; y(0.4)»1.021 7987. yp