三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學設(shè)計

1、“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學設(shè)計寧波東方外國語學校（315500） 沈海敏1、設(shè)計意圖與學情分析 三次函數(shù)是中學數(shù)學利用導數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體，是應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的好素材。作為高三理科學生，已學完人教版全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本，必修）數(shù)學的全部內(nèi)容，本節(jié)課是在復習“二次函數(shù)”基礎(chǔ)上的一節(jié)高三復習探究課，學生已初步搭建起研究函數(shù)的基本平臺，借助導數(shù)的工具來研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，符合學生的認知規(guī)律。通過本節(jié)內(nèi)容的教學，既可以整合函數(shù)圖象和性質(zhì)、不等式、方程、函數(shù)極限、導數(shù)等相關(guān)知識，完善學生的知識結(jié)構(gòu)，體會其中蘊涵的數(shù)學思想方法，同時也有利于擴展學生的數(shù)學視野，體驗再發(fā)現(xiàn)

2、和再創(chuàng)造的過程，發(fā)展學生獨立獲取數(shù)學知識的能力，提高學生應(yīng)用所學知識解決問題的能力。另外，作為高三復習教學，力求想走出簡單重復與承襲過去的怪圈，三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，但教材和各種資料中往往只從求導、求極值、求單調(diào)區(qū)間等角度進行一些零碎的、淺表的探索，而很少對它作出比較系統(tǒng)地、實質(zhì)性地闡述。2、教學目標與重點難點通過這節(jié)課的教學想達到下列三個目標：1）知識目標：讓學生了解三次函數(shù)的概念、定義域、值域；能利用導數(shù)和二次函數(shù)等知識討論三次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，進一步理解函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、極值，能利用圖象來討論三次方程實根的個數(shù)，體會分類討論、數(shù)形結(jié)合

3、、函數(shù)方程的數(shù)學思想方法。2）能力目標：培養(yǎng)學生識圖能力、探究能力和創(chuàng)新意識，提高運用所學知識解決問題的能力。3）情感目標：讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的認識事物和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，鼓勵學生勇于探索、設(shè)法尋到解決問題的方案，體驗“再創(chuàng)造”的樂趣。 這節(jié)課的教學重點是討論三次函數(shù)的單調(diào)性和相應(yīng)三次方程實根的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，其中發(fā)現(xiàn)并驗證三次函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的教學難點。3、設(shè)計思想與教學方法這節(jié)課的設(shè)計強調(diào)學生主動探究式的學習方式，強調(diào)學生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知識的體驗，注重培養(yǎng)學生的終生學習能力。按建構(gòu)主義觀點，知識需要經(jīng)過學習者自身體驗，才能被有效地同化和順應(yīng)。自然，學生在

4、探索的過程中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導和幫助，教師應(yīng)該圍繞學生的“最近發(fā)展區(qū)”做文章。本節(jié)課始終貫徹的教學方式是：問題情景理性歸納解決問題探索研究啟迪思維因此，不是簡單地給出三次函數(shù)的概念、單調(diào)性、對稱性，而是通過創(chuàng)設(shè)情境，搭設(shè)臺階，類比二次函數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多媒體呈現(xiàn)三次函數(shù)的圖象，憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數(shù)層面、導函數(shù)分析層面，數(shù)形結(jié)合層面進行思考逐步加深對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的認識，最后，借助連續(xù)函數(shù)的零點存在定理來討論三次方程的實根的個數(shù)，作為對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用。在整個教學過程中，學生的主體地位得到充分發(fā)揮，

5、教師起組織者、幫助者和促進者的作用，利用情境、對話等學習環(huán)境充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)造精神，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學，享受探究帶來的成就感，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導的教學理念。4、教學流程41 三次函數(shù)概念T：類比二次函數(shù)，請同學們自己對三次函數(shù)下定義。板書形如的函數(shù)叫做三次函數(shù)。定義域：；T：要求三次項的系數(shù)不為0，那么三次項的系數(shù)與函數(shù)值變化有什么關(guān)系？S：當時，讓無限增大，對函數(shù)值起決定地位的是項，即，；同樣地當時，（讓學生體會極限的思想方法）板書：值域為T：下面我們從已搭建的研究函數(shù)的一般“平臺”出發(fā)來探討三次函

6、數(shù)的圖象和性質(zhì)。42 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)421單調(diào)性：T：研究三次函數(shù)的單調(diào)性，常用什么工具？S：導數(shù)。T：下面我們一起先來做兩個題目：(多媒體演示例1、例2)例1、（2004年全國卷文科19題）已知在上是減函數(shù)，求的取值范圍。OO例2、試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并在同一坐標系中畫出此函數(shù)與它的導函數(shù)圖象。 （以上兩題由同學們自己完成，然后交流。旨在復習導數(shù)、極值二次不等式恒成立等相關(guān)知識，引導學生從特殊的簡單的情形出發(fā)，先從圖象上直觀感知三次函數(shù)的單調(diào)性，并能結(jié)合導函數(shù)圖象（如圖1）分析，為接下來得出一般性結(jié)論作鋪墊）T：要使函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？要使函數(shù) 圖1在上不是單調(diào)函

7、數(shù)，那么它在上一定有幾個單調(diào)區(qū)間，系數(shù)又應(yīng)滿足什么條件？（通過學生自主探究，相互交流、討論，得出以下結(jié)論）板書一般地，當時，三次函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)；當時，三次函數(shù)在上有三個單調(diào)區(qū)間。（根據(jù)兩種不同情況進行分類討論）422對稱性：T：根據(jù)你的經(jīng)驗，三次函數(shù)的圖象有何特征？S：象“閃電”一樣。T：三次函數(shù)是否具有奇偶性？S：有些是奇函數(shù)，有些不是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)。T：奇函數(shù)的本質(zhì)是什么？S：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱。T：下面我們一起來觀察幾個三次函數(shù)的圖象，表達式中的系數(shù)請同學們提供。（多媒體演示幾個三次函數(shù)的圖象）OOOT：三次函數(shù)圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？（學生的思維被激

8、活，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心）S1：三次函數(shù)圖象好象都是關(guān)于某個點成對稱，且對稱中心就在三次函數(shù)的圖象上。（直覺是發(fā)現(xiàn)的前奏）S2：老師，因為三次函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，二次函數(shù)是軸對稱圖形，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，說明三次函數(shù)的圖象上關(guān)于某個點對稱的兩點處的導數(shù)值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相等。S3：是的，我猜想：三次函數(shù)對稱中心的橫坐標是其導函數(shù)的極值點的橫坐標。（教師鼓勵他們，繼續(xù)引導學生從感性向理性過渡）T：，它們都是奇函數(shù)，所以他們的對稱中心均為原點。T：函數(shù)有對稱中心嗎？S4：有，是點.T：追問：函數(shù)有對稱中心嗎？S5：有，是點.S6：（搶著說）老師，我

9、知道了，三次函數(shù)一定有對稱中心，你隨便給我一個三次函數(shù)，我總可以把它化為的形式。T：為什么？S6：我象二次函數(shù)配方那樣，對三次函數(shù)“配三次方”，一定可以把二次項“隱藏”起來。T：精彩！二次函數(shù)經(jīng)過“配方”，“配”出了一條對稱軸，三次函數(shù)經(jīng)過“配三次方”，“配”出了一個對稱中心。請大家一起來試試。板書例3、試求函數(shù)圖象的對稱中心。S：找到了，點。（用圖象來驗證）T：板書函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。事實上這里的被所確定，任意一個三次函數(shù)一定能化為的形式。（培養(yǎng)學生化歸意識，也體現(xiàn)了方程思想）T：我們把它叫三次函數(shù)的“什么式”？S7：聯(lián)想到二次函數(shù)的解析式有：一般式、頂點式、兩根式，把它叫“中心式”。S8

10、：老師，我想用以前學過的一個結(jié)論（函數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意，都有成立的充要條件是函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱）來證明？但感覺很麻煩。T：想法很好，我們只需證明，請同學們課后完成。（教師歸納總結(jié)，結(jié)合三次函數(shù)圖象及它的導函數(shù)圖象，根據(jù)導數(shù)的幾何意義來加以解釋：三次函數(shù)對稱中心的橫坐標是其導函數(shù)的極值點的橫坐標，并歸納證明三次函數(shù)對稱性的兩種方法）方法一：任意一個三次函數(shù)都可化為的形式。方法二：用結(jié)論（函數(shù)，對于定義域內(nèi)的任意，都有成立的充要條件是函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱）來證明。板書三次函數(shù)是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點，此點的橫坐標是其導函數(shù)極值點的橫坐標。44應(yīng)用討論三次方程實根的個數(shù)板書例4、討論方程的

11、實根的個數(shù)。分析：函數(shù)的圖象與軸有幾個交點，方程便有幾個根。（通過學生的自主探索，師生交流，共同完成以下結(jié)論）1、當=時，由于不等式恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根。 O O 2、當=時，由于方程有兩個不同的實根，不妨設(shè)，由圖象可知，為函數(shù)的極大值點，為極小值點，且函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。此時：1） 若，即函數(shù)極大值點和極小值點在軸同側(cè)，圖象均與軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根（如圖2、3）。 O 圖2 圖32） 若，即函數(shù)極大值點與極小值點在軸異側(cè)，圖象與軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根（如圖4）。3） 若，即與中有且只有一個 圖4 O O 值為0

12、，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等（如圖5、6）。 圖5 圖645課堂小結(jié)46課外練習5、課后反思與探討在新課程理念的指導下，我設(shè)計了這樣一節(jié)復習探究課。總的看來，課堂氣氛民主、和諧，學生普遍有濃厚的興趣，參與度高，大多數(shù)同學既能自主探索，敢于發(fā)表自己的見解，也能傾聽別人的想法，師生之間、學生之間的思想不斷碰撞，教學資源不斷生成（原先的教案中沒有“配三次方”、“三次函數(shù)的中心式”等內(nèi)容），充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，呈現(xiàn)各種三次函數(shù)圖象（這是以往教學難以實現(xiàn)的），給學生創(chuàng)設(shè)了廣闊的思維空間，既增強了學生的感性認識，從變化中去尋找不變的東西，為發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)的對稱中心提供了想象的基礎(chǔ)，又為探索贏得了

13、時間。也讓我再次領(lǐng)略到學生無窮的潛能，教師要做的是努力去開發(fā)他們。課堂教學永遠是門“遺憾的藝術(shù)”，有許多問題值得探討。首先，教學目標是否適切，是否有超出要求之嫌。三次函數(shù)的對稱中心也稱奇異切點，屬于高等數(shù)學研究范圍，但理論層面上講是極為初等的，具有可操作性，如果在計算機上用切線法模擬尋找該對稱點，將非常迅速，精度很高。這一點是否有必要在課堂上進行演示，以加深學生對三次函數(shù)對稱中心的理解。另外，由于課堂上沒有嚴格證明“三次函數(shù)圖象的對稱性”，是否會損害數(shù)學的嚴謹性和教學的完整性。其次，課堂容量是否太大，在探索“對稱性”過程中，由于教學時間的局限性，有些環(huán)節(jié)“放”的還不夠，個別新生成的教學資源沒有充分開發(fā)其功能。如一