暑期班第12講平面向量的坐標表示與數量積學生版

1、第12講平面向量的坐標表示與數量積高考要求平面向量平面向量平面向量的相關概念B向量的線性運算向量加法與減法C向量的數乘C兩個向量共線B平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐標表示B用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算C用坐標表示的平面向量共線的條件C平面向量的數量積數量積C數量積的坐標表示C用數量積表示兩個向量的夾角B用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系C向量的應用用向量方法解決簡單的問題B 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 2. 掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的條件 3

2、. 了解向量的線形運算性質及其幾何意義 4. 了解平面向量的基本定理及其幾何意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數乘向量運算；會用坐標表示平面向量共線的條件 5. 理解平面向量數量積的含義及其物理意義；知道平面向量數量積與向量投影的關系； 6. 掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的坐標運算；能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系知識精講板塊一：向量的坐標表示（一）知識內容1向量的正交分解與向量的直角坐標運算： 向量的直角坐標：如果基底的兩個基向量，互相垂直，則稱這個基底為正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解向量的

3、坐標表示：在直角坐標系中，一點的位置被點的位置向量所唯一確定設點的坐標為，由平面向量基本定理，有，即點的位置向量的坐標，也就是點的坐標；反之，點的坐標也是點相對于坐標原點的位置向量的坐標 在直角坐標系內，分別取與軸和軸方向相同的兩個單位向量，這時，我們就在坐標平面內建立了一個正交基底，這個基底也叫做直角坐標系的基底對于平面內的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數，使得，這樣，平面內的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數對叫做向量的坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示 向量的直角坐標運算：設，則；說明： 兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應坐標

4、的和與差； 數乘向量的積的坐標等于數乘以向量相應坐標的積 若，則向量；一個向量的坐標等于向量的終點的坐標減去始點的坐標2用平面向量坐標表示向量共線條件：設，則就是兩個向量平行的條件若向量不平行于坐標軸，即，則兩個向量平行的條件是，相應坐標成比例（二）典例分析【例1】 點、，若，試求為何值時，點在一、三象限角平分線上【例2】 如圖，已知，求線段的其中一個四等分點的坐標【例3】 若向量與共線且方向相同，求 在直角坐標系中，已知，求證：、三點共線板塊二：向量的數量積（一）知識內容 根據力與功的計算，引入向量的數量積運算一個力作用于一個物體，使該物體位移，由于圖示的力的方向與位移方向有一個夾角，真正使

5、物體前進的力是在物體唯一方向上的分力，這個分力與物體位移距離的乘積才是力做的功即力使物體惟一所做的功可以用計算1. 向量數量積的物理背景與定義 兩個向量的夾角：已知兩個非零向量，作，則稱作向量和向量的夾角，記作，并規(guī)定，在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有當時，我們說向量和向量互相垂直，記作 向量的數量積（內積）定義叫做向量和的數量積（或內積），記作，即 可通過下題，講解向量的數量積的概念及應用 已知，求， 已知，求解： ， ， 若兩個向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：已知正的邊長為，設，求如圖，與、與、與夾角為，原式 向量內積的性質是單位向量，則；，且；，即； 可通過以下判斷

6、題，檢驗學生關于向量垂直條件的掌握情況 對任意向量，有（） 若，則對任一非零向量，有；（） 若，則；（） 若，則至少有一個為零向量；（） 若，則當且僅當時成立；（）2向量數量積的運算律 交換律：； 分配律： 根據向量數量積的性質及運算律，可得到以下公式： 完全平方公式：； 平方差公式：3向量數量積的坐標運算與度量公式 向量內積的坐標運算：建立正交基：，已知， 用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件： 向量的長度、距離和夾角公式 已知，則，即向量的長度等于它的坐標平方和的算術平方根 如果，則 兩個向量夾角余弦的坐標表達式： 向量內積的坐標運算：，得到表達式 在向量垂直條件中，當時，條件，可以寫成也就

7、是說，如果，則向量與平行，上式中的是比例系數對任意實數，向量與向量垂直例如，向量與向量，垂直（二）典例分析【例4】 已知，與的夾角為，求； 在中，已知，求【例5】 為非零向量，當的長度取最小值時 求的值； 求證：與垂直【例6】 已知，求證： 已知，求， 已知，若，求、的值【例7】 已知都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角【例8】 （2005年全國理15）的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點為，求實數的值【例9】 的外接圓的圓心為，且為邊上的高，為上的一點，且求證：為的垂心【例10】 如圖，以原點和為頂點作等腰直角，使，求點和向量的坐標【例11】 （2006福建高考）已知向量與的夾角為，則

8、等于（ ）ABCD【例12】 （2004年-重慶理）若向量與的夾角為，則向量的模是（） A2B4 C6D12【例13】 （2007蘇北五市調研）已知向量，滿足，則與的夾角等于（ ）ABCD【例14】 （2007遼寧高考）若向量與不共線，且，則向量與的夾角為（ ）A0BCD【例15】 已知，與的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍【例16】 （2009年陜西高考卷）在中，是的中點，點在上且滿足，則等于（ ）ABCD【例17】 （2009高考全國卷）設、是單位向量，且，則的最小值為（ ）ABCD【例18】 （2009年海南，寧夏高考卷）已知，在所在平面內，且，且，則點，依次是的（ ）A重心

9、外心 垂心 B重心 外心 內心C外心 重心 垂心 D外心 重心 內心【例19】 （2009年天津高考卷）在四邊形中，則四邊形的面積為 【例20】 （2006年陜西高考） 已知非零向量與滿足且，則為（ ）A三邊均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形【例21】 已知平面上三個向量、的模均為1，它們相互之間的夾角均為，求證：； 若，求的取值范圍【例22】 已知向量，是定義在上的函數，若對所有都成立，求證：；求當取何值時，取到最小值家庭作業(yè)習題1. （2006年上海高考）如圖，在平行四邊形中，下列結論中錯誤的是（ ）A B C D習題2. （2009年山東高考）設是所在平面內的一點，則（ ）A B C D習題3. 已知，且與平行，則等于（ ）AB6CD4習題4. （2004年上海）已知點，若向量與