聚焦中考第七章34講課件

1、人教數(shù)學(xué)第七章圖形的變化第34講銳角三角函數(shù)和解直角三角形要點(diǎn)梳理 1銳角三角函數(shù)的意義，RtABC 中，設(shè)C90，為 RtABC 的一個(gè)銳角，則： 的正弦 sin_?的對(duì)邊斜邊_； 的余弦 cos_?的鄰邊斜邊_； 的正切 tan_?的對(duì)邊?的鄰邊_ 要點(diǎn)梳理 230，45，60的三角函數(shù)值，如下表： 正弦 余弦 正切 30 _12_ _32_ _33_ 45 _22_ _22_ _1_ 60 _32_ _12_ _ 3_ 要點(diǎn)梳理 3同角三角函數(shù)之間的關(guān)系： sin2cos2_1_； tan_sincos_ 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式： (? 為銳角) sin(90?)_cos_； cos(

2、90?)_sin_ 函數(shù)的增減性：(0?90) (1)sin，tan的值都隨?_增大而增大_； (2)cos隨 ?_增大而減小_ 要點(diǎn)梳理 4解直角三角形的概念、方法及應(yīng)用： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ，求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系：在RtABC 中，C90，A， B，C 所對(duì)的邊分別為a，b，c，則： (1)邊與邊的關(guān)系：_a2b2c2_； (2)角與角的關(guān)系：_AB90_； (3)邊與角的關(guān)系： _sinAcosBac，cosAsinBbc，tanAab，tanBba_ 要點(diǎn)梳理 5直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，它經(jīng)

3、常涉及測(cè)量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根據(jù)題意明白其中的含義才能正確解題(1)鉛垂線：重力線方向的直線；要點(diǎn)梳理 (2)水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，地平面上的兩點(diǎn)確定的直線我們認(rèn)為是水平線； (3)仰角：向上看時(shí)，視線與水平線的夾角； (4)俯角：向下看時(shí)，視線與水平線的夾角； (5)坡角：坡面與水平面的夾角； 要點(diǎn)梳理 (6)坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度 (或坡比)，一般情況下，我們用 h 表示坡的鉛直高度，用 l 表示坡的水平寬度，用 i 表示坡度，即 ihltan，顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡； 要點(diǎn)梳理 (7)方向角：指北或指南

4、的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的銳角叫做方向角注意：東北方向指北偏東45方向，東南方向指南偏東45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45方向我們一般畫(huà)圖的方位為上北下南，左西右東轉(zhuǎn)化思想(1)在直角三角形中，求銳角三角函數(shù)值的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問(wèn)題，這樣就把新知識(shí)(求銳角三角函數(shù)值)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)(求直角三角形的邊長(zhǎng))，因此不可避免地用到勾股定理若原題沒(méi)有圖形，可以畫(huà)出示意圖，直觀地觀察各邊的位置及類型(直角邊還是斜邊)，再運(yùn)用定義求解；也可以直接通過(guò)字母來(lái)判斷邊的位置和類型，即A的對(duì)邊為BC，B的對(duì)邊為AC，C的對(duì)邊為AB.(2)在解斜三角形時(shí)，通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直

5、角三角形，常見(jiàn)的方法是作高，通過(guò)作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題注意在畫(huà)圖過(guò)程中考慮一定要周到，不可遺漏某一種情況方法技巧將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形或矩形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形進(jìn)行解決解題時(shí)可設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解，從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回1(2014杭州)在直角三角形 ABC 中，已知

6、C90，A40，BC3，則 AC( ) A3sin40 B3sin50 C3tan40 D3tan50 2(2014湖州)如圖，已知 RtABC 中，C90，AC4，tanA12，則 BC 的長(zhǎng)是( ) A2 B8 C2 5 D4 5 DA3 (2014畢節(jié))如圖是以ABC 的邊 AB 為直徑的半圓O，點(diǎn) C 恰好在半圓上， 過(guò) C 作 CDAB 交 AB 于 D.已知cosACD35，BC4，則 AC 的長(zhǎng)為( ) A1 B.203 C3 D.163 D4(2014麗水)如圖，河壩橫斷面迎水坡 AB 的坡比是1 3(坡比是坡面的鉛直高度BC 與水平寬度AC 之比)，壩高 BC3 m，則坡面A

7、B 的長(zhǎng)度是( ) A9 m B6 m C6 3 m D3 3 m B5(2014賀州)網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA_銳角三角函數(shù)的定義 【例 1】 (2014武漢)如圖，PA，PB 切O 于 A，B 兩點(diǎn)，CD 切O 于點(diǎn) E，交 PA，PB 于 C，D.若O 的半徑為r， PCD 的周長(zhǎng)等于3r，則 tanAPB的值是( ) A.51213 B.125 C.3513 D.2313 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系 B1(2013蘭州)ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，

8、如果a2b2c2，那么下列結(jié)論正確的是( )AcsinAa BbcosBcCatanAb DctanBbA銳角三角函數(shù)的計(jì)算【例 2】 (1)(2013菏澤)計(jì)算： 213tan30( 21)0 12cos60. (2)(2014攀枝花)在ABC 中，如果A，B 滿足 |tanA1|(cosB12)20，那么C_ 75 【點(diǎn)評(píng)】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對(duì)值、乘方、開(kāi)方、二次根式相結(jié)合準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類題目的關(guān)鍵，所以必須熟記2(2013孝感)式子 2cos30tan45 （1tan60）2的值是( ) A2 32 B0 C2 3 D2 B解直角三角形 【例 3】

9、 (2012安徽)如圖，在ABC 中，A30， B45，AC2 3，求 AB 的長(zhǎng) 【點(diǎn)評(píng)】將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，注意盡量不要破壞所給條件3(2014寧夏)在ABC 中，AD 是 BC 邊上的高，C45，sinB13，AD1.求 BC 的長(zhǎng) 解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用 【例 4】 (2014廣安)為鄧小平誕辰 110 周年獻(xiàn)禮，廣安市政府對(duì)城市建設(shè)進(jìn)行了整改，如圖，已知斜坡 AB 長(zhǎng) 60 2米，坡角(即BAC)為 45，BCAC，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)D 處挖去部分斜坡，修建一個(gè)平行于水平線CA 的休閑平臺(tái) DE 和一條新的斜坡BE(下面兩個(gè)小題結(jié)果都保留根號(hào)) (1)若修建的斜坡 BE 的坡比

10、為 31，求休閑平臺(tái) DE的長(zhǎng)是多少米？ (2)一座建筑物GH距離A點(diǎn)33米遠(yuǎn)(即AG33米)，小亮在D點(diǎn)測(cè)得建筑物頂部H的仰角(即HDM)為30.點(diǎn)B，C，A，G，H在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)C，A，G在同一條直線上，且HGCG，問(wèn)建筑物GH高為多少米？【點(diǎn)評(píng)】此題考查了坡度、坡角問(wèn)題以及俯角、仰角的定義要注意根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用4(2014邵陽(yáng))一艘觀光游船從港口A以北偏東60的方向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37方向，馬上以40海里每小時(shí)

11、的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處所需的大約時(shí)間(溫馨提示：sin530.8，cos530.6)解：過(guò)點(diǎn)C 作 CDAB 交 AB 延長(zhǎng)線于D.在 RtACD 中， ADC90，CAD30，AC80 海里， CD12AC40 海里在RtCBD 中，CDB90， CBD903753，BCCDsinCBD400.8 50(海里)，海警船到達(dá)事故船C 處所需的時(shí)間大約為 5040 54(小時(shí)) 試題(2012青島)如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2米的影子CE；而當(dāng)光線與地面夾角是45時(shí)，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13米的

12、距離(B，F(xiàn)，C在一條直線上)(1)求教學(xué)樓AB 的高度； (2)學(xué)校要在A，E 之間掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A，E 之間的距離(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin2238，cos221516， tan2225) 審題視角 (1)分清已知條件和未知條件(待求)； (2)將問(wèn)題集中到一個(gè)直角三角形中； (3)利用直角三角形的邊角之間關(guān)系 (三角函數(shù))求解 規(guī)范解題 解：(1)過(guò)點(diǎn) E 作 EMAB，垂足為 M.設(shè) AB 為 x.在 RtABF 中，AFB45，BFABx，BCBFFCx13.在 RtAEM 中，AEM22，AMABBMABCEx2，tan22AMMEx2x1325，x12.即教學(xué)樓的高度

13、為12 m. (2)由(1)可得，MEBCx13121325.在 RtAME 中，cos22MEAE，AEMEcos2225151627.即 A，E 之間的距離約為27 m. 答題思路解直角三角形應(yīng)用題的一般步驟為：第一步：分析理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖；第二步：建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知條件與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解直角三角形的數(shù)學(xué)模型；第三步：求解利用三角函數(shù)有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第四步：檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解試題 在ABC 中，A，B，C 的對(duì)邊分別為a，b，c，且 abc345，求證：sinAsinB75. 錯(cuò)解 設(shè) a3k，b4k，c5k，則 sin