第十四章利率期權(quán)

1、第14章 利率期權(quán)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)要掌握利率期權(quán)的基本含義，利率期權(quán)市場的基本情況，主要的利率期權(quán)，包括利率期貨期權(quán)，場外市場期權(quán)，以及內(nèi)嵌在債務(wù)工具中期權(quán)。還要掌握為利率期權(quán)定價的解析工具。期權(quán)調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。要理解利率期權(quán)定價的核心布萊克模型。第一節(jié) 利率期權(quán)市場我們可以將利率期權(quán)分成三類：交易所交易的，場外市場交易的和內(nèi)嵌在金融工具里的利率期權(quán)。一、交易所交易的利率期權(quán)交易所交易的利率期權(quán)主要是指利率期貨期權(quán)，此外還有一些債券期權(quán)，在第13章，我們討論了期貨期權(quán)定價的一般情況，在這一章，我們將通過利率期貨期權(quán)更加深入地討

2、論這一問題。主要利率期貨期權(quán)是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。二、場外市場交易的利率期權(quán)場外市場上的利率期權(quán)不像內(nèi)嵌在其他金融工具中的利率期權(quán)，它是單獨(dú)直接交易的，它也是利率期權(quán)發(fā)展和創(chuàng)新的根源。因為場外交易市場幾乎完全是私下進(jìn)行的，所以沒有關(guān)于市場規(guī)模和交易活動的完整、精確的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。不過，我們有可能確定其市場規(guī)模的下限，因為我們可以利用有兩個數(shù)據(jù)來源，一個是國際互換和衍生工具協(xié)會（In

3、ternational Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營業(yè)資產(chǎn)；還有一個是美國貨幣審計辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報告。在場外交易市場上，名義本金的概念是很關(guān)鍵的。名義本金可以通過與期貨和期貨期權(quán)市場的類比來理解。舉個例子，一份歐元期貨合約（或一份歐元期貨期權(quán)合約）的本金是$1,000,000，不過這一百萬美元并不是合約中實(shí)際的投資或風(fēng)險暴露頭寸，這一百萬美元類似于OTC上的名義本金。名義本金是用來計算利息額的本金數(shù)量，它既不是實(shí)際的風(fēng)險暴露，

4、也不進(jìn)行實(shí)際的支付，只是計算利息流的基礎(chǔ)。根據(jù)ISDA的報告，到1997年，場外市場上交易的利率期權(quán)的名義本金已超過5萬億美元，在過去10年每年以接近35的速度增長。ISDA的數(shù)據(jù)在一定程度上低估了場外市場的發(fā)展，因為它只包括101個會員的數(shù)據(jù)，不過僅此數(shù)據(jù)就表明場外市場的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了交易所市場的發(fā)展。而貨幣控制辦公室（OCC）的報告顯示，475家商業(yè)銀行和信托公司在交易所和場外市場上均有大量的衍生證券頭寸，它們的報告沒有將利率期權(quán)和其他衍生工具區(qū)分開來，但可以斷言銀行的期權(quán)頭寸主要是利率期權(quán)頭寸。1997年，這些銀行持有的交易所期權(quán)頭寸為1.363萬億美元，場外市場期權(quán)頭寸為4.598萬億

5、美元，兩者都是用名義本金來衡量的。貨幣控制辦公室（OCC）的報告還顯示，場外市場交易的期權(quán)和交易所交易的期權(quán)的比例約為3比1。這些數(shù)據(jù)和ISDA報告的數(shù)據(jù)不是獨(dú)立的，每份期權(quán)合約都有買方和賣方，因此可能銀行的一些期權(quán)頭寸在ISDA的調(diào)查中已經(jīng)包括了，而且一些銀行的衍生證券部也是ISDA的會員，這些銀行的期權(quán)頭寸就可能被計算兩次，這說明統(tǒng)計場外市場交易的利率期權(quán)是很困難的。不過，至少有一點(diǎn)是清楚的，利率期權(quán)的市場規(guī)模巨大，名義本金的頭寸以萬億計。三、內(nèi)嵌的利率期權(quán)除了在交易所和場外市場直接交易的利率期權(quán)，有大量的利率期權(quán)是內(nèi)嵌在其他證券之中的。這些利率期權(quán)一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債

6、務(wù)中。在美國，長期公司債券一般是息票債券，而且是可贖回的。贖回條款允許發(fā)行公司在特定的時間以特定的價格從投資者手中買回債券，即發(fā)行公司擁有一個內(nèi)嵌在債券合約中的期權(quán)。這個贖回條款在本質(zhì)上是一個利率期權(quán)，因為贖回條款的價值依賴于債券的價值，而債券的價值依賴于利率。幾年前發(fā)行的美國國庫券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒有了。廣泛存在的贖回條款說明內(nèi)嵌的利率期權(quán)大量存在，這些內(nèi)嵌的利率期權(quán)對債券的市場價值有顯著影響，我們將看到，債券的期權(quán)特征會影響債券價格對利率變動的反應(yīng)方式。另外一類主要的內(nèi)嵌的利率期權(quán)存在于抵押的不動產(chǎn)之中。幾乎所有的不動產(chǎn)抵押都含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負(fù)債，這個

7、提前償還條款是貸款人提供給借款人的。不動產(chǎn)抵押貸款的余額以萬億美元計，多數(shù)抵押貸款會在到期前提前償還，這意味著提前償還期權(quán)一般會被執(zhí)行。在美國，住房抵押貸款一般是抵押銀行用來形成抵押擔(dān)保證券的基礎(chǔ)。在本質(zhì)上，抵押擔(dān)保證券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一個組合或不動產(chǎn)抵押池。MBS的投資者投資于由抵押貸款構(gòu)成的組合，并按事先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(Government National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會( Federal National Mortgage Ass

8、ociation, FNMA )會提供違約風(fēng)險的擔(dān)保。因此MBS的收益率在考慮提前償還的期權(quán)后略高于國庫券的收益率。在組成MBS的抵押貸款中，每期都有一些被提前償還。提前償還住房抵押貸款的原因主要有兩個：首先是一些人賣掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS的投資者角度看，第二個原因更重要。再融資一般會在現(xiàn)在的市場利率大大低于抵押貸款的合同利率的時候發(fā)生。當(dāng)MBS中的抵押貸款出現(xiàn)提前償還的時候，MBS的投資者收到提前償還款項的一部分。從MBS投資者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因為這主要出現(xiàn)在利率很低的時候，MBS的投資者將面臨以一個更低的利率投資。提前償還的定價是復(fù)雜的，因為提

9、前償還不但依賴于利率的變動，還依賴于人口統(tǒng)計學(xué)。一些抵押貸款的提前償還率更高，是因為借款人更傾向于賣掉房子，這些人的流動性和跳槽比例都比較高。因此住房抵押貸款中內(nèi)嵌的提前償還期權(quán)很復(fù)雜，而且對理解MBS的定價非常重要。MBS專家要花費(fèi)大量的時間和精力，考慮提前償還。除了住房抵押貸款，另外一類MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通過將抵押貸款的現(xiàn)金流分解后從新打包以滿足不同投資者的需求。這個打包稱為部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它們被出售給不同的投資者。此外，抵押貸款也可以剝離成利息和

10、本金量部分，在一個典型的抵押貸款中，每個月的償還額中的一部分是償還當(dāng)月的利息，剩下的部分是償還本金。一個利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。對于可贖回的債券和抵押貸款而言，理解它的價值和投資特征依賴于理解其中內(nèi)嵌的期權(quán)帶來的影響。一般將含有內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具價格分解成兩部分，主體價值和期權(quán)價值，主體價值是不含期權(quán)的同類工具的價值。含內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具的價值主體價值±期權(quán)價值內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價值，也有可能降低主體的價值。舉個例子，可贖回債券中的贖回條款是發(fā)行者擁有的

11、一個看漲期權(quán)，從投資的角度看，它降低了債券的價值?？稍诘盅嘿J款中，借款人擁有一個提前償還的期權(quán)。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權(quán)中，借款人擁有期權(quán)，因此期權(quán)降低了資產(chǎn)的價值，提高了資產(chǎn)的收益率。第二節(jié) 利率期權(quán)的定價一、經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價差現(xiàn)在我們開始討論利率期權(quán)的定價，利率期權(quán)定價的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。在討論定價模型之前，我們還需要了解經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考慮了期權(quán)以后，以上內(nèi)嵌了期權(quán)的金融工具和國債收益率的差值。為了計算某個金融工具的OAS，首先利用政府長期零息票收益率曲線進(jìn)行估值，并將該值輸入到新的定價模型中去。將模型給出的該金融

12、工具的價格與它在市場中的價格進(jìn)行比較。運(yùn)用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國債收益率曲線的平行漂移量，該量將使得模型的價格等于市場的價格。這個平行漂移量就是OAS。舉個例子，假設(shè)市場價格是102.00，利用國債收益曲線計算出的價格為103.27。作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國債零息票曲線的平行漂移量為60個點(diǎn)。假設(shè)這個漂移量給出該金融工具價格為101.20。這低于102.00的價格，意味著在0和60點(diǎn)之間的某個平行漂移量將使得模型所計算的價格等于市場價格。自然我們利用線性插值計算得： 60103.27102.0036.81 103.27101.20即36.81點(diǎn)，將它作為下一次

13、試算的漂移量。假設(shè)這個漂移量給出的價格為101.95。這說明OAS比36.81點(diǎn)要稍微小一些。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： 36.81103.27102.0035.41 103.27101.95即35.41點(diǎn)；如此等等。二、布萊克（Black）模型與利率期權(quán)的定價自從1973年布萊克舒爾斯（Black-Scholes）期權(quán)公式首次公布以來，該公式已成為非常流行的工具。正如在第十三章所述，該模型經(jīng)過擴(kuò)展之后，可為貨幣期權(quán)、指數(shù)期權(quán)以及期貨期權(quán)估值。交易員已經(jīng)非常習(xí)慣于支撐該模型的對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)和用來描述不確定性的波動率測度。為了將該模型運(yùn)用于利率衍生證券的定價，人們做了各種擴(kuò)展。在利率

14、衍生證券領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的布萊克舒爾斯擴(kuò)展模型是發(fā)表于1976年的Black模型，起初開發(fā)該模型是為了給商品期貨期權(quán)進(jìn)行估值。該模型擴(kuò)展后為范圍廣泛的歐式期權(quán)估值提供了一個靈活的框架。我們還將給出一些例子說明Black模型如何應(yīng)用于利率期權(quán)的定價。（一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價考慮一個基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義：T：期權(quán)到期日F：在期限為T的合約中的V的未來價格X：期權(quán)的執(zhí)行價格r：期限為T的零息票收益：F的波動率VT：在時刻T時V的價值FT：在時刻T時F的價值在時刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是max(VT-X,0)，由于FT=VT，因此我們可認(rèn)為在T時刻的期權(quán)盈利狀態(tài)

15、為max(FT-X,0)，Black模型給出0時刻歐式看漲期權(quán)的價值c為：其中c=e-rTFN(d1)-XN(d2) （14.1） 2 d1=2d2=d1-相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價值p為：p=e-rTXN(-d2)-FN(-d1) （14.2）（二）Black模型的擴(kuò)展Black模型假設(shè)F的波動率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個假設(shè)。由于我們是為歐式期權(quán)進(jìn)行估值，我們并不關(guān)心時刻T之前的V值或F值。我們僅只是要求在T時刻V服從對數(shù)正態(tài)分布。由于F是VT在風(fēng)險中性世界中的期望值，我們能夠利用風(fēng)險中性估值方法推導(dǎo)出方程式（14.1）和（14.2）的充分條件如下：1VT的概率分布是對數(shù)正態(tài)分布；2lnVT

16、的標(biāo)準(zhǔn)偏差是3利率是非隨機(jī)變量。當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時，期貨價格和遠(yuǎn)期價格是相同的。因此，對T時刻到期的某個合約而言，變量F可定義為V的遠(yuǎn)期價格。總之，只要假設(shè)利率是非隨機(jī)變量，期權(quán)到期時標(biāo)的變量服從對數(shù)正態(tài)分布，任何時候我們都可以利用方程式（14.1）和（14.2）為歐式期權(quán)估值。在方程式中的變量F可定義為T時刻到期的某個合約中的標(biāo)的變量的遠(yuǎn)期價格。由于我們并沒有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動，那么定義變量為波動率并不嚴(yán)格。現(xiàn)實(shí)中，它不過是一個具有如下特性的變量，即lnVT的標(biāo)準(zhǔn)偏差。為了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們定義為T時刻V的波動率測度（Volatility Measure）。進(jìn)一步擴(kuò)展Black

17、模型，我們可允許給出盈利的時刻不是T時刻，例如假設(shè)從T時刻的變量V的值計算出期權(quán)的盈利，但是該盈利延遲到T時刻，其中TT。在這種情況下，有必要從時刻T而不是從時刻T貼現(xiàn)該盈利。我們定義r為到期日為T的零息票收益率，于是方程式（14.1）和（14.2）變?yōu)椋浩渲?c=e-rTFN(d1)-XN(d2) p=e-r*T*（14.3） （14.4） XN(-d2)-FN(-d1) 2 d1=2d2=d1-（三）適用的利率人們廣泛使用（14.1）到（14.4）為利率期權(quán)估值。變量V可以是利率、債券價格、或兩個利率之間的價差。變量F等于V的遠(yuǎn)期價格。用于貼現(xiàn)的變量r和r是從計算出來的零息票收益率。當(dāng)Bl

18、ack模型按這種方式運(yùn)用時，出現(xiàn)了兩種近似情況：1假設(shè)V的遠(yuǎn)期價格等于它的期貨價格，因此等于VT在風(fēng)險中性世界中的期望值，但是，當(dāng)利率是隨機(jī)變量時，遠(yuǎn)期價格和期貨價格并不相等。2即使計算期權(quán)盈利時刻這些利率假設(shè)為隨機(jī)變量，也假設(shè)用來貼現(xiàn)的這些利率為常數(shù)。如果這些情況發(fā)生了的話，這兩個近似具有相互抵消的效應(yīng)。因此，在為歐式利率期權(quán)估值時，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。（四）歐式債券期權(quán)的定價歐式債券期權(quán)是在未來一個確定日期按一個確定價格購買或出售某個債券的選擇權(quán)。如果假設(shè)在期權(quán)到期日標(biāo)的債券的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，令F等于遠(yuǎn)期債券價格，則可用方程程式（14.1）和（14.2）為該期

19、權(quán)估值。變量是這樣定義的，券價格對數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。從即期債券價格B可以計算出F，公式如下：*F=(B-I)erT （14.5） 其中I是在期權(quán)有效期內(nèi)所支付的息票的現(xiàn)值。在這個公式中，即期債券價格和遠(yuǎn)期債券價格都是現(xiàn)金價格（Cash Prices）而不是報價（Quoted Prices）。在方程式（14.1）和（14.2）中的執(zhí)行價格應(yīng)該是現(xiàn)金執(zhí)行價格。期權(quán)條款中對X的設(shè)定很重要，如果執(zhí)行價格定義為期權(quán)履約時交換該債券的現(xiàn)金量，X應(yīng)該設(shè)定等于這個執(zhí)行價格。如果執(zhí)行價格定義為期權(quán)履約時適用該債券的報價，X應(yīng)該設(shè)定等于執(zhí)行價格加上截止到期權(quán)到期日的累計利息（交易員將債券的報價看作為“干凈價格”，而

20、將現(xiàn)金價格看作為不純價格（Dirty Price）。例14.1考慮一個10個月期歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的證券是有效期9.75年的債券，面值為1,000（當(dāng)期權(quán)到期時，該債券的有效期為8年11個月）。假設(shè)當(dāng)前債券現(xiàn)金價格為960，執(zhí)行價格為1,000，10個月期無風(fēng)險年利率為10，在10個月內(nèi)該債券價格的波動率測度為年率9。債券息票率為10，每半年支付一次，預(yù)計在三個月后和九個月后各支付50息票（這意味著累計利息為25，報價為935。）。我們假設(shè)3個月期和9個月期的無風(fēng)險年利率分別為9.0和9.5，因此，所付息票的現(xiàn)值為：50e-0.250.09+50e-0.750.095=95.45即95.45。從

21、方程式（14.5）得到債券遠(yuǎn)期價格如下：F=(960-95.45)e0.100.8333=939.68（a）如果執(zhí)行價格是執(zhí)行時支付該債券的現(xiàn)金價格，方程式（14.1）中的參數(shù)是F939.68，X1,000，r0.1，0.09，T0.8333。看漲期權(quán)的價格為9.49。（b）如果執(zhí)行價格是執(zhí)行時支付該債券的報價，由于期權(quán)的到期日是息票支付日之后的一個月，一個月的累計利息必須加到X中去。得到X的值為：1,000+50×0.166671,008.33在方程式（14.1）中的其它參數(shù)不變（即，F(xiàn)939.68，r0.1，0.09，T0.8333）?？礉q期權(quán)的價格為7.97。債券價格對數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)

22、偏差會隨時間變化。今天的標(biāo)準(zhǔn)偏差為零，因為今天債券的價格沒有不確定性。在債券的到期日標(biāo)準(zhǔn)偏差也是零，因為我們知道到期時債券價格將等于它的面值。在今天和債券到期日之間，標(biāo)準(zhǔn)偏差開始是增加的，然后減少。在為債券的歐式期權(quán)進(jìn)行估值時，所使用的波動率測試為：期權(quán)到期時債券價格對數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差一般來說，隨著期權(quán)有效期限的增加，減少。當(dāng)期權(quán)有效期限保持固定時，它是債券有效期限的一個函數(shù)。（五）收益率的波動率債券期權(quán)報價所對應(yīng)的波動率常常是收益率波動率度量而不是價格波動率度量。市場運(yùn)用久期概念將報價的收益率波動率轉(zhuǎn)換為價格波動率。假設(shè)D是期權(quán)的標(biāo)的遠(yuǎn)期債券的經(jīng)調(diào)整的久期。在期權(quán)到期時，債券價格B與其收益y之間

23、的關(guān)系是：即 B-Dy BBy -DyBy這說明在Black模型中使用的波動率測度與的收益率波動率測度y之間有近似的相關(guān)關(guān)系，公式如下：=Dyy （14.6） 當(dāng)債券期權(quán)報價給出收益率波動率時，隱含的假設(shè)常常是，可以使用方程式（14.6）將該波動率轉(zhuǎn)換為價格波動率，然后將它與方程式（14.1）或（14.2）聯(lián)立起來，得到一個價格。第三節(jié) 利率上限和利率下限一、利率上限金融機(jī)構(gòu)在場外市場提供的流行的利率期權(quán)是利率上限（Interest Rate Caps）。設(shè)計利率上限是為了提供某種保險，保證浮動利率借款的利息率不超過某一確定的利率水平。這個利率水平被稱為上限利率（Caps Rate）。當(dāng)貸款的

24、利率上限與貸款本身都是由同一家金融機(jī)構(gòu)提供時，利率上限所包含期權(quán)的成本常常被合并在應(yīng)支付的利率內(nèi)。當(dāng)它們由不同的金融機(jī)構(gòu)提供時，為獲得利率上限，可能會要求事先支付一筆承諾費(fèi)。（一）作為利率期權(quán)的某種組合的利率上限利率上限確保在任何給定時刻所支付的借款利率是市場當(dāng)前利率與上限利率中的較小者。假如一個本金為1,000萬美元的貸款利率每3個月按3個月期LIBOR重新設(shè)定一次，而一家金融機(jī)構(gòu)提供了一項年利率10的利率上限（由于是每季支付一次利息，這個上限利率也是按季度計復(fù)利來表示的）。為了履行利率上限協(xié)議規(guī)定的義務(wù)，該金融機(jī)構(gòu)在每個季末必須向那個借款人支付（以百萬美元為單位）：0.25×10

25、×max（R-0.1，0）其中R是每季度開始時的3個月期LIBOR利率（按季度計復(fù)利來表示）。例如，當(dāng)每個季度開始時的3個月期LIBOR利率是年率11時，金融機(jī)構(gòu)在季末必須支付0.25×10,000,000×0.0125,000。當(dāng)LIBOR利率是年率9時，金融機(jī)構(gòu)不必做任何支付。表達(dá)式max（R-0.1，0）是基于R的看漲期權(quán)所得的收益。因此可把利率上限看成是一個基于R的看漲期權(quán)的組合，其收益是在期權(quán)發(fā)生后3個月才獲得。包含在利率上限中的單獨(dú)期權(quán)有時稱之為利率期權(quán)元（Caplets）。一般而言，若利率上限為RX，本金為L，從利率上限有效期開始在,2, ,n時刻支

26、付利息，則利率上限的出售方在(k+1)時刻須支付的金額為：Lmax(Rk-RX,0) （14.7） 其中Rk是k時刻被限定的利率的價值。這是一個在k時刻觀察到的基于利率的看漲期權(quán)，其收益在(k+1)時刻出現(xiàn)。通常是這樣構(gòu)造利率上限，使得時刻沒有任何基于零時刻利率的收益。因此，在2, ,n時刻利率上限具有潛在的收益。（二）作為債券期權(quán)的某種組合的利率上限利率上限也可以看作是一個基于貼現(xiàn)債券的看跌期權(quán)組合，這些看跌期權(quán)的收益出現(xiàn)在計算它們的那個時刻。在(k+1)時刻方程式（14.7）中的收益等于k時刻的： Lmax(Rk-RX,0) 1+Rk經(jīng)過代數(shù)變換它化簡為： L(1+RX)maxL-,0 1

27、+Rk（14.8） 表達(dá)式L(1+RX)是一個在(k+1)時刻收益為L(1+RX)的貼現(xiàn)債券在k的基于在1+Rk(k+1)時刻到期的貼現(xiàn)債券的看跌期權(quán)的收益，該貼現(xiàn)債券的面值為L(1+RX)，看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為L。這就證明了利率上限是一個基于貼現(xiàn)債券的歐式看跌期權(quán)組合的觀點(diǎn)。二、利率下限和利率雙限利率下限和利率雙限（有時叫作地板頂板協(xié)議，F(xiàn)loor-Ceiling Agreement）的定義與利率上限相似。利率下限（Floor）對要支付的利率設(shè)置了一個下限，利率雙限（Collars）對要支付的利率既規(guī)定了上限又規(guī)定了下限。類似于利率上限的討論，我們可以將一個利率下限看成是一個基于利率的看跌期

28、權(quán)的組合或是一個基于貼現(xiàn)債券的看漲期權(quán)的組合。它可以用類似于利率上限的方法進(jìn)行估值。利率下限的出售方通常是浮動利率資金的借款方。一個利率雙限是由一個利率上限的多頭和一個利率下限的空頭組合而成的。在構(gòu)造利率雙限時，通常使得利率上限的價格等于利率下限的價格，于是利率雙限的凈成本為零。在利率上限價格和利率下限價格之間存在著類似看漲期權(quán)看跌期權(quán)平價關(guān)系，即 利率上限價格=利率下限價格+互換價格在這個關(guān)系中，利率上限和利率下限具有同樣的執(zhí)行價格RX?；Q是這樣一個協(xié)議，即收取浮動利率并支付RX的固定利率，但在第一個重新設(shè)定利率日并不交換利息。所有三個金融工具具有同樣的有效期，同樣的支付頻率。注意到利率上

29、限多頭與利率下限空頭組合給出了與互換相等的現(xiàn)金流，很容易看到這個結(jié)果是成立的。三、利率上限和利率下限的估值正如（14.7）式所示，對應(yīng)于k時刻所觀察到的利率期權(quán)元給出了(k+1)時刻的收益為Lmax(Rk-RX,0)如果假設(shè)Rk服從對數(shù)正態(tài)分布，其波動率測度是k，方程式（14.3）給出了這個利率期權(quán)元的值為其中LeFkN(d1)-RXN(d2) -r*（14.9） d1=22d2=d1-Fk為在k與(k+1)時刻之間那個期間的遠(yuǎn)期利率。從（14.4）式得到對應(yīng)的利率下限估值的表達(dá)式為：Le-r(k+1)RXN(d2)-FkN(d1)*（14.10） 在這些方程中，r是到期日為(k+1)的按連續(xù)

30、復(fù)利計息的零收益率曲線利率。RX和Fk都是按的頻率計復(fù)利來表示的。例14.2考慮一個貸款金額為10,000，一年后開始的，把上限利率限定在年度8（每季計復(fù)利一次）的3個月期貸款合約。這是一個利率期權(quán)元，可以作為利率上限的一個組成部分。假設(shè)一年后開始的3個月期遠(yuǎn)期利率是年率7（每季計復(fù)利一次）；現(xiàn)在的15個月期利率為年率6.5（每季計復(fù)利一次）；而且利率期權(quán)元所依附的3個月期利率的波動率度量為20。在（14.9）式中，F(xiàn)k=0.07，0.25，L1,000，RX0.08，r0.065，0.20，*k1.0。由于d1=ln0.875+0.02=-0.5677 0.20d2=d1-0.20=-0.7

31、677所以利率期權(quán)元的價格是：0.2510,000e-0.0651.250.07N(-0.5677)-0.08N(-0.7677)=5.19即5.19。每個利率期權(quán)元必須使用方程式（14.9）分別進(jìn)行估值。對于方程中的波動率，一種方法是對每個利率期權(quán)元使用不同的波動率測度。于是這些波動率測度稱之為遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動率（Forward Forward volatility）。另一種方法是對所有的組成任何特定利率上限的利率期權(quán)元都使用相同的波動率，但按利率上限有效期限的不同來改變這個波動率。于是，所使用的這些波動率稱之為單一波動率（Flat volatility）。經(jīng)紀(jì)人所報出的波動率通常是單一波動率

32、。然而，許多交易員喜歡使用遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動率，因為這可使得他們識別低估或高估了的利率期權(quán)元。歐洲美元期貨期權(quán)非常類似于利率期權(quán)元，人們經(jīng)常將基于3個月期LIBOR的利率期權(quán)元所隱含的遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動率與從歐洲美元期貨價格中計算的波動率進(jìn)行比較。第四節(jié) 互換期權(quán)一、歐式互換期權(quán)（一）概念互換的期權(quán)或互換期權(quán)（Swaptions）是基于利率互換的期權(quán)，它是另一種越來越流行的利率期權(quán)。它給予持有者一個在未來某個確定時間進(jìn)行某個確定的利率互換的權(quán)利（當(dāng)然持有者并不是必須執(zhí)行這個權(quán)利）。許多向其公司客戶提供利率互換合約的大型金融機(jī)構(gòu)也會向其客戶出售或購買互換期權(quán)。我們舉個例子來說明互換期權(quán)是如何使用的，某公

33、司在6個月后要簽署一個5年期浮動利率貸款協(xié)議，每6個月重新設(shè)定一次利率，它希望將浮動利息支付方式換成固定利息支付方式以使該貸款轉(zhuǎn)化為固定利率貸款。支付一定的代價后，該公司可以獲得一項互換期權(quán)，即：對6個月后開始的5年期貸款，該公司具有收取6個月期LIBOR浮動利息和支付某個確定的固定利息（比如年率12）的權(quán)利。如果6個月后發(fā)現(xiàn)常規(guī)的5年期的固定利率小于年率12，則公司將不執(zhí)行互換期權(quán)而選擇按通常的方式簽署一項互換協(xié)議。然而，如果以上的固定利率大于年率12，公司將選擇執(zhí)行互換期權(quán)，并以比市場上獲得互換更有利的條件取得一項互換。當(dāng)互換期權(quán)以剛才所描述的方式使用時，互換期權(quán)為公司提供了擔(dān)保，即保證在

34、某個未來時間內(nèi)公司為某個貸款所支付的固定利率將不會超過某個水平?；Q期權(quán)是不同于遠(yuǎn)期互換（有時叫做延遲互換，Deferred Swaps）的另一種方法。遠(yuǎn)期互換不必事先支付成本，但不利之處在于公司要承擔(dān)簽署某個互換協(xié)議的義務(wù)。而互換期權(quán)可使公司在利率向有利方向變動時獲益而在利率向不利方向變動時受到保護(hù)?；Q期權(quán)與遠(yuǎn)期互換之間的區(qū)別類似于外匯期權(quán)和外匯遠(yuǎn)期合約之間的區(qū)別。（二）互換期權(quán)與債券期權(quán)的關(guān)系利率互換可看作是把固定利率債券換成浮動利率債券的協(xié)議。在互換的開始，浮動利率債券的價值總是等于互換的本金的金額。因此，一個互換期權(quán)可以看作是一個把固定利率債券換成互換的本金的期權(quán)。如果一個互換權(quán)給予

35、它的持有者支付固定利息和收取浮動利息的權(quán)利，它就是一個執(zhí)行價格等于本金的基于固定利率債券的看跌期權(quán)。如果一個互換期權(quán)給予它的持有者支付浮動利息和收取固定利息的權(quán)利，它就是一個執(zhí)行價格等于本金的基于固定利率債券的看漲期權(quán)。（三）歐式互換期權(quán)的估值在為歐式互換期權(quán)估值時，通常假設(shè)期權(quán)到期日的互換率是對數(shù)正態(tài)分布的?？紤]如下互換期權(quán)，有一個利率互換在T年后開始，持續(xù)n年，我們具有對這個互換支付固定利率RX，收取浮動利率的權(quán)利，我們假設(shè)該互換本金為L，每年支付m次。假設(shè)在互換期權(quán)到期日的互換率為R（R和RX都按每年計m次復(fù)利頻率來表示）。將固定利率為R的互換現(xiàn)金流與固定利率為RX的互換現(xiàn)金流進(jìn)行比較，

36、我們看到該互換的收益由一系列的現(xiàn)金流組成，這些現(xiàn)金流等于： Lmax(R-RX,0) m在互換有效期限的n年內(nèi)每年接收m次現(xiàn)金流，即他們交換現(xiàn)金流的時刻為T+1/m,T+2/m, T+mn/m，從今天開始，單位是年。每個現(xiàn)金流是執(zhí)行價格為RX的基于R的看漲期權(quán)的收益。假設(shè)ti=T+i/m。運(yùn)用方程式（14.3），在ti時刻收到的現(xiàn)金流的價值是：其中L-ritieFN(d1)-RXN(d2) m2d1=2d2=d1-F是遠(yuǎn)期互換率，ri是有效期限為ti的按連續(xù)復(fù)利計息的零息票利率。該互換期權(quán)的總價值為ei-1mn-ritiFN(d1)-RXN(d2)定義A為在ti時刻（1imn）支付1的合約的價

37、值，則互換期權(quán)的價值為其中 LAFN(d1)-RXN(d2) m（14.11）A=e-ritii-1mn如果互換期權(quán)給持有者收取RX固定利率而不是支付RX的利率的話，該互換期權(quán)的收益為 Lmax(RX-R,0) m這是一個基于R的看跌期權(quán)。與前面一樣，在ti時刻（1imn）得到收益。方程式（14.4）給出互換期權(quán)的價值為：例14.3假設(shè)LIBOR收益率曲線是平坦的，年率6，按連續(xù)復(fù)利計息?？紤]如下互換期權(quán)，持有者具有在5年后開始為3年期互換支付6.2的權(quán)利。該互換的波動率測度是20。每半年支付一次，本金為100。在這種情況下 LARXN(-d2)-FN(-d1) m（14.12）A=e-0.0

38、65.5+e-0.066+e-0.066.5+e-0.067+e-0.067.5+e-0.068=4.0071年率為6的連續(xù)復(fù)利利率轉(zhuǎn)換為按半年計復(fù)利的結(jié)果是6.09。在這個例子中，F(xiàn)=0.0609，X=0.062，T=5，=0.20，所以2d1=0.1836d2=d1-=-0.2636從方程式（14.11）可得互換期權(quán)的價值為1004.00710.0609N(0.1836)-0.062N(-0.2636)=2.07 2即2.07。二、條件累計互換Black模型的擴(kuò)展表達(dá)式可用于條件累計互換（Accrual Swaps）的估值。在這種互換中，只有當(dāng)浮動參照利率處于某個確定范圍時，互換一方收取的

39、利息才可以累計。有時在互換整個有效期內(nèi)這個范圍保持不變，有時這個范圍定期需要重新設(shè)定。以下是一個條件累計互換的簡單例子?？紤]如下一筆交易，每個季度將固定利率Q交換為3個月期LIBOR。我們假設(shè)僅只有當(dāng)3個月期LIBOR低于年率8時，才可以累加固定利息。假設(shè)本金為L。在一個正常的互換中，這個支付的量變?yōu)镼Ln1/n2，其中n1是在前面設(shè)定期限內(nèi)3個月期LOBOR低于8的營業(yè)日數(shù)，n2是一年中的總營業(yè)日數(shù)。在固定利率高于8的那些日子里，固定利率支付方每天節(jié)省QLn2。可以認(rèn)為固定利率支付方的頭寸狀態(tài)等價于一個正?；Q加上一系列的兩值期權(quán)，在互換的有效期限內(nèi)每天都有一個兩值期權(quán)。當(dāng)3個月期LIBOR

40、高于8時，兩值期權(quán)收益為QLn2。一般來說，我們假設(shè)LIBOR截止利率（Cutoff Rate，在以上情況下是8）是RX，所支付的量每年交換一次?？紤]互換有效期內(nèi)的第i天，假設(shè)在第i天的遠(yuǎn)期LIBOR是Fi，其波動率測度是i。LOBOR小于RX的風(fēng)險中性概率是N(d2)，其中d2=2ti是用年表示的直到第i天的時間。兩值期權(quán)的收益只是在第i天之后的那個互換支付日才可以實(shí)現(xiàn)。我們假設(shè)這個時刻是si。如果ri有效期限為si的零息票利率，對應(yīng)第i天的兩值期權(quán)的價值為 QL-risiN(d2) en2將這個表達(dá)式對互換有效期限內(nèi)的每一天進(jìn)行求和，可得兩值期權(quán)的總價值。三、利差期權(quán)利差期權(quán)（Spread

41、 Option）是收益依附于兩個利率之差的金融工具。這兩個利率有時都從同樣的收益率曲線計算而得（例如，利差為3個月期LIBOR減去5年期互換率），在有些情況下，它們來自不同的收益率曲線（例如利差為3個月期LIBOR利率減去3個月期短期國庫券利率）。當(dāng)利差總是為正值時，我們假設(shè)在期權(quán)到期日利差是對數(shù)正態(tài)分布，有時這個假設(shè)是合理的?？梢允褂肂lack模型。方程式（14.1）和（14.2）中，F(xiàn)等于利差的遠(yuǎn)期價值，等于利差對數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)利差可能為正值也可能為負(fù)值時，一種方法是假設(shè)利差是遠(yuǎn)期價值居中的正態(tài)分布。另一種方法是假設(shè)計算利差所用兩個利率的每一個是對數(shù)正態(tài)分布，在它們之間有一種相關(guān)性。在

42、這種情況下，每個利率的期望值是其遠(yuǎn)期利率（適當(dāng)?shù)亟?jīng)過凸性調(diào)整），對每個利率假設(shè)不同的波動率測度。該期權(quán)的價值就是這些預(yù)期收益的貼現(xiàn)值。運(yùn)用三維樹圖方法（Three-Dimensional Trees）或蒙特卡羅模擬方法或其它工具，可以計算這個值。第五節(jié) 凸性調(diào)整一、為什么要進(jìn)行凸性調(diào)整遠(yuǎn)期利率等于對應(yīng)遠(yuǎn)期債券的收益率，例如，在第三年和第四年之間的遠(yuǎn)期利率是從第三年到第四年的零息票債券的遠(yuǎn)期價格中計算出來的。前面我們提到，當(dāng)利用Black模型為利率衍生證券估值時，可以設(shè)定在風(fēng)險中性世界中債券的期望價格等于其遠(yuǎn)期價格，然后假設(shè)貼現(xiàn)時的利率為常數(shù)。不過設(shè)定利率等于風(fēng)險中性世界中的遠(yuǎn)期利率并不總是正確

43、的，因為債券價格和債券收益率之間的關(guān)系是非線性的。如果期限從第三年到第四年的零息票債券的遠(yuǎn)期價格為90，為了使用Black模型，我們要假設(shè)這個值是期望價格。從第三年到第四年的的遠(yuǎn)期利率為年復(fù)利11.11。這并不是期望債券收益率（即它不是三年后期望的一年期利率）。期望利率超過遠(yuǎn)期利率的這個量就是所謂的凸性調(diào)整（Convexity Adjustment）。圖14.1表示了凸性調(diào)整是如何產(chǎn)生的，該圖給出了債券價格和債券收益率之間的關(guān)系。為簡單起見，我們假設(shè)只有三個可能的債券價格，B1、B2和B3，出現(xiàn)的可能性相同。它們是等間距的，即B2B1B3B2。這些債券價格轉(zhuǎn)換成等概率的收益率：Y1、Y2和Y3

44、。后面收益率不是等間距的。變量Y2是遠(yuǎn)期債券收益率因為它是遠(yuǎn)期債券價格給出的收益率。期望債券收益率是Y1、Y2和Y3的平均值，顯然大于Y2。Y2和該期望債券收益率之間的差值就是凸性調(diào)整。債券價格B3B2B1Y3 Y2 Y1圖 14.1 凸性調(diào)整二、什么時候需要凸性調(diào)整通常是按如下方式構(gòu)造利率衍生證券的，使得觀測到利率的時刻與對應(yīng)支付發(fā)生時刻有一個時間差距。例如，典型的“大眾型”利率互換6個月期的LIBOR與固定利率之間的交換是這樣設(shè)計的，使得觀測到LIBOR的時刻與對應(yīng)支付發(fā)生時刻之間有六個月的時滯。再如一個針對3個月期利率的利率上限，它通常是這樣構(gòu)造的，利率在某個時點(diǎn)觀測到，而對應(yīng)的收益發(fā)生

45、在三個月后。一般來說，當(dāng)某個衍生證券的收益依附于期利率時，通常出現(xiàn)一個時期的滯后，這個是觀測到利率時刻與對應(yīng)支付發(fā)生時刻之間的期限。我們將這個滯后稱為正常時間滯后（Natural Time Lag）。當(dāng)所構(gòu)造的某個利率衍生證券出現(xiàn)了一個正常時間滯后時，通常未必需要進(jìn)行凸性調(diào)整。這個一般規(guī)則適用于我們通常遇到的大多數(shù)的利率衍生證券。為了理解這個規(guī)則為什么會如此，我們假設(shè)R是在T時刻觀測到的期利率，在世界是處于確定的狀態(tài)下，考慮一個在T+時刻收取100R的現(xiàn)金流，它等價于T時刻的如下現(xiàn)金流：100R1=100(1-) 1+R1+R由于1/1+R是貼現(xiàn)債券的價格，使用Black模型時，可以假設(shè)在風(fēng)險

46、中性世界中它的預(yù)期值是遠(yuǎn)期債券價格。假設(shè)F是T時刻與T+時刻之間期限的遠(yuǎn)期利率。將它定義為從遠(yuǎn)期債券價格所計算的收益率，遠(yuǎn)期債券價格為：1=1 E1+R1+F表示風(fēng)險中性世界中所考慮的預(yù)期值。它是： 其中E1=100(1-1)=100F E1+R1+R1+F這說明如果我們按F比例從T+貼現(xiàn)到T時刻，我們可以設(shè)定R的概率分布均值等于F。這個分析說明為什么諸如利率上限、“大眾型”利率互換，以及FRAs這些出現(xiàn)正常時間滯后的金融工具可以通過假設(shè)期望的未來利率等于遠(yuǎn)期利率來估值。對其它金融工具，按照它們收益的定義方式，正常時間滯后沒有出現(xiàn)在其中，應(yīng)該假設(shè)期望未來利率等于遠(yuǎn)期利率加上凸性調(diào)整。例14.4

47、考慮如下衍生證券，收益等于三年后的一年期零息票債券利率乘以100。如果收益是在四年末取得，該衍生證券包含了正常時間滯后，該衍生證券的價值為：*100Fe-4r *其中r是四年期無風(fēng)險利率，F(xiàn)是在第三年末和第四年末之間那個期限的遠(yuǎn)期利率。如果收益是在第三年末取得，該衍生證券并沒有包含正常時間滯后，該衍生證券的價值為：100(F+c)e-3r其中r是三年期無風(fēng)險利率，c是凸性調(diào)整。三、凸性調(diào)整的計算我們現(xiàn)在給出一種計算凸性調(diào)整的方法。假設(shè)現(xiàn)在是零時刻，某個衍生證券的收益發(fā)生在T時刻。假設(shè)該收益依賴于在T時刻所觀測到的債券收益率。進(jìn)一步假設(shè)這個債券收益率是波動率測度為的對數(shù)正態(tài)分布。對某個到期日為T

48、的遠(yuǎn)期合約，定義F為遠(yuǎn)期債券收益率，P(y)為該債券的價格，是其收益率y的函數(shù)。Brotherton-Ratcliffe和B. Iben證明了由F構(gòu)成的凸性調(diào)整解析近似解是： P''(F)-0.5FT P'(F)22（14.13） 其中P'(F)和P''(F)分別是P對y的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。這意味著我們應(yīng)該假設(shè)在風(fēng)險中性世界中的期望利率是而不是F。例14.5 F-0.5F22TP''(F) 'P(F)考慮如下金融工具，收益等于三年后那時的一年期零息票利率（按年計復(fù)利）乘以100。假設(shè)對所有期限的零息票利率都是年率10（按年

49、計復(fù)利），在三年后的一年期利率的波動率測度是20。在這種情況下，收益取決于某個零息票債券的收益： P(y)=1 1+y1 2(1+y) P'(y)=-P''(y)=2 (1+y)3遠(yuǎn)期利率F是0.1，所以P'(F)=0.8264和P''(F)=1.5026。從方程式（14.13）得到凸性調(diào)整： 0.50.120.2231.5026=0.00109 0.8264即10.9個基點(diǎn)。在為該金融工具估值時，我們應(yīng)該假設(shè)遠(yuǎn)期利率為0.10109（10.109）而不是0.1。利用風(fēng)險中性估值，該金融工具的價值為即7.60。 1000.10109=7.60 3

50、1.1四、收益依附于互換率的衍生證券直到現(xiàn)在我們一直假設(shè)利率衍生證券依附于零息票利率，在某些情況下，標(biāo)的利率是某個互換率?；Q率是給出多次支付所設(shè)定的某個利率，在基本的互換中，每個支付日支付一次。如果構(gòu)造某個衍生證券使得其收益與這種模式一一對應(yīng)，當(dāng)利用Black模型時，設(shè)定期望互換率等于在風(fēng)險中性世界中的遠(yuǎn)期互換率是合理的。這是一個正確的方法，因為可以認(rèn)為互換期權(quán)提供了多個收益，在每個互換支付日提供一次。如果某個衍生證券依附于互換率但其收益并不與某個互換支付模式相對應(yīng)，有必要對遠(yuǎn)期互換率進(jìn)行凸性調(diào)整。可以證明：如果某個衍生證券的收益在T時刻發(fā)生，并依附于在T時刻觀測到的某個互換率，方程式（14

51、.13）給出了凸性調(diào)整的量，但各個變量的定義需作如下調(diào)整F：遠(yuǎn)期互換率。P（y）：債券在T時刻的價格，是其收益y的函數(shù)。在互換的有效期內(nèi)，債券的息票等于遠(yuǎn)期互換率。：在T時刻互換率的波動率測度。例14.6考慮如下金融工具，三年后收益等于那時的三年期互換率乘以100。假設(shè)該互換每年支付一次，對所有期限的零息票利率都是年率12（按年計復(fù)利），在三年后的三年期互換率的波動率測度是22。在這種情況下： P(y)=FF1+F+ 1+y(1+y)2(1+y)3F2F1+F-3 234(1+y)(1+y)(1+y) P'(y)=-P''(y)=2F6F12(1+F)+ (1+y)3(

52、1+y)4(1+y)5遠(yuǎn)期互換率F是0.12，所以P'(F)=-2.4018和P''(F)=8.2546。從方程式（14.13）得到凸性調(diào)整： 0.50.1220.22238.2546=0.0036 2.4018即36個基點(diǎn)。在為該金融工具估值時，我們應(yīng)該假設(shè)遠(yuǎn)期互換率為0.1236（12.36）而不是0.12。利用風(fēng)險中性估值，該金融工具的價值為：即8.80。 1000.1236=8.80 31.12五、固定期限的互換有必要進(jìn)行凸性調(diào)整的一個實(shí)際例子是固定期限的互換（Constant-Maturity Swaps）。在這個互換中，在每個支付日，某個互換率與某個固定利率

53、相互交換。例如，某個互換持續(xù)10年，本金為100，每半年支付一次。在每個支付日，其中一方支付8的固定利率，其本金為100。另一方支付當(dāng)前5年期互換率，本金為100。我們知道通過假設(shè)遠(yuǎn)期利率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了可以為“大眾型”利率互換進(jìn)行估值。從我們剛才進(jìn)行的分析可以清楚看到，類似的結(jié)論并不適用于固定期限的互換。固定期限互換的正確估值方法是假設(shè)經(jīng)凸性調(diào)整的遠(yuǎn)期互換率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。這意味著我們首先應(yīng)計算每個支付日的遠(yuǎn)期互換率。對每個遠(yuǎn)期互換率應(yīng)用以上所討論的凸性調(diào)整方法，并假設(shè)這些經(jīng)調(diào)整的遠(yuǎn)期互換率已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了。本章小結(jié)1. 利率期權(quán)的形式多種多樣。在交易所中，長期國債期貨期權(quán)、中期國債期貨期權(quán)，以及歐洲美元期

54、貨期權(quán)的交易活躍。由金融機(jī)構(gòu)所提供的貸款和存款工具也常常包含隱含的期權(quán)。抵押擔(dān)保證券包含了嵌入利率期權(quán)，表示抵押基金的貸款人答應(yīng)借款人提前支付的選擇權(quán)。在OTC市場，諸如利率上限和互換期權(quán)這些利率衍生工具的交易也很活躍。2. Black模型是流行的為歐式利率期權(quán)進(jìn)行估值的方法。Black模型的核心是假設(shè)期權(quán)中標(biāo)的變量的價值在期權(quán)到期時是對數(shù)正態(tài)分布的。在歐式債券期權(quán)情況下，Black模型假設(shè)標(biāo)的債券的價格在期權(quán)的到期日是對數(shù)正態(tài)分布。對利率上限，Black模型假設(shè)組成利率上限的每個利率期權(quán)元的標(biāo)的利率是對數(shù)正態(tài)分布的。在互換期權(quán)的情況下，Black模型假設(shè)標(biāo)的互換率是對數(shù)正態(tài)分布的。3. 擴(kuò)展的Black模型可用于條件累計互換和利差互換的估值。條件累計互換是這樣一種互換，僅當(dāng)浮動參照利率出現(xiàn)在某一個范圍之內(nèi)時，互換一方的利息才可以累計。利差互換是這樣一種期權(quán)，收益依附于兩個利率之間的利差。4. 使用Black模型時，通?？梢约僭O(shè)風(fēng)險中性世界中對數(shù)正態(tài)分布標(biāo)的變量的期望值等于其遠(yuǎn)期值。但當(dāng)衍生證券的收益沒有反映貸款或存款正常支付利率的方式時不能這樣假設(shè)。因此有必要