專升本定積分及其應(yīng)用ppt課件

1、（一定積分的概念（一定積分的概念（二定積分的計算（二定積分的計算第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用主要內(nèi)容主要內(nèi)容（三定積分的應(yīng)用（三定積分的應(yīng)用問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、定積分一、定積分2、可積條件、可積條件連續(xù)、分段連續(xù)是可積的充分條件連續(xù)、分段連續(xù)是可積的充分條件; ;有界是有界是可積的必要條件可積的必要條件. .1 1、定積分的定義、定積分

2、的定義 baIdxxf)(iinixf )(lim10 .3 3、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)( babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)性質(zhì)4dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)5若若在在,ba上上0)( xf， 則則0)( dxxfba 推論：推論：（1） 若若在在,ba上上)()(xgxf ， 則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba （2）dxxfba )(dxxfba )( 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間

3、,ba上連續(xù)，上連續(xù)， 則則 在在 積積 分分 區(qū)區(qū) 間間, ba上上 至至 少少 存存 在在 一一 個個 點點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，4 、幾何意義：、幾何意義：數(shù)和之間的各部分面積的代及直線軸、曲線介于bxaxxfyx,)(5 5、微積分基本定理、微積分基本定理 若若)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則 dttfxxa )()(在在,ba上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )()()(xfdttfdx

4、dxxa )(bxa 定理定理1注：注：;,)(,baCxbaRf)()()(xbxadttfdxd )()()()(xaxafxbxbf .)()()()(0函數(shù)奇是偶函數(shù)偶是奇dttfxfx定理定理 2 如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則 )()()(aFbFdxxfba .)(baxF：注意注意N-L公式中公式中“f(x)可積可積,原函數(shù)存在的條件原函數(shù)存在的條件.6 6、定積分的計算法、定積分的計算法（1換元法換元法 dtttfdxxfba )()()(（2分部積分法分部積分法 bababavduuvudv7、常用的積分等式

5、：、常用的積分等式：02( ),()( )( );0 ,()( )aaaf x dxfxf xf x dxfxf x ;)()(: )()(0llaadxxfdxxfxflxf;)(cos)(sin2020dxxfdxxf;)(sin)(sin2)(sin0020dxxfdxxfdxxxf. 12! !)!1(22! !)!1(cossin2020mnnnmnnnxdxxdxnn注意注意 ：定積分換元應(yīng)同時換限，但不必還元定積分換元應(yīng)同時換限，但不必還元.分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)的定積分:利用區(qū)間可加性利用區(qū)間可加性,用分段點用分段點把積分區(qū)間分成若干段把積分區(qū)間分成若干段,求若干個積分之和求

6、若干個積分之和.不定積分的常見類型及積分法也適用于定積分不定積分的常見類型及積分法也適用于定積分.8、廣義積分、廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. bdxxf)( baadxxf)(lim dxxf)( 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim(2)無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱

7、稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0(3)注意注意 ：定積分的一些性質(zhì)及積分法也適用于兩類廣義積分定積分的一些性質(zhì)及積分法也適用于兩類廣義積分.但對稱區(qū)間上奇但對稱區(qū)間上奇(偶偶)函數(shù)的廣義積分函數(shù)的廣義積分0( 2倍倍).若含兩類廣義積分，應(yīng)分類分區(qū)間求積分之和若含兩類廣義積分，應(yīng)分類分區(qū)間求積分之和.判斷瑕點：考察判斷瑕點：考察f(x)的間斷疑點處是否的間斷疑點處是否f(x) .通過變量代換，兩類廣義積分和定積分可以互相轉(zhuǎn)換通過變量代換，兩類廣義積

8、分和定積分可以互相轉(zhuǎn)換.11,111;,1pppdxxp101,111.,1qqqdxxq微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點的特點解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式二、定積分的應(yīng)用二、定積分的應(yīng)用1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).) 1 ()2()(,)()(,)() 1 ()()(,)(的微分的定積分分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是即的一個原函數(shù)是則它的變上限積分上連續(xù)在設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa.)(:)()(的方法稱微元法積分的無限積累到從的微元這種求總量badxxfUbadxxfdUU

9、3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達達式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(， 即即為為所所求求量量U 4 4、解題步驟、解題步驟3 3、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標情形直角坐標情形abX=g1(y)X=g2(y)cdxydcdyygygA)()(12若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 則曲邊梯形的面積則曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)

10、應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）極坐標情形極坐標情形xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA2)(21 dA)()(212122xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd(2) 體積體積 badxxAV)(xdxx )(xAoabx(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( rr )( 弧長弧長 drrs )()(22(6) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x badxxFW)(7) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xfbadxxxfP)()(為為比比重重 (5) 細棒的質(zhì)量細棒的質(zhì)量oxdxx )(x ldxxm0)(badxxfaby)(1)4(均值：積分換元法、分部積分法；定積分的對稱性；分積分換元法、分部積分法；定積分的對稱性；分段函數(shù)的定積分；定積分不等式。應(yīng)用定積分