高中物理奧林匹克競賽專題--非慣性系中的質點動力學ppt課件

1、第一章第一章非慣性系中的質點動力學非慣性系中的質點動力學 1 11 1 非慣性系中質點動力學的根本方程非慣性系中質點動力學的根本方程 FamaCeraaaaa其中其中 為質點的牽連加速度為質點的牽連加速度eaCa為質點的科氏加速度為質點的科氏加速度非慣性參考系：非慣性參考系：zyxO慣性參考系：慣性參考系：Oxyz在慣性參考系內：在慣性參考系內：ICIerFFFamFamamamCerCeramamFam令令eIeamF非慣性系中的質點動力學根本方程非慣性系中的質點動力學根本方程或質點相對運動動力學根本方程或質點相對運動動力學根本方程CCIamF牽連慣性力牽連慣性力科氏慣性力科氏慣性力在非慣性

2、系內，上式寫成微分方程方式在非慣性系內，上式寫成微分方程方式ICIe22ddFFFtrm其中其中 表示質點表示質點M M在非慣性系中的矢徑在非慣性系中的矢徑r是是 對時間對時間t t 的二階相對導數(shù)的二階相對導數(shù)22ddtrr非慣性系中的質點運動微分方程非慣性系中的質點運動微分方程質點相對運動微分方程質點相對運動微分方程幾種特殊情況幾種特殊情況1 1動參考系相對于定參考系作平移動參考系相對于定參考系作平移0Ca0ICF相對運動動力學根本方程為相對運動動力學根本方程為IerFFam2 2動參考系相對于定參考系作勻速直線平移動參考系相對于定參考系作勻速直線平移0Ca0ea0ICIe FFFamr

3、一切相對于慣性參考系作勻速直線平移的參考系一切相對于慣性參考系作勻速直線平移的參考系都是慣性參考系都是慣性參考系 發(fā)生在慣性參考系中的任何力學景象都無助于發(fā)覺該參考系本身的運動情況-相對性原理3 3質點相對于動參考系靜止質點相對于動參考系靜止00rr，a0ICF0Ie FF質點相對靜止的平衡方程質點相對靜止的平衡方程 即當質點在非慣性參考系中堅持相對靜止時，作用在質點上的力與質點的牽連慣性力相互平衡。4 4質點相對于動參考系作等速直線運動質點相對于動參考系作等速直線運動0ra0ICIeFFF質點相對平衡方程質點相對平衡方程例例 1 11 1求：此時單擺作微振動的周期。求：此時單擺作微振動的周期

4、。知：如下圖單擺，知：如下圖單擺，擺長為擺長為l， 小球質量為小球質量為m。其懸掛點其懸掛點O以加速度以加速度 向上運動。向上運動。0a x y0aO解：解：小球相對于此動參考系的運動小球相對于此動參考系的運動分析小球受力如下圖。分析小球受力如下圖。因動參考系作平移，因動參考系作平移，在懸掛點在懸掛點O上固結一平移參考系上固結一平移參考系yxO相當于懸掛點固定的單擺振動相當于懸掛點固定的單擺振動0IeamF所以科氏慣性力所以科氏慣性力0ICFIerFPFam將上式投影到軌跡的切向軸將上式投影到軌跡的切向軸t t上上 得得sin)(sin)(dd0Ie22agmFPtsmPIeFF x y0aO

5、t當擺作微振動時當擺作微振動時角很小角很小 有有sin且且ls 上式成為上式成為)(dd022agmtml令令lag020那么上式可寫成自在振動微分方程的規(guī)范方式那么上式可寫成自在振動微分方程的規(guī)范方式0dd2022t其解的方式為其解的方式為)sin(0tA而振動周期為而振動周期為0022lTga例例 1 12 2求：套筒運動到端點求：套筒運動到端點A所需的時間及此時對桿的程度壓力。所需的時間及此時對桿的程度壓力。知：不斷桿知：不斷桿OA，長，長l=0.5m，可繞過端點，可繞過端點O的的 軸在水軸在水 平面內作勻速轉動，其轉動角速度平面內作勻速轉動，其轉動角速度 在桿在桿OA上有一質量為上有一

6、質量為m=0.1kg的套筒的套筒B。設開場運。設開場運 動時，套筒在桿的中點處于相對靜止，忽略摩擦。動時，套筒在桿的中點處于相對靜止，忽略摩擦。z2rad/sOAB x y z解：解： 研討套筒研討套筒B相對于相對于OA的運動的運動選取和桿選取和桿OA一同轉動的坐標系一同轉動的坐標系 為動參考系為動參考系zyxOxmF2IexmF2IC建立相對運動微分方程建立相對運動微分方程將上式投影到將上式投影到 軸上得軸上得x2xmxm 令令rvx 2rrddddddvvxxtxtICIe2122ddFFFFgmtrmaOAB x y zIeFgm2FICF1F留意留意rddxvt上式分別變量并積分上式分

7、別變量并積分即即r21rr02ddvxv vx x得得2222r11()224lvx或或22rdd4xlvxtb b上式再分別變量并積分上式再分別變量并積分即即tltlxx02122d4ds209. 0)32ln(1214ln122lllt將式將式a a投影到投影到 軸上得軸上得yxmFF2IC2當套筒到達端點當套筒到達端點A時時lx 22r342lvxllOAB x y zIeFgm2FICF1FICIe2122ddFFFFgmtrma22233(2rad/s)0.5m 0.1kg3.419NFlm例例 1 13 3求：由于地球自轉的影響質點求：由于地球自轉的影響質點M回到地外表的落點與上回

8、到地外表的落點與上 拋點的偏離。拋點的偏離。知：在地球外表北緯角知：在地球外表北緯角 處，以初速度處，以初速度 鉛直上拋一鉛直上拋一 質量為質量為m m 的質點的質點M M。0v解：解：以上拋點為坐標原點，選取固定于地球的非慣以上拋點為坐標原點，選取固定于地球的非慣性參考系為性參考系為zyxO其中其中 軸鉛直向上，軸鉛直向上，z近似經(jīng)過地球中心。近似經(jīng)過地球中心。軸程度向東，軸程度向東，x軸程度向北。軸程度向北。y表現(xiàn)重力表現(xiàn)重力gmFFPIe其中其中 為地球引力為地球引力F科氏慣性力科氏慣性力Cr2Fmamv ICrvx iy jz k 的矢量積可展開為的矢量積可展開為ICFcossin)c

9、ossin(2sincos02kxjxizymzyxkjimFICa a質點相對于地球的運動微分方程質點相對于地球的運動微分方程rr2maFFFmgmvIeIC援用式援用式a a上式沿上式沿 軸的投影式為軸的投影式為zyx，cos2sin2cos2sin2xgzxyzyx b對此微分方程組，對此微分方程組，可以采用逐次的方法求解?？梢圆捎弥鸫蔚姆椒ㄇ蠼狻Ｓ捎诘厍蜃赞D角速度由于地球自轉角速度很小，很小，最初級的近似計算中最初級的近似計算中可取可取=0那么式那么式b b的零次近似方程為的零次近似方程為gzyx ，00c運動初始條件為運動初始條件為t0時000000 xyzvxyz，d在此條件下式在

10、此條件下式c c積分一次，積分一次， 得質點零次近似的速度為得質點零次近似的速度為000 xyzgtv，e將上式代入式將上式代入式b b， 得一次近似的微分方程得一次近似的微分方程gzygtx ，0cos)(20f在式在式d d的初始條件下，的初始條件下，上式積分一次上式積分一次得一次近似的速度得一次近似的速度200(2)cos0 xgtv tyzgtv ，g再積分一次，再積分一次，得一次近似的上拋質點運動方程得一次近似的上拋質點運動方程3220011()cos032xgtv tyzv tgt，h當質點當質點M 回落到原上拋點高度時回落到原上拋點高度時0 z可得質點閱歷的時間為可得質點閱歷的時

11、間為02vtg32300003228414()coscos33vvvxgvggg x為負值，為負值， 闡明上拋質點落地時，闡明上拋質點落地時， 其落點偏西。其落點偏西。假設質點在高假設質點在高h 處無初速度自在落下處無初速度自在落下其相對運動微分方程為其相對運動微分方程為留意此時留意此時00v 其零次近似的速度式改為其零次近似的速度式改為gtzyx，00cos2sin2cos2sin2xgzxyzyx b以始落點為原點，以始落點為原點， 一次近似的質點運動方程式為一次近似的質點運動方程式為23210cos31gtzygtx，i當落下高度當落下高度h 時，時，hz閱歷時間為閱歷時間為ght2gh

12、hx23cos2此時此時 為正值，為正值，x偏移向東。偏移向東。這就是地球上的落體偏東景象。這就是地球上的落體偏東景象。 1 12 2 非慣性系中質點的動能定理非慣性系中質點的動能定理 質點的相對運動動力學根本方程為質點的相對運動動力學根本方程為rddvmFFFtIeIC式中式中eCr2FmaFmamv IeIC，rddvt是是 對時間對時間t t 的相對導數(shù)的相對導數(shù)rv上式兩端點乘相對位移上式兩端點乘相對位移rdddddddrvmrFrFrFrtIeIC科氏慣性力科氏慣性力 垂直于相對速度垂直于相對速度ICFrv有有0dIC rFrrdddmvvFrFrIeWIe表示牽連慣性力表示牽連慣性

13、力 在質點的相對位移上的元功。在質點的相對位移上的元功。IeF2r1d()2FmvWWIe質點相對運動動能定理的微分方式：質點相對運動動能定理的微分方式： 質點在非慣性系中相對動能的增量等于作用于質點質點在非慣性系中相對動能的增量等于作用于質點上的力與牽連慣性力在相對運動中所作的元功之和。上的力與牽連慣性力在相對運動中所作的元功之和。FWF表示力表示力 在質點的相對位移上的元功。在質點的相對位移上的元功。積分上式得積分上式得22rr01122FmvmvWWIe質點相對運動動能定理的積分方式：質點相對運動動能定理的積分方式： 質點在非慣性參考系中相對動能的變化等于作質點在非慣性參考系中相對動能的

14、變化等于作用在質點上的力與牽連慣性力在相對路程上所作的用在質點上的力與牽連慣性力在相對路程上所作的功之和。功之和。例例 1 14 4知：一平板與程度面成知：一平板與程度面成角，板上有一質量為角，板上有一質量為m 的小球，的小球，如下圖，假設不計摩擦等阻力。如下圖，假設不計摩擦等阻力。假設平板又以這個加速度的兩倍向右平移時，小球應沿假設平板又以這個加速度的兩倍向右平移時，小球應沿板向上運動。球沿板走了板向上運動。球沿板走了l 間隔后，小球的相對速度是間隔后，小球的相對速度是多少？多少？求：平板以多大加速度向右平移時，小球能堅持相對靜止。求：平板以多大加速度向右平移時，小球能堅持相對靜止。a解：解

15、：1 1在平板上固結一動參考系在平板上固結一動參考系yxOeIemaF 0ICF小球相對靜止，小球相對靜止， 方程為方程為N0cossin00sincos0 xyFFmgFFmgFIeIe，從中解出從中解出coscossineIemaFmg得得tanega NFIeF2 2當加速度當加速度 時時tan2ega tan2IemgF運用相對運動動能定理，運用相對運動動能定理，有有2r0(cos )(sin )2mvFlmglIelmgm)sin(22rsin2rglNFIeF例例 1 15 5知：半徑為知：半徑為R 的環(huán)形管，繞鉛垂軸的環(huán)形管，繞鉛垂軸z 以勻角速度以勻角速度 轉動。轉動。如下圖，管內有一質量為如下圖，管內有一質量為m的小球，原在最低的小球，原在最低處平衡，小球受微小擾動時能夠會沿圓管上升。處平衡，小球受微小擾動時能夠會沿圓管上升。忽略管壁摩擦。忽略管壁摩擦。求：小球能到達的最大偏角求：小球能到達的最大偏角 。max解：解：以環(huán)形管為動參考系以環(huán)形管為動參考系sin2IeRmF經(jīng)過微小角度經(jīng)過微小角度 時時d此慣性力作功為此慣性力作功為221d cossincos dWF RmR Ie相對運動的動