工程力學(xué) 壓桿穩(wěn)定

1、Dec 12, 2014壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念2壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念3軸向拉壓桿的強(qiáng)度失效軸向拉壓桿的強(qiáng)度失效塑性材料塑性材料 lims，過大塑性變形，過大塑性變形脆性材料脆性材料 lim b，斷裂，斷裂相應(yīng)的強(qiáng)度條件相應(yīng)的強(qiáng)度條件 nAFlimN 只適用于拉桿和只適用于拉桿和“粗短粗短”的壓桿。的壓桿。對于對于“細(xì)長細(xì)長”的壓桿，失效的形式與上述強(qiáng)度失效不同。的壓桿，失效的形式與上述強(qiáng)度失效不同。F直桿受壓變彎的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。直桿受壓變彎的現(xiàn)象，稱為失穩(wěn)。 壓桿的一種失效形式。壓桿的一種失效形式。壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念4在工程實(shí)際中，其它構(gòu)件

2、也需要考慮穩(wěn)定問題。本章只討論直桿的穩(wěn)定問題。 實(shí)際中，很多構(gòu)件需要考慮穩(wěn)定性 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念當(dāng)外力超出一定范圍時，平衡形式也會發(fā)生變當(dāng)外力超出一定范圍時，平衡形式也會發(fā)生變化化失去穩(wěn)定性。失去穩(wěn)定性。5平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性小球原有的平衡小球原有的平衡具有穩(wěn)定性。具有穩(wěn)定性。小球原有的平衡不小球原有的平衡不具有穩(wěn)定性。具有穩(wěn)定性。平衡是穩(wěn)定的平衡是穩(wěn)定的平衡是不穩(wěn)定的平衡是不穩(wěn)定的隨遇平衡隨遇平衡6壓桿的穩(wěn)定性：壓桿的穩(wěn)定性：指壓桿受軸向壓力后，其直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。指壓桿受軸向壓力后，其直線平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。（1）PPcr壓桿失效壓桿失效P壓桿原有的直線平壓桿原有的直

3、線平衡形式是穩(wěn)定的。衡形式是穩(wěn)定的。壓桿具有穩(wěn)定性壓桿具有穩(wěn)定性（2）PPcr壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念7由上述討論得：由上述討論得：8細(xì)長壓桿的臨界載荷細(xì)長壓桿的臨界載荷 歐拉公式歐拉公式一、兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界載荷PPxyyxABPPxyMMPy 代入撓曲線近似微分方程代入撓曲線近似微分方程EIyM( x )Py 令令2PkEI 20yk y 該微分方程的通解為該微分方程的通解為式中式中A、B為積分常數(shù)為積分常數(shù)桿的邊界條件桿的邊界條件代入通解得代入通解得yAsinkxBcoskx00 xy0 xly B B0 0Asinkl 0A00sin kl.3 , 2 , 1 nnkl 2

4、22nEIPl nyAsinxl 利用撓曲線微分方程求臨界載荷。利用撓曲線微分方程求臨界載荷。9 兩端鉸支、細(xì)長壓桿，處于臨界狀態(tài)。利用撓曲線微分兩端鉸支、細(xì)長壓桿，處于臨界狀態(tài)。利用撓曲線微分方程求臨界載荷。方程求臨界載荷。C1 2l2lPPxyAByx222nEIPl nyAsinxl 1、n=0，沒有意義。，沒有意義。2、n=2、3時，撓曲線如圖。時，撓曲線如圖。n=2n=3中間沒有支座，壓桿不會中間沒有支座，壓桿不會彎成這種形狀。彎成這種形狀。3、臨界載荷是壓桿失穩(wěn)的最臨界載荷是壓桿失穩(wěn)的最 小力。小力。n只能等于只能等于1。22crEIPl 4、撓曲線方程撓曲線方程yAsinxl A

5、為撓曲線中點(diǎn)的撓度。為撓曲線中點(diǎn)的撓度。1011.2.211.2.2其他約束情況下細(xì)長壓桿的臨界載荷其他約束情況下細(xì)長壓桿的臨界載荷推導(dǎo)方法：推導(dǎo)方法：仿照兩端鉸支、細(xì)長壓桿的臨界載荷的推導(dǎo)方法，利用微仿照兩端鉸支、細(xì)長壓桿的臨界載荷的推導(dǎo)方法，利用微分方程推導(dǎo)。分方程推導(dǎo)。22crEIP(l ) 細(xì)長壓桿的臨界載荷公式。細(xì)長壓桿的臨界載荷公式。（歐拉公式）（歐拉公式） 為長度因數(shù)，為長度因數(shù)， l為相當(dāng)長度。為相當(dāng)長度。1、PcrEI2、桿端約束越強(qiáng)，、桿端約束越強(qiáng)，Pcr越大。越大。1122crEIP(l ) 細(xì)長壓桿的臨界載荷公式。細(xì)長壓桿的臨界載荷公式。 若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束相同

6、，計算臨界載荷時取若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束相同，計算臨界載荷時取Imin。因?yàn)?。因?yàn)殡S著軸向壓力增大，壓桿總是在抗彎能力差的縱向平面內(nèi)彎曲。隨著軸向壓力增大，壓桿總是在抗彎能力差的縱向平面內(nèi)彎曲。xyzyzlyzbh例例11-1 細(xì)長壓桿細(xì)長壓桿，材料，材料Q235，l=4m ,b=50mm,h=150mm，E=200GPa，求臨界載荷。，求臨界載荷。解：解：1141562500mm 232200 1015625001925704000crPN() 若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束不相同，分別若桿在不同的縱向平面內(nèi)約束不相同，分別計算臨界載荷取較小的值。計算臨界載荷取較小的值。3min501501

7、21 IIPP12壓桿分類壓桿分類 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍11.3.1臨界應(yīng)力：臨界狀態(tài)時壓桿橫截面上的應(yīng)力。臨界應(yīng)力：臨界狀態(tài)時壓桿橫截面上的應(yīng)力。 22crcrPEIAlA AIi 慣性半徑慣性半徑柔度：柔度：il 22 Ecr 臨界應(yīng)力：臨界應(yīng)力： 222ilE 關(guān)于柔度（長細(xì)比）：關(guān)于柔度（長細(xì)比）：1、無量綱。綜合反映了桿長、無量綱。綜合反映了桿長、約束約束、截面形狀與幾何尺寸對、截面形狀與幾何尺寸對Pcr的影響。的影響。2、相同材料制成的壓桿，穩(wěn)定性取決于相同材料制成的壓桿，穩(wěn)定性取決于 。 大，穩(wěn)定性差。大，穩(wěn)定性差。3、在不同的縱向平面內(nèi)約束、慣性矩不相同，在不同的縱

8、向平面內(nèi)約束、慣性矩不相同， 則則 不同，不同，計算臨界計算臨界載荷（應(yīng)力）時，取較大的載荷（應(yīng)力）時，取較大的 值。值。4、若要使壓桿在不同的縱向平面內(nèi)穩(wěn)定性相同，應(yīng)使若要使壓桿在不同的縱向平面內(nèi)穩(wěn)定性相同，應(yīng)使2211ilil 13歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 大柔度桿（細(xì)長桿）大柔度桿（細(xì)長桿）歐拉公式歐拉公式MyEI EIM 1 EP 彈性范圍：彈性范圍：所以：所以：PcrE 22從而：從而：PE 2 對于對于A3鋼（鋼（Q235）E200GPa，P200MPa。PE 2100P 對于用對于用A3鋼（鋼（Q235）制成的壓桿，當(dāng)）制成的壓桿，當(dāng) 大于大于100 時才可用歐拉公式

9、計算臨界載荷。時才可用歐拉公式計算臨界載荷。當(dāng)當(dāng) 大于大于 P時才可用歐拉公式計算臨界載荷。時才可用歐拉公式計算臨界載荷。由此可見：由此可見：稱稱 大于大于 P的壓桿為細(xì)長桿或大柔度壓桿。的壓桿為細(xì)長桿或大柔度壓桿。14壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖 實(shí)際中實(shí)際中的壓桿，的壓桿， 往往小于往往小于 P。 當(dāng)當(dāng) P，歐拉，歐拉公式不成立。材料進(jìn)入彈塑性階段，此時的穩(wěn)定問題屬于公式不成立。材料進(jìn)入彈塑性階段，此時的穩(wěn)定問題屬于彈塑彈塑性穩(wěn)定性穩(wěn)定。臨界應(yīng)力常常采用。臨界應(yīng)力常常采用： bacr a、b為材料常數(shù)，單位為材料常數(shù)，單位MPa.對于對于Q235 12. 1304 cr 為

10、實(shí)際壓桿的柔度，仍由為實(shí)際壓桿的柔度，仍由 計算。計算。il 由由 知，知， 越小越小， ， cr越大。當(dāng)越大。當(dāng) 小于某值時，小于某值時， bacr scr 壓桿的強(qiáng)度不允許。壓桿的強(qiáng)度不允許。15scrba 所以，直線公式當(dāng)所以，直線公式當(dāng)成立。成立。即即bas s 材料常數(shù)材料常數(shù)因此，因此，當(dāng)當(dāng) S P 時可以用直線公式。時可以用直線公式。ssa.b. 30423561 61 12對于對于A3鋼（鋼（Q235）s235MPa。 12. 1304 cr稱稱 s P 的桿為的桿為。壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖16稱稱 s的桿為的桿為。 由于壓桿失穩(wěn)前就會出現(xiàn)強(qiáng)度失效。因此，

11、此類桿不由于壓桿失穩(wěn)前就會出現(xiàn)強(qiáng)度失效。因此，此類桿不會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將其歸入穩(wěn)定范疇：會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。若將其歸入穩(wěn)定范疇：極極限限應(yīng)應(yīng)力力 cr塑性材料：塑性材料： s 脆性材料：脆性材料： b 當(dāng)當(dāng) s，ssab scrba 壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖壓桿分類、臨界應(yīng)力總圖17cr 22 Ecr 討論穩(wěn)定性問題時，先計算討論穩(wěn)定性問題時，先計算 ，判斷壓桿類型，選用相應(yīng)公式。，判斷壓桿類型，選用相應(yīng)公式。P s 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 s Pscr bacr 小柔度桿小柔度桿 中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿18210GPaE280MPaP例例11-2 螺旋千斤頂，絲杠的材料為螺旋千斤頂，

12、絲杠的材料為45號鋼，其號鋼，其，306MPas400mml40mmd。絲杠的為長度。絲杠的為長度，內(nèi)徑，內(nèi)徑。試求其臨界載荷。試求其臨界載荷。解：（1）計算壓桿的柔度，判斷壓桿的類型：）計算壓桿的柔度，判斷壓桿的類型：2=橫截面的慣性半徑：橫截面的慣性半徑：4010mm44IdiA=絲杠的柔度：絲杠的柔度：24008010li465MPaa2.568MPab對于對于45號鋼：號鋼：則則46530661.92.568ssab=-=-2232101086280ppE創(chuàng)=由于柔度由于柔度 s P，所以絲杠為中柔度桿。，所以絲杠為中柔度桿。（2）計算臨界應(yīng)力和臨界載荷：）計算臨界應(yīng)力和臨界載荷：46

13、52.56880259.6MPacrab-240259.6326057N326kN4crcrPA創(chuàng)絲杠可以簡化為一端固定另一端自由的壓桿，故長度系數(shù)為絲杠可以簡化為一端固定另一端自由的壓桿，故長度系數(shù)為采用直線公式采用直線公式19例例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235 ，E=210GPa，截面邊長，截面邊長 b=40mm ，h=60mm，。求臨界載荷。，。求臨界載荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，兩端鉸支面，兩端鉸支 =1，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。為中性軸。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2）

14、在）在xz面，兩端固定面，兩端固定 =0.5，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。為中性軸。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5200086 611 55PP2000 xyyzbhzbhI 312yhbI 31220例例11-3一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為一矩形截面桿，兩端為柱鉸。材料為Q235 ，E=210GPa，截面邊長，截面邊長 b=40mm ，h=60mm，。求臨界載荷。，。求臨界載荷。zxPP解：解：（1）在）在xy面，兩端鉸支面，兩端鉸支 =1，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，z為中性軸。為中性軸。zzIi.mmA 17 32zzli. 1 200011517 32（2）

15、在）在xz面，兩端固定面，兩端固定 =0.5，若失穩(wěn)彎曲，若失穩(wěn)彎曲，y為中性軸。為中性軸。yyIi.mmA 11 55yyl.i. 10 5200086 611 55 y，連桿在，連桿在xy面容易失穩(wěn)面容易失穩(wěn)計算臨界載荷應(yīng)以計算臨界載荷應(yīng)以 z計算。計算。 z115100，屬于細(xì)長桿。，屬于細(xì)長桿。 用歐拉公式。用歐拉公式。crcrPAkN 40 60 156374crE.MPa 223223 1421010115156 /.kN 2332210 104060120 52000374crEIP(l ) 2221壓桿穩(wěn)定計算壓桿穩(wěn)定計算 要保證壓桿的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力要保證壓桿

16、的穩(wěn)定性，必須使壓桿所受的軸向壓力小于臨界載荷。小于臨界載荷。 考慮到穩(wěn)定貯備，取大于考慮到穩(wěn)定貯備，取大于1的的穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)nst。crstPPn crcrstPnnP 穩(wěn)定穩(wěn)定條件條件常見壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)常見壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)nst在設(shè)計手冊中給出。在設(shè)計手冊中給出。三類穩(wěn)定計算問題三類穩(wěn)定計算問題穩(wěn)定性校核、確定許可載荷、截面尺寸設(shè)計穩(wěn)定性校核、確定許可載荷、截面尺寸設(shè)計( (穩(wěn)定系數(shù)法穩(wěn)定系數(shù)法) )。 壓桿的工作壓力壓桿的工作壓力或：壓桿的工作安全因數(shù)或：壓桿的工作安全因數(shù)2280kNP 3stn 軸向壓力為軸向壓力為，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)，規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)。試校核其穩(wěn)定性

17、。試校核其穩(wěn)定性。375mml40mmdQ235例例11-4 一圓截面壓桿，長度一圓截面壓桿，長度，直徑，直徑，材料是，材料是鋼，最大鋼，最大解：2P（1）計算壓桿的柔度：）計算壓桿的柔度：4010mm44IdiA=237575404li100p61.6ssp壓桿穩(wěn)定性是滿足要求的。壓桿穩(wěn)定性是滿足要求的。 Q235鋼，鋼，對于對于長度系數(shù)長度系數(shù)23例例11-5圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為材料為Q235 ，直徑為直徑為d40mm。試求（。試求（1）直桿直桿AB的臨界載荷；（的臨界載荷；（2）若）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為的穩(wěn)定安全因數(shù)為nst=5,確定確定結(jié)構(gòu)的最大載荷結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5

18、m0.5mFQ30ABCD解：解： （1）求）求AB的臨界載荷的臨界載荷AB的柔度的柔度il 440cos3015001 4dl 2173 . P100AB屬于細(xì)長桿，可用歐拉公式計算臨界載荷屬于細(xì)長桿，可用歐拉公式計算臨界載荷22 Ecr MPa.865217310200232 24crcrcrdPA 23 14 4065 88264582 64.N. kN 1長度系數(shù)長度系數(shù)24例例11-5圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，AB材料為材料為Q235 ，直徑為直徑為d40mm。試求（。試求（1）直桿直桿AB的臨界載荷；（的臨界載荷；（2）若）若Ab的穩(wěn)定安全因數(shù)為的穩(wěn)定安全因數(shù)為nst=5,確定確定結(jié)構(gòu)的

19、最大載荷結(jié)構(gòu)的最大載荷F。1.5m0.5mFQ30ABCDFQ30CADFDyFDxFAB解：解：（1）求）求AB的臨界載荷的臨界載荷82 6crP. kN （2）利用穩(wěn)定條件，）利用穩(wěn)定條件，AB的所承受的最大軸向力的所承受的最大軸向力依題意依題意82.616.5kN5ABcrstPFn=（3）結(jié)構(gòu)的最大載荷）結(jié)構(gòu)的最大載荷 0)F(mD301 520ABFsin.F6 2F. kN 25提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 由于壓桿的臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定的最大力（穩(wěn)定極限由于壓桿的臨界載荷是壓桿保持穩(wěn)定的最大力（穩(wěn)定極限載荷），臨界載荷越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。因此，提高壓桿載荷），臨界載荷越大，壓桿的穩(wěn)定性越好。因此，提高壓桿的穩(wěn)定性措施應(yīng)從影響臨界載荷的因素入手。的穩(wěn)定性措施應(yīng)從影響臨界載荷的因素入手。crEIP(l ) 22Q235優(yōu)質(zhì)碳鋼優(yōu)質(zhì)碳鋼4652 568cr. 12. 1304 cr影響臨界載荷的因素：影響臨界載荷的因素： （約束）（約束）l（桿長）（桿長）I（截面形狀與尺寸）（截面形狀與尺寸）材料材料261.盡量減小壓桿的長度盡量減小壓桿的長度ll1氣缸氣缸活塞活塞活塞桿活塞桿十字頭十字頭B A不能減小長度時，也可在中間加支座。不能減小長度時，也可在中間加支座。抱輥抱輥管坯管坯頂桿頂桿27若桿為細(xì)長桿若桿為細(xì)長桿PlPl/2l/2crEIPl