（精選）圓形薄板在均布載荷作用下的撓度Word版

1、第四節(jié) 平板應(yīng)力分析3.4 平板應(yīng)力分析3.4.1 概述3.4.2 圓平板對(duì)稱彎曲微分方程3.4.3 圓平板中的應(yīng)力3.4.4 承受對(duì)稱載荷時(shí)環(huán)板中的應(yīng)力3.4.1 概述1、應(yīng)用：平封頭：常壓容器、高壓容器；貯槽底板：可以是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤：圓平板、帶加強(qiáng)筋的圓平板；反應(yīng)器觸媒床支承板等。2、平板的幾何特征及平板分類幾何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分 類：厚板與薄板、大撓度板和小撓度板。圖2-28 薄板t/b1/5時(shí) (薄板)w/t1/5時(shí)（小撓度）按小撓度薄板計(jì)算3、載荷與內(nèi)力 載荷：平面載荷：作用于板中面內(nèi)的載荷橫向載荷垂直于板中面的載荷復(fù)合載

2、荷內(nèi)力：薄膜力中面內(nèi)的拉、壓力和面內(nèi)剪力，并產(chǎn)生面內(nèi)變形彎曲內(nèi)力彎矩、扭矩和橫向剪力，且產(chǎn)生彎扭變形當(dāng)變形很大時(shí)，面內(nèi)載荷也會(huì)產(chǎn)生彎曲內(nèi)力，而彎曲載荷也會(huì)產(chǎn)生面內(nèi)力，所以，大撓度分析要比小撓度分析復(fù)雜的多。本書僅討論彈性薄板的小撓度理論。4、彈性薄板的小撓度理論基本假設(shè)-克希霍夫Kirchhoff 板彎曲時(shí)其中面保持中性，即板中面內(nèi)各點(diǎn)無伸縮和剪切變形，只有沿中面法線的撓度。只有橫向力載荷變形前位于中面法線上的各點(diǎn)，變形后仍位于彈性曲面的同一法線上，且法線上各點(diǎn)間的距離不變。類同于梁的平面假設(shè):變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線。平行于中面的各層材料互不擠

3、壓，即板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力較小，可忽略不計(jì)。研究: 彈性,薄板 / 受橫向載荷 / 小撓度理論 / 近似雙向彎曲問題3.4.2 圓平板對(duì)稱彎曲微分方程分析模型分析模型：半徑R，厚度t的圓平板受軸對(duì)稱載荷Pz，在r、z圓柱坐標(biāo)系中，內(nèi)力Mr、M、Qr 三個(gè)內(nèi)力分量軸對(duì)稱性：幾何對(duì)稱，載荷對(duì)稱，約束對(duì)稱，在r、z圓柱坐標(biāo)系中，撓度只是 r 的函數(shù)，而與無關(guān)。求解思路：經(jīng)一系列推導(dǎo)（基于平衡、幾何、物理方程）彎曲撓度微分方程（）求求內(nèi)力求應(yīng)力微元體：用半徑為r和r+dr的圓柱面和夾角為d的兩個(gè)徑向截面截取板上一微元體。微元體內(nèi)力 ：徑向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：M、 M橫向剪力：Qr

4、、Qr+（dQr/dr）dr微元體外力 ：上表面1、平衡方程微體內(nèi)力與外力對(duì)圓柱面切線T的力矩代數(shù)和為零，即MT=0 （2-54）（圓平板在軸對(duì)稱載荷下的平衡方程）2、幾何協(xié)調(diào)方程(W)取，徑向截面上與中面相距為z，半徑為r與兩點(diǎn)A與B構(gòu)成的微段板變形后：微段的徑向應(yīng)變?yōu)?（第2假設(shè)）過A點(diǎn)的周向應(yīng)變?yōu)椋ǖ?假設(shè)）作為小撓度，帶入以上兩式，得應(yīng)變與撓度關(guān)系的幾何方程： （2-55）3、物理方程根據(jù)第3個(gè)假設(shè)，圓平板彎曲后，其上任意一點(diǎn)均處于兩向應(yīng)力狀態(tài)。由廣義虎克定律可得圓板物理方程為： （2-56）4、圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方程(2-55)代入(2-56)式： （2-57）通過圓板截面

5、上彎矩與應(yīng)力的關(guān)系，將彎矩和表示成的形式。由式（2-57）可見，和沿著厚度(即z方向)均為線性分布，圖2-31中所示為徑向應(yīng)力的分布圖。圖2-31 圓平板內(nèi)的應(yīng)力與內(nèi)力之間的關(guān)系、的線性分布力系便組成彎矩、。單位長度上的徑向彎矩為： （2-58a）同理 （2-58b）參照38頁殼體的抗彎剛度，“抗彎剛度”與圓板的幾何尺寸及材料性能有關(guān)(2-58)代入(2-57)，得彎矩和應(yīng)力的關(guān)系式為： （2-59）(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：即：受軸對(duì)稱橫向載荷圓形薄板小撓度彎曲微分方程： （2-60）Qr值可依不同載荷情況用靜力法求得3.4.3 圓平板中的應(yīng)力（圓平板軸對(duì)稱彎曲的小撓度微分方

6、程的應(yīng)用）承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力：簡支固支承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力圖2-32均布載荷作用時(shí)圓板內(nèi)Qr的確定一、承受均布載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力據(jù)圖2-32，可確定作用在半徑為r的圓柱截面上的剪力，即：代入2-60式中，得均布載荷作用下圓平板彎曲微分方程為：對(duì)r連續(xù)兩次積分得到撓曲面在半徑方向的斜率： （2-61）對(duì)r連續(xù)三次積分，得到中面在彎曲后的撓度。 （2-62）C1、C2、C3均為積分常數(shù)。對(duì)于圓平板在板中心處（r=0）撓曲面之斜率與撓度均為有限值，因而要求積分常數(shù)C2 0 ，于是上述方程改寫為： （2-63）式中C1、C3由邊界條件確定。下面討論兩種典型支承情況(兩種邊界條件)周

7、邊固支圓平板周邊簡支圓平板周邊固支圓平板 周邊簡支圓平板圖2-33 承受均布橫向載荷的圓板1、周邊固支圓平板：（在支承處不允許有撓度和轉(zhuǎn)角）周邊固支圓平板將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數(shù)：代入式（2-63）得周邊固支平板的斜率和撓度方程： （2-64）將撓度w對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)代入式（2-58），便得固支條件下的周邊固支圓平板彎矩表達(dá)式： （2-65）由此（代入2-59）彎曲應(yīng)力計(jì)算試，可得r處上、下板面的應(yīng)力表達(dá)式： （2-66）周邊固支圓平板下表面的應(yīng)力分布，如圖2-34(a)所示。 圖2-34 圓板的彎曲應(yīng)力分布（板下表面）最大應(yīng)力在板邊緣上下表面，即2、周邊簡支圓平

8、板將上述邊界條件代入式（2-63），解得積分常數(shù)C1、C3：代入式（2-63）得周邊簡支平板的撓度方程： （2-67）周邊簡支圓平板彎矩表達(dá)式： （2-68）應(yīng)力表達(dá)式： （2-69）可以看出，最大彎矩和相應(yīng)的最大應(yīng)力均在板中心處，周邊簡支板下表面的應(yīng)力分布曲線見圖2-34(b)。圖2-34 圓板的彎曲應(yīng)力分布（板下表面）3、比較兩種支承a. 邊界條件周邊固支時(shí):周邊簡支時(shí):b. 撓度周邊固支時(shí)，最大撓度在板中心 （2-70）周邊簡支時(shí)，最大撓度在板中心 （2-71）表明: 周邊簡支板的最大撓度遠(yuǎn)大于周邊固支板的撓度。c. 應(yīng)力周邊固支圓平板中的最大正應(yīng)力為支承處的徑向應(yīng)力，其值為 （2-72

9、）周邊簡支圓平板中的最大正應(yīng)力為板中心處的徑向應(yīng)力，其值為 （2-73）表明: 周邊簡支板的最大正應(yīng)力大于周邊固支板的應(yīng)力。內(nèi)力引起的切應(yīng)力：在均布載荷p作用下，圓板柱面上的最大剪力（處），近似采用矩形截面梁中最大切應(yīng)力公式，得到最大正應(yīng)力與同一量級(jí)；最大切應(yīng)力則與同一量級(jí)。因而對(duì)于薄板R>>t，板內(nèi)的正應(yīng)力遠(yuǎn)比切應(yīng)力大。從以上可以看出：與圓平板的材料（E、）、半徑、厚度有關(guān)。若構(gòu)成板的材料和載荷已確定，則減小半徑或增加厚度都可減小撓度和降低最大正應(yīng)力。工程中較多的是采用改變其周邊支承結(jié)構(gòu)，使它更趨近于固支條件增加圓平板厚度或用正交柵格、圓環(huán)肋加固平板等方法來提高平板的強(qiáng)度與剛度4

10、、結(jié)論a. 板內(nèi)為二向應(yīng)力狀態(tài)：且為彎曲應(yīng)力，平行于中面各層相互之間的正應(yīng)力及剪力引起的切應(yīng)力均可予以忽略。b. 應(yīng)力分布: 沿厚度呈線性分布 , 且最大值在板的上下表面。沿半徑呈拋物線分布,且與周邊支承方式有關(guān)。工程實(shí)際中的圓板周邊支承是介于兩者之間的形式。c. 強(qiáng)度: 簡支 固支 d. 剛度: 周邊固支的圓平板在剛度和強(qiáng)度兩方面均優(yōu)于周邊簡支圓平板e(cuò). 薄板結(jié)構(gòu)的最大彎曲應(yīng)力與成正比，而薄殼的最大拉( 壓)應(yīng)力 與成正比。故在相同條件下，薄板所需厚度比薄殼大。二、承受集中載荷時(shí)圓平板中的應(yīng)力撓度微分方程式（2-60）中，剪力可由圖2-35中的平衡條件確定：采用與求解均布載荷圓平板應(yīng)力相同的方法，可求得周邊固支與周邊簡支圓板的撓度和彎矩方程及計(jì)算其應(yīng)力值圖2-35 圓板中心承受集中載荷時(shí)板中的剪力Qr3.4.4 承受軸對(duì)稱載荷時(shí)環(huán)板中的應(yīng)力通常的環(huán)板仍主要受彎曲，仍可利用上述圓板的基本方程求解環(huán)板的應(yīng)力、應(yīng)變，只是在內(nèi)孔邊緣上增加了一個(gè)邊界條件。當(dāng)環(huán)板內(nèi)半徑和外半徑比較接近時(shí)，環(huán)板可簡化為圓環(huán)。圓環(huán)在沿其中心線（通過形心）均布力矩M作用下，矩形截面只產(chǎn)生微小的轉(zhuǎn)角 而無其它變形，從而在圓環(huán)上產(chǎn)生周向應(yīng)力。這類問題雖然為軸對(duì)稱問題，但不能應(yīng)用上述圓平板的基本方程求