實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組應(yīng)用題歸納

1、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組題型歸納 知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想 列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系 起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系 . 一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足： (1) 方程兩邊表示的是同類量； (2)同類量的單位要統(tǒng)一； (3)方程兩邊的數(shù)值要相等 . 知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：(1) 追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問(wèn)題比較直觀， 畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差開始時(shí)兩者相距的路程；(2) 相遇問(wèn)題 :相遇問(wèn)題

2、也是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問(wèn)題也比較直 觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3) 航行問(wèn)題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?2×水速。注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行， 解題方法與船順?biāo)叫小?逆水航行問(wèn)題類 似。2工程問(wèn)題： 工作效率×工作時(shí)間 =工作量 .3商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題：(1) 利潤(rùn)售價(jià)成本 (進(jìn)價(jià) )；(2)；(3)利潤(rùn)成本(進(jìn)價(jià))×利潤(rùn)率；標(biāo)價(jià)成本 (進(jìn)價(jià) )×(1利潤(rùn)率 )；(5)實(shí)際售價(jià)標(biāo)價(jià)&#

3、215;打折率； 注意：“商品利潤(rùn)售價(jià)成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按 標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售。 (例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十)4儲(chǔ)蓄問(wèn)題：(1)基本概念 本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。 利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。本息和：本金與利息的和叫做本息和。 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。 利息稅：利息的稅款叫做利息稅。(2) 基本關(guān)系式利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金×(1利率×期數(shù) ) 利息稅利息&

4、#215;利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息× (1利息稅率 ) 年利率月利率× 12 。注意： 免稅利息 =利息5配套問(wèn)題： 解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例 =每一套各部分之間的比例。6增長(zhǎng)率問(wèn)題： 解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量× （1增長(zhǎng)率 ）增長(zhǎng)后的量； 原量× （1減少率 ）減少后的量 .7和差倍分問(wèn)題： 解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量 .8數(shù)字問(wèn)題： 解決這類問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n 為整

5、數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為 2n+1（或 2n-1），偶數(shù)可表示為 2n 等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù) = 十位數(shù)字 10+個(gè)位數(shù)字9濃度問(wèn)題： 溶液質(zhì)量×濃度 =溶質(zhì)質(zhì)量 .10幾何問(wèn)題： 解決這類問(wèn)題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式11年齡問(wèn)題： 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等， 兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì) 變的12優(yōu)化方案問(wèn)題： 在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅 行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。注意： 方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出

6、最佳知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 利用二元一次方程組探究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟： 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為 “審、找、列、解、答 ”五步，即：（1）審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個(gè)相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個(gè)方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（ 5）答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.要點(diǎn)詮釋：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫“答” ，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合

7、理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；(3) 一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組 .(4) 列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系； 審題時(shí)，注意從文字， 圖表中獲得有關(guān)信息； 注意 用方程組解應(yīng)用題的過(guò)程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列 方程組與解方程組時(shí)， 不要帶單位；正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆； 在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含 的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。分類練習(xí)：類型一：列二元一次方程組解決行程問(wèn)題甲、乙兩地相距 160 千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1

8、小時(shí)20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)， 汽車在相遇處停留 1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回， 在汽車再次出 發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī) . 這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？【變式 1】甲、乙兩人相距 36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā) 2.5 小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走 2 小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā) 3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少 千米？變式 2】?jī)傻叵嗑?280 千米，一艘船在其間航行，順流用 14 小時(shí)，逆流用 20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度類型二：列二元一次方程組解決工程問(wèn)題2一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工， 8 天可以完成，需付

9、兩組費(fèi)用 共 3520 元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做 6 天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做 12 天可完成，需付兩組費(fèi)用共 3480 元，問(wèn)： (1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？ (2)已知甲組單獨(dú)做需 12 天完成，乙組單獨(dú)做需 24 天 完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作 6周完成需工錢 5.2 萬(wàn)元；若甲公 司單獨(dú)做 4 周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需 9 周完成，需工錢 4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成， 從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由 .類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題3有甲、乙兩件商品，甲

10、商品的利潤(rùn)率為 5%,乙商品的利潤(rùn)率為 4%,共可獲利 46 元。價(jià)格 調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為 4%，乙商品的利潤(rùn)率為 5%，共可獲利 44 元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是 多少元？變式 2】某商場(chǎng)用 36 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn) A、B兩種商品，銷售完后共獲利 6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元 / 件）12001000售價(jià)（元 / 件）13801200注：獲利 = 售價(jià) 進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn) A、B 兩種商品各多少件；【 變式 1】（2011 湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了 其中甲種蔬菜每畝獲利 2000 元，乙種蔬菜每畝獲利 少畝？10 畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利 18000 元，1500元，李大叔

11、去年甲、 乙兩種蔬菜各種植了多類型四：列二元一次方程組解決銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題4小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000 元錢，一種是年利率為 2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為 2.25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75 元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）【變式 1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了 2000元和 1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利 息 43.92 元 .已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為 3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng) 繳利息所得稅 =利息金額

12、5; 20%）【變式 2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000 元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了 3 次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息 2.25%；第 二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為 2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息 303.75 元（不計(jì)利息 稅），問(wèn)小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問(wèn)題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每 2米的某種布料可做上衣的衣身 3 個(gè)或衣袖5 只 . 現(xiàn)計(jì)劃用 132 米這種布料生產(chǎn)這批秋裝 （不考慮布料的損耗 ） ，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣 身和衣

13、袖恰好配套？【變式 1】現(xiàn)有 190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做 8 個(gè)盒身或 22 個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成 一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【變式 2】某工廠有工人 60 人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母 20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓， 多少人生產(chǎn)螺母， 才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。【變式 3】一張方桌由 1個(gè)桌面、 4條桌腿組成，如果 1立方米木料可以做桌面 50 個(gè)，或做桌腿300 條?，F(xiàn)有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌 面和桌腿，恰好配成

14、方桌？能配多少?gòu)埛阶?？類型六：列二元一次方程組解決增長(zhǎng)率問(wèn)題 支出比去年減少了 10%，今年的利潤(rùn)為 780 萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？. 某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值總支出）為200 萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了 20%，總變式 1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？【變式 2】某城市現(xiàn)有人口 42 萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加 0.8%，農(nóng)村人口增加 1.1%，這樣全市 人口增加 1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問(wèn)題7.（2011 年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn) 帳篷共 9千頂，現(xiàn)某地震

15、災(zāi)區(qū)急需帳篷 14 千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷為此，全體職 工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的 1.6 倍、 1.5 倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)， “愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳 篷多少千頂？【 變式 1】 （2011 年北京門頭溝區(qū)中考一模試題 ） “地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在 2007 年提出 的一項(xiàng)倡議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年 3月最后一個(gè)星期六 20時(shí)30分21時(shí) 30分熄燈 一小時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi) 地去年和今年共有 119 個(gè)城市

16、參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的 3 倍少 13 個(gè)， 問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【 變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到 藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多， 而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各有 多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問(wèn)題8. 兩個(gè)兩位數(shù)的和是 68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)； 在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)， 也得到一個(gè)四位數(shù)， 已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大 2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。3 倍，結(jié)果是 23 ；這個(gè)兩位數(shù)除

17、以它的各位數(shù)【變式 1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的 字之和，商是 5，余數(shù)是 1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？【變式 2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大 5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式 3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為 0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是 9，如果百位數(shù)字減 1，個(gè)位數(shù) 字加 1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。類型九：列二元一次方程組解決濃度問(wèn)題37，乙種酒精溶液的酒精與水的9現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是比是 41，今要得到酒精與水的比為 32 的酒精溶液

18、 50kg，問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？變式 1】要配濃度是 45%的鹽水 12 千克，現(xiàn)有 10%的鹽水與 85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？【變式 2】一種 35%的新農(nóng)藥，如稀釋到 1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為 35%的農(nóng)藥 加水多少千克，才能配成 1.75%的農(nóng)藥 800 千克？類型十：列二元一次方程組解決幾何問(wèn)題10如圖，用 8 塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？【變式 1】用長(zhǎng) 48 厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉 3厘米，補(bǔ)到較短邊上去， 則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？變式 2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)

19、比寬的 2倍多 10m，它的周長(zhǎng)是 132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決11今年父親的年齡是兒子的年齡問(wèn)題5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的3 倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？【變式 1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?.小李發(fā)現(xiàn)， 12 年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?三分之一 .試求出今年小李的年齡 .類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問(wèn)題：12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜， 若在市場(chǎng)上直接銷售， 每噸利潤(rùn)為 1000 元；經(jīng)粗加工后銷售， 每噸利潤(rùn)可達(dá) 4500 元；經(jīng)精加工后銷售， 每噸利潤(rùn)漲至 7500 元. 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜 140 噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工 16 噸；如果進(jìn)行細(xì)加 工，每天可加