高考數(shù)學(xué) 不等式習(xí)題精選精講

1、不等式易錯(cuò)題練習(xí)1、不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方：若，則或；（4）若，則；若，則.如（1）（2）已知，則的取值范圍是_（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是_（答：）2. 不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理

2、化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法 ；（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）設(shè)，比較的大小答：當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號(hào)）；（2）設(shè)，試比較的大?。ù穑海唬?）比較與的大小.答：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，3. 利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；（2）若，則的最小值是_（答：）；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)（答：）；4.常用不等式有：（1） (根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用

3、) ；（2），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問(wèn)題）。如：如果正數(shù)滿足，則的取值范圍是_（答：）5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有： 如（1）已知，求證： ；（2） 已知，求證：；（3）已知，且，求證：；（4）若是不全相等的正數(shù)，求證：（5）若，求證：；（7）已知，求證：；（8）求證：。6.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從

4、最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：）；（2）不等式的解集是_（答：）；（3）設(shè)函數(shù)的定義域都是，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_(kāi)（答：；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式和中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.（答：）7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不

5、等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)（答：）.8.絕對(duì)值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用絕對(duì)值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)。（答：）9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 如（1）若，則的取值范圍是_（答：或）；（2）解不等式（答：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有

6、集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)（答：（1,2）10.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：同號(hào)；異號(hào).如設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證： 11.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問(wèn)題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_（答：）；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若

7、不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_（答：）；（4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）；（5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）2). 能成立問(wèn)題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）3). 恰成立問(wèn)題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價(jià)于不等式的解集為.例題選講：例題1已知二次函數(shù)滿足，求的取值范圍。錯(cuò)解：， 又正解：設(shè)，則有，即 又， ， 剖析：在多次應(yīng)用不等式樣性質(zhì)的時(shí)候，

8、若等號(hào)不能同時(shí)成立時(shí)，會(huì)使所求范圍擴(kuò)大，因此在解不等式范圍的題時(shí)務(wù)必要檢查等號(hào)能否成立。例題2、已知，求的最大值。錯(cuò)解：，即的最大值為。正解1：因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為。正解2：（用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解），令，得或又，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最大值為。剖析：在應(yīng)用均值不等式解題時(shí)，忽視了均值不等式中等號(hào)成立的條件：“一正、二定、三相等”中的第三個(gè)條件，因?yàn)闊o(wú)論在中取何值，等式都不成立。例題3、已知且，關(guān)于的不等式的解集是，解關(guān)于的不等式的解集。錯(cuò)解： 正解：因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以，故或 原不等式的解集是。剖析：其一、忽視了所給條件的應(yīng)用和對(duì)數(shù)的真數(shù)大于，其二、忽視了分式不等式正確解法。例題4

9、、已知：、都是正數(shù)，且，求的最小值。錯(cuò)解：、都是正數(shù)， ，即的最小值為4。正解：、都是正數(shù)，且， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。剖析：中等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)，而中等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)。這與矛盾，因此解題中忽視了條件，從而造成錯(cuò)誤。例題5解不等式. 錯(cuò)解一：原不等式可化為， 解得x2原不等式的解集是x|x2. 錯(cuò)解二：在不等式f(x)·0中，按f(x)的取值情況分類，有，或 當(dāng)x 1 > 0，即x > 1時(shí)，原不等式等價(jià)于x2 x 2 0，解得x 2； 當(dāng)x 1 = 0，即x = 1時(shí)，顯然無(wú)意義，其解集為 綜上所述，原不等式的解集為x|x 2錯(cuò)因：錯(cuò)解一中，當(dāng)x = -

10、 1時(shí)，原不等式也成立，漏掉了x = - 1這個(gè)解原因是忽略了不等式中“”具有相等與不相等的雙重性事實(shí)上，不等式f(x)·0與或g(x) = 0同解.錯(cuò)解二中分類不全，有遺漏，應(yīng)補(bǔ)充第三種情況即當(dāng)x l < 0，且x2 x 2 = 0時(shí)也合乎條件，即補(bǔ)上x(chóng) = - 1故原不等式的解集為x|x2，或x = - 1分析一：符號(hào)“”是由符號(hào)“>”“ = ”合成的，故不等式f(x)· 0可轉(zhuǎn)化為f(x)· > 0或f(x)· = 0正解一：原不等式可化為(I)(x-1)> 0，或()(x - 1) = O(I)中,由得x > 2；

11、()中，由x2 x 2 = 0，或x 1 = O，且x2 x - 2有意義，得x = 1，或x = 2 原不等式的解集為x|2，或x = - 1分析二：在不等式f(x)·0中，按g(x)的取值情況分類，有兩種情況：(1)g(x) > 0時(shí),等式等價(jià)于(2)g(x) = 0時(shí)'只須f(x)有意義即可.正解二：分兩種情況討論(1)當(dāng)x2 x 2 > 0，即x > 2，或x < - 1時(shí)，原不等式等價(jià)于解得x > 2(2)當(dāng)x2 x 2 = 0，即x = 2，或x = - 1時(shí)，顯然有意義，是原不等式的解 綜上所述原不等式的解集是x|x2，或x = -

12、 1例題6設(shè)函數(shù)，其中，解不等式錯(cuò)解：不等式f(x)1，1 + ax兩邊平方，得x2 + 1(1 + ax)2 ,即x·(a2 - 1)x + 2a0a > 0，當(dāng)a > 1時(shí)，x 0，或x -； 當(dāng)0 < a < 1時(shí)，0 x 錯(cuò)因：未能從已知條件中挖掘出隱含條件：“1 + ax 1”，即“ax0”，進(jìn)而由a > 0可得x0 正解：不等式f(x)1，即1 + ax 由此得11 + ax，即axO，其中a > 0原不等式等價(jià)于不等式組即當(dāng)0 < a <1時(shí)，原不等式的解集為x|0x;當(dāng)a1時(shí),原不等式的解集為x|xO小結(jié)：解不等式常見(jiàn)的

13、思維誤區(qū)有：（1）概念模糊。變形不同解.常見(jiàn)于解分式不等式、對(duì)數(shù)不等式、無(wú)理不等式、指數(shù)不等式、含絕對(duì)值不等式、含排列數(shù)或組合數(shù)的不等式等等.（2）以偏概全，未分類或分類不全，對(duì)某些含有參數(shù)的不等式，未進(jìn)行分類討論，片面認(rèn)為是某種情況.如例題6.（3）忽視隱含條件，信息不能被全部挖掘出來(lái).如例題7.例題7不等式證明的錯(cuò)解的成因及分析策略 不等式的證明方法有很多,如:基本不等式法、比較法、綜合法、分析法、反證法、判別 式法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、導(dǎo)數(shù)法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、數(shù)形結(jié)合法等等.不等式的證明過(guò)程,是常規(guī)的證明方法及構(gòu)造性思維在新的領(lǐng)域中的移植和運(yùn)用,以及局部

14、的創(chuàng)新.但在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中我們發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)于不等式證明上存在著一定的思維障礙,并仍有不少學(xué)生沉醉于“題海戰(zhàn)術(shù)”之中,阻礙著創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.一、用新教材中新增知識(shí)點(diǎn)證明不等式這一思考方法很不適應(yīng)例1忽視向量不等式等號(hào)成立條件,造成范圍失真向量不等式等號(hào)成立的條件為,當(dāng)向量且與方向相同時(shí)“+”不等式取等號(hào); 當(dāng)向量且與方向相反時(shí)“-”不等式取等號(hào).例2 .錯(cuò)解 設(shè) ,由得 . .成因分析 向量不等式等號(hào)成立的條件是 ,且向量與方向相反,而當(dāng)時(shí),得,此時(shí)方向相同,故等號(hào)不成立,使不等式范圍縮小了.正解 設(shè) ,由 ,得 . 當(dāng)即時(shí),方向相同,故等號(hào)成立.評(píng)述 向量作為新教材中的另一個(gè)新增知識(shí)點(diǎn),

15、利用數(shù)量積不等式與和差不等式證明不等式,有著其它方法所不能比擬的優(yōu)越性,在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)推廣及應(yīng)用.二、忽視題設(shè)條件或隱含條件有些題設(shè)條件看似平淡,但在解題中就會(huì)顯示出其隱蔽性,學(xué)生往往由于忽視了隱含條件,或?qū)﹄[含條件的挖掘只浮于表面,而未能展示其真正的面目,從而在解題過(guò)程中誤入陷阱.例4 設(shè),為偶數(shù),證明 .錯(cuò)解 .為偶數(shù), ,又與同號(hào) , ,故 .成因分析 實(shí)際上,為偶數(shù)時(shí), 與不一定同號(hào),這里忽略了題設(shè)條件,在沒(méi)有明確字母的具體值情況下,要考慮分類討論,即需分和有一個(gè)負(fù)值的兩種情況加以分類討論.正解 .當(dāng)時(shí), ,0 ,0 ,故 ;當(dāng)有一個(gè)負(fù)值時(shí),不妨設(shè),且,即 .為偶數(shù)時(shí),0 ,且0 ,故

16、 .綜合可知,原不等式成立 .三、分式不等式分母較復(fù)雜時(shí),不能靈活變形而形成思維障礙證明分式不等式需要去分母,去分母的方法有很多,如輪換法、添加分母法、添加分式法、添加和積式法等等,在添加代數(shù)式時(shí)需考慮均值不等式等號(hào)成立條件,并最終利用均值不等式去掉分式或部分分母,但學(xué)生對(duì)于這一靈活的變形常常無(wú)法領(lǐng)悟,覺(jué)得在解題時(shí)處處均可下手,但又無(wú)從下手,從而形成分式變形障礙.例5已知,證明 .分析 這是一道技巧性較強(qiáng)的分式不等式證明題,其分子與分母差別太大,學(xué)生往往不能注意其整體聯(lián)系,而想省事處理,想一步到位地消去所有分式,從而進(jìn)入了繁忙的運(yùn)算程序中,最后不得結(jié)果,反而覺(jué)得此題處處都是切入點(diǎn),又處處陷于被

17、動(dòng).實(shí)際上,由 .可添加分式,使得 ,由時(shí),不等式取等號(hào),得 .故可考慮添加分式來(lái)解決問(wèn)題.證明 ; .+(+) .評(píng)述 在證明分式不等式時(shí),要看準(zhǔn)所要消的分式結(jié)構(gòu)特征與整個(gè)式子的完整性,分清是“和”式還是“積”式、含有幾個(gè)字母、各字母的次數(shù),然后應(yīng)用均值不等式等號(hào)成立條件確定待添加式的系數(shù),然后從整體上消去分母.四、忽視一般化與特殊化之間的轉(zhuǎn)化障礙一般化與特殊化的思維方向正好相反,它們相輔相成,是變更問(wèn)題的兩種基本原則.例6 證明 .分析 直接通過(guò)計(jì)算或用對(duì)數(shù)來(lái)比較不等式兩邊的大小,是難以辦到的,也是證明中的障礙體現(xiàn).如注意到,則可技巧性地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下一個(gè)一般化命題:“設(shè)n是大于1的正整數(shù),證明不等式”.而原命題僅是此命題的一個(gè)特殊化的結(jié)論.證明 由 . 令 ,即得 .評(píng)述 某些特殊化的結(jié)論,其中往往蘊(yùn)藏著一般化結(jié)論的線索,而由一般化的結(jié)論得出某些特殊化的結(jié)論是非常自然的.由特殊化聯(lián)想到一般化是此類問(wèn)題解決的一個(gè)突破口,教學(xué)中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,這有助于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想及變通的數(shù)學(xué)直覺(jué)意識(shí)