中考數(shù)學(xué)壓軸題之初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)(中考題型整理,突破提升)及詳細(xì)答案

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題之初中數(shù)學(xué) 旋轉(zhuǎn)（中考題型整理，突破提升）及詳細(xì)答案一、旋轉(zhuǎn)1 .閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的 頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這 個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為 手拉手”圖形.如圖1,在 手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若 /BAJ /DAE, AB=AC, AD=AE,則 BD= CE在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造手拉手”圖形來(lái)解答下面的問(wèn)題：（2）如圖 2, AB=BC, /ABC=/BDC= 60°,求證：AD+CD= BD；如圖3,在 ABC中，AB= AC, Z BAC

2、= m° ,點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)，點(diǎn) D為BC中點(diǎn), / EBC= / ACE ED，F(xiàn)D,求/ EAF的度數(shù)（用含有 m的式子表示）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） ZEAF =1m0 .2【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EQ只要證明DAB0EAC即可；（2）如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE.首先證明4BDE是等邊三角形，再證明 ABD0 4CBE即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) m°得到AG,連接CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED到M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.想辦法證明AFEAFG 可得 / EAF=Z F

3、AG=1 m° .2詳（1）證明：如圖1中， Z BAC=Z DAE,Z DAB=Z EAC, 在 DAB和EAC中,AD=AEDAB= EAC ,AB= AC DABZ EAC,，BD=EC(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)DC至ij E,使得DB=DE DB=DE, /BDC=60,° .BDE是等邊三角形， / BD=BE, / DBE=Z ABC=60 :/ ABD=Z CBE, .AB=BC, .ABDACBE,.AD=EC, BD=DE=DC+CE=DC+A D .AD+CD=BD.(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED

4、到 M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.由(1)可知 EAg AGAC,.1. / 1 = / 2, BE=CQ3 BD=DC, /BDE=/CDM, DE=DM,4 .EDBAMDC,EM=CM=CG, / EBC=Z MCD,5 / EBC=Z ACF,/ MCD=Z ACF,/ FCM=Z ACB=Z ABC,/ 1=3=/ 2,6 / FCG4 ACB=Z MCF,. CF=CF CG=CM,.-.CFGACFM,.FG=FM,7 . ED=DM, DF± EM,8 .FE=FM=FG9 . AE=AG, AF=AF,10 .AFEAAFG,/ EAF=Z FAG=1 m

5、° .2點(diǎn)睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性 質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用半拉手”圖形中的全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造 半拉手”模型，解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.2.在正方形 ABCD中，點(diǎn)E, F分別在邊BC, CD上，且/ EAF=/ CEF=45：（1）將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得到4ABG儀口圖），求證：AE84AEF;（2）若直線(xiàn)EF與AB, AD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn) M, N（如圖），求證：EF2=ME2+NF2；將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖），請(qǐng)你直接寫(xiě)出線(xiàn)段 EF,BE, DF之

6、間的數(shù)量關(guān)系.圖1 /圖圖【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） E聲=2BE2+2DF2 【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AF=AG, /EAF=Z GAE=45 ,故可證4AE® AAEF;（2）將ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AARG,連結(jié)GM.由（1）知 AEGAAEF則EG=EF再由 BME、DNF、 CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF BE=BM, NF=?DF,然后證明/ GME=90 , MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF?=ME2+NF2；（3）將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得

7、到ABC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到 ADFAABG,貝U DF=BG 再證明AE8 4AEF,得出 EG=EF 由 EG=BG+BE 等量代換 得至U EF=BE+DF試題解析：（1） ,ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至ij ABG,，AF=AG, /FAG=90,° / EAF=45,°/ GAE=45 ；在 AGE與4AFE中，AG = AFjLGAE - FAE = 45 *AE - AE '.AGEAAFE （SA§ ；G堂（2）設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為a.將 ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ABG,連結(jié)GM .貝MADFMBG,

8、 DF=BG由（1）知AE8 4AEF,.EG=EF/ CEF=45,° .BME、DNF、CEF均為等腰直角三角形， .CE=CF BE=BM, NF= DF, a - BE=a- DF,，BE=DE .BE=BM=DF=BG/ BMG=45 ；/ GME=45 +45 =90 ；EG2=ME2+MG2, . EG=EF MG=BM=y DF=NF, .ef2=me2+nf2；(3) EF2=2BE2+2DF2.如圖所示，延長(zhǎng) EF交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于M點(diǎn)，交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于N點(diǎn),將4ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AAGH,連結(jié)HM , HE.由(1)知AEHAEF,則由勾股

9、定理有(GH+BE 2+BG2=EH2,即(GH+BE 2+ (BM-GM) 2=EH2X-. EF=HE DF=GH=GM, BE=BM,所以有(GH+BE 2+ (BE- GH) 2=EF2, 即 2 (DF2+BE2) =EF2D ，B®考點(diǎn)：四邊形綜合題3.已知正方形 ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn) BD上一點(diǎn)，過(guò) E點(diǎn)作EF±BD交BC于F,連接DF, G為DF中點(diǎn)，連接 EG, CG.(1)請(qǐng)問(wèn)EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖中4BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，

10、請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)將圖中aBEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖 所示，再連接相應(yīng)的線(xiàn)段，問(wèn)(1)中 的結(jié)論是否仍然成立？(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出理由)R F C BC 5圖0圖圉【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)結(jié)論仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可證出CG=EG.(2)結(jié)論仍然成立，連接 AG,過(guò)G點(diǎn)作MN，AD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 N點(diǎn)；再證明DAG2 4DCG,得出 AG=CG;再證出 DMGFNG,得到 MG=NG;再證明 AMGAENG,得出 AG=EG;最后證出 CG=EG.(3)結(jié)論依然成立.【詳解】(1)

11、 CG=EG.理由如下：四邊形 ABCD 是正方形，./DCF=90 ：在 RtFCD 中，G 為 DF 的中點(diǎn)，CG=-FD,2同理.在 RtDEF 中，EG=1 FD, . . CG=EG.2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG.證法一：連接 AG,過(guò)G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 N點(diǎn).在 4DAG 與 4DCG 中，AD=CD, Z ADG=Z CDG, DG=DG, .1. ADAGADCG (SA0 , .AG=CG;在4DMG 與 4FNG 中，/ Z DGM=Z FGN, FG=DG, Z MDG=Z NFG, .1.DMGAFNG (ASA) ,MG=NG.

12、 Z EAM=Z AEN=Z AMN=90 ；，四邊形 AENM 是矩形，在矩形 AENM 中，AM=EN.在 AMG 與 4ENG 中，/ AM=EN, ZAMG=Z ENG, MG=NG, .1. AAMGAENG (SAS?), .AG=EG, EG=CG.證法二：延長(zhǎng) CG至M,使 MG=CG,連接 MF, ME, EC.在ADCG與AFMG中， . FG=DG, /MGF=/CGD MG=CG, .DC®"MG, . MF=CD, / FMG=/ DCG, .MF/CD/ AB,EF± MF.在 RtMFE與 RtCBE中，/ MF=CB, Z MFE=

13、Z EBC=90°, EF=BE, .1.AMFEACBEZ MEF=Z CEB,Z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CE3/CEF=90； . . MEC為直角三角形. . MG=CG, EG=-MC, . EG=CG.2(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過(guò)F作CD的平行線(xiàn)并延長(zhǎng) CG交于M點(diǎn)，連接EM、EG過(guò)F作FN垂直于AB于N. 由于G為FD中點(diǎn)，易證 CD84MFG,得到CD=FM,又因?yàn)锽E=EF,易證 /EFM=/EBC,貝必£5“0飛3弓 Z FEM=Z BEC EM=EC / FEG/ BEC=90 ；ZFEC+Z FEM=90 ；即 / ME

14、C=90 ； . MEC 是等腰直角三角形.圖（一】圖（二）圖由【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題. G 為 CM 中點(diǎn)，EG=CG, EG± CG1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解答;（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和 性質(zhì)解答.4. (1)如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn) AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)EF，BD,交 AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫(xiě)出/EBF的度數(shù)；(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖 ，點(diǎn)G、I分別在BF、BE邊上，且BG=

15、BI,連 接GD, H為GD的中點(diǎn)，連接 FH并延長(zhǎng)，交ED于點(diǎn)J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線(xiàn)段 IH與FH之間滿(mǎn)足的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)把中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖 ，當(dāng)矩形ABCD滿(mǎn)足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是對(duì)角 線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AG、GE、EC三者之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；60° . (2)ih= J3fh； eg2=ag2+cE?.【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出E0= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形， 再證明EB= ED即

16、可. 先證明/ABD= 2ZADB,推出/ ADB= 30°,延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.(2) IH= J3FH.只要證明JF是等邊三角形即可.(3)結(jié)論：EG2=AG2+C色 如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM,先證 明DE8 4DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形, .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO, 在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OBEOD= BOF.,.DOEABOF7, .EO= OF, 1.OB=OD）, 四邊形EBFD是平行四邊形， EFL BD, O

17、B=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 °,，/ADB=30； /ABD=60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 °,/ EBF= 60 °.（2）結(jié)論：ih=J3fh.理由：如圖2中，延長(zhǎng)BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.W1. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 °, ,-.EB=BF= ED, DE/ BF,/ JDH= / FGH, 在 DHJ和AGHF中，DHG= GH

18、F DH=GH ,JDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF, .EJ= BG= EM=BI, .BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ；.MEJ是等邊三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60° 在 BIF和AMJI中，BI=MJB= M ,BF=IM2 .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH± JF3 / BF+Z BIF= 120 :4 / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90°, /IF

19、H= 60°,/ FIH= 30 ; IH= 73 FH.(3)結(jié)論：EG2=AG2+C邑理由：如圖3中，將4ADG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM, / FA。/ DEF= 90 °, .AFED四點(diǎn)共圓，/ EDF= / DAE= 45 °, / ADC= 90 ； / ADF+Z EDC= 45 °, / ADF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG, 在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDM , DG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD= 45 ；

20、AG= CM,/ ECM= 90 °EC2+CM2= EM2,. EG=EM, AG=CM, .gE=ag2+c邑【點(diǎn)睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn) 化的思想思'考問(wèn)題.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（0, 4）, B（4, 4）,點(diǎn)M, N是射線(xiàn)OC上兩動(dòng)點(diǎn)（OMVON）,且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 /MAN = 45。，小明用幾何畫(huà)板探究其中的線(xiàn)段關(guān)系.（1）探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn) M, N均在線(xiàn)段OB上時(shí)（如圖1）,有OM2+BN2 = MN2.他的證

21、明思路如下：第一步：將 4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.第二步：證明 APMANM,得 MP=MM.第一步：證明 /POM=90°,得 OM2+OP2=MP2.最后得到OM，BN2 = MN2.請(qǐng)你完成第二步三角形全等的證明.圖2圖3（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM2+BN2=MN2的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證 明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）新題編制：若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題 （不標(biāo)注新的字母），并直接給出 答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分 ）.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3

22、）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.證明 APMAANM,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M, N在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)結(jié)論仍然成立.證明方法類(lèi)似（1）;（3）如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求 MN的長(zhǎng).利用（2）中結(jié)論，構(gòu)建方程即可解 決問(wèn)題.【詳解】（1）如圖1中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得APO,連結(jié)PM,則有BN= OP.圖I1 點(diǎn) A(0, 4), B(4, 4),.OA = AB, Z OAB= 90 °,3 / NAP= / OAB= 90 °, / M

23、AN = 45 °,/ MAN= / MAP,4 . MA = MA, AN=AP,.MANAMAP(SAS).(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.理由：如圖2中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得aAPO,連結(jié)PM,則有BN= OP.5 / NAP= / OAB= 90 °, / MAN = 45 °, / MAN= / MAP,6 . MA = MA, AN=AP,7 .MANAMAP(SAS),.MN = PM,8 / ABN= ZAOP= 135 ； / AOB= 45 ； / MOP=90 °,. .PM2= OM2+OP2,.-.om2+

24、bn2=mn2；(3)如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求 MN的長(zhǎng). 設(shè) MN= 2x,貝U BM= BN=x,-，OA = AB= 4, /OAB= 90 °, .OB=4 2 ，：. OM = 4 萬(wàn)-x, ,.OM2+bN2= MN2.，(4 應(yīng)-x)2+x2= (2x)2,解得 x= - 2，2+2 J6 或-2 J2 - 2 J6 (舍棄).-，MN = -472+4>/6 .【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性 質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn) 題，屬于中考?jí)狠S題.6.如圖

25、 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.點(diǎn) D、E分別在 AC BC邊上，DC= EG 連接 DE、AE、BD.點(diǎn) M、N、P分別是 AE、BD> AB 的中點(diǎn)，連接 PM、PN、MN.C E B CBCE 5國(guó)1S2曾用圉(1) PM與BE的數(shù)量關(guān)系是 , BE與MN的數(shù)量關(guān)系是 .(2)將ADEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖 2的位置，判斷(1)中BE與MN的數(shù)量關(guān)系結(jié)論 是否仍然成立，如果成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周白過(guò)程中，當(dāng) B、E、D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，求 MN的

26、長(zhǎng)度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ； (2)成立，理由見(jiàn)解析；(3) MN=Ji7 - 21或折+1【解析】【分析】(1)如圖1中，只要證明VPMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題；(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立，連接 AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另U AE、1 1BD、AB 的中點(diǎn)，推出 PM/BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出2 2PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM 2 MN V2mN ;2(3)有兩種情形分別求

27、解即可 .【詳解】(1)如圖1中，小C EBHl. AM = ME, AP= PB,-1 -LPM B BE, PM -BE , 2 . BN=DN, AP=PB, 1 .PN/AD, PN AD, 2 . AC= BC, CD= CE,.AD= BE,.PM = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形，MN V2PM，1 MN .2 -BE , 2BE 拒MN ，1故答案為 PM -BE , BE J2MN - 2(2)如圖2中，結(jié)論仍然成立.CB即理由：連接AD、延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)H.

28、 ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / AC耳/ ACD= / ECB .ECBDCA, .BE=AD, /DAC=/EBG Z AHB=180 - (/HAB+/ABH)= 180°- (45°+/HAC+/ABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHXAD, M、N、P分別為AE BD、AB的中點(diǎn)，1 .PM/BE, PM BE, PN/AD, P

29、N 2.PM = PN, /MPN=90；BE 2PM 2 MN 2MN .2(3)如圖3中，作CGL BD于G,則CG GE DG J2,當(dāng) D、E、B 共線(xiàn)時(shí)，在 RtA BCG 中，BG JBC2 CG2 J62,-2 2BE BG GE ,34 5 MN&E2如圖4中，作CG，BD于G,則CG GE DG J2,當(dāng)D、E、B共線(xiàn)時(shí),在 RtABCG 中，bg VbCCG Jo2 投2 商，BE BG GE MN BE2綜上所述，MN = 歷-1 或 J17 +1.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、 股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,

30、題，屬于中考?jí)狠S題.全等三角形的判定和性質(zhì)、勾學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)7.已知正方形 ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò) E點(diǎn)作EF±BD交BC于F,連接DF, G 為DF中點(diǎn)，連接EG CG(1)求證：EG=CG;(2)將圖中4BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,如圖 所示,取DF中點(diǎn)G,連接EGCG問(wèn)(1)中的 結(jié)論是否仍然成立 *成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)將圖中ABEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線(xiàn)段，問(wèn)(1)中的結(jié)論是 否仍然成立？通過(guò)觀察你還能彳#出什么結(jié)論(均不要求證明).5C【答案】解：(1)GCG=EG(2) (1)中結(jié)論沒(méi)有發(fā)生變化，

31、即EG=CG證明：連接 AG,過(guò)G點(diǎn)作MN XAD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 N點(diǎn).A在ADAG與ADCG中， AD=CD, /ADG=/CDG, DG=DG, DAG DCG.AG=CG在 ADIVIG 與FNG 中， /DGM=/FGN, FG=DG / MDG=/NFG, ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在 RtAAMG 與 RtENG 中， AM=EN, MG=NG, AAMGA ENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.【解析】試題分析：(1)利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可證出 CG=EG(2)結(jié)論仍然成立，連接 AG,過(guò)G點(diǎn)作

32、MNLAD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)；再證明DA8 4DCG,得出 AG=CG 再證出 DMGFNG,得到 MG=NG;再證明 AMGAENG,得出 AG=EQ 最后證出 CG=EG(3)結(jié)論依然成立.還知道 EG± CG;試題解析：解：(1)證明：在RRFCD中，.G為DF的中點(diǎn)，同理，在 RtDEF中，EG = -FD ,2，CG=EG(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即 EG=CG連接AG,過(guò)G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 N點(diǎn)，如圖所示:在4DAG與4DCG中，1 . AD=CD, /ADG=/ CDG, DC=DQ.DAGADCG,2 .AG=CG在4DMG與4FN

33、G中，3 / DGM=Z FGN, DG=FQ / MDG=Z NFG,4 .DMGAFNG,.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN., 在 RtAAMG 與 RtENG 中，5 . AM=EN, MG=NG,6 .AMGAENG,.AG=EG, EG=CG(3) ( 1)中的結(jié)論仍然成立，即 EG=CG且EG±CG過(guò)F作CD的平行線(xiàn)并延長(zhǎng) CG交于M點(diǎn)，連接EM、EC,過(guò)F作FN垂直于AB于N,如圖 所示：由于G為FD中點(diǎn)，易證 CDGWMFG,得到 CD=FM,又因?yàn)?BE=EF 易證 /EFM=/ EBC,貝U EFM EBG / FEM=/ BEC EM=EC / FEE

34、 BEC=90,° / FEE FEM=90 ；即 / MEC=90 ； MEC是等腰直角三角形，.G為CM中點(diǎn)，EG=CG EG± CGo【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，且利用了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。8.如圖,在QABCD中，AB=10cm, BC=4cm, /BCD=120： CE平分/BCD交 AB于點(diǎn) E.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接 CP,將 PCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，使CE與CB重合，得到aQUB,連接PQ.(1)求證：4PCQ是等邊三角形；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段EB上運(yùn)動(dòng)

35、時(shí)，4PBQ的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以點(diǎn) P、B、Q為頂點(diǎn)的直角三角形？(3)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，理由見(jiàn)解析；(3) t為2s或者14s. 【解析】分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明 PC®4QCB,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三 角形的判定證明即可；(2)利用平行四邊形的性質(zhì)證得 4BCE為等邊三角形，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 PBQ的周長(zhǎng)為4+CP,然后垂線(xiàn)段最短可由直角三角形的性質(zhì)求解即可；(3)根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)的距離，分類(lèi)討論求解即可.詳解：(1) :旋轉(zhuǎn).P

36、CEEAQCB，CP=CQ /PCE =/ QCB, / BCD=120 ,° CE平分 / BCD,/ PCQ=60 ； / PCE 吆 QCE=Z QCB+Z QCE=60 ,° . PCQ為等邊三角形.(2)存在. CE 平分 / BCD,/ BCE=60 , 在平行四邊形 ABCD中， .AB/ CD/ ABC=180 - 120 =60 ° BCE為等邊三角形BE=CB=4 旋轉(zhuǎn).-.PCEAQCB .EP=BQ. CpbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP.-.CP± AB時(shí)， PBQ周長(zhǎng)最小當(dāng) CP, AB 時(shí)，CP

37、=BCsin60 =273 .PBQ周長(zhǎng)最小為4+ 2J3(3)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí)，P,B,Q不能構(gòu)成三角形當(dāng)0W6時(shí)，由旋轉(zhuǎn)可知，/ CPE=Z CQB,/ CPQ=Z CPB+Z BPQ=60 °則：/BPQ+/ CQB= 60°,又 / QPB+Z PQC+Z CQB+Z PBQ=180/ CBQ=180-60 -60 =60 °/ QBP=60 ； B BPQ< 60 °,所以/ PQB可能為直角由(1)知， PCQ為等邊三角形，/ PBQ=60 ； / CQB= 30 ° / CQB= / CPB/ CPB=30 °/

38、 CEB= 60 :/ ACP= / APC=30PA=CA=4,所以 AP=AE-EP=6-4=2所以t=2 1 2s當(dāng)6v tv 10時(shí)，由/PBQ=120°>90°,所以不存在 當(dāng)t>10時(shí)，由旋轉(zhuǎn)得： /PBQ=60°,由（1）得/CPQ=60°/ BPQ=/ CPQ+/ BPC=60+°/ BPC,而/ BPO 0°, / BPQ> 60 °/ BPQ=90 ；從而 / BCP=30,°BP=BC=4所以 AP=14cm所以t=14s綜上所述：t為2s或者14s時(shí)，符合題意。點(diǎn)睛：此題主

39、要考查了旋轉(zhuǎn)圖形變化的應(yīng)用，結(jié)合平行四邊形、等邊三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，進(jìn)行解答即可，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，比較困難9.如圖 1, 4ABC 中，CA=CB, Z ACB=90 °,直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C, AFL 于點(diǎn) F, BEX l 于點(diǎn) E. （1）求證：4AC陣 CBE；（2）將直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)到如圖 2所示位置，點(diǎn) D是AB的中點(diǎn)，連接DE.若AB=4/2 ,/CBE=30 ;求 DE 的長(zhǎng).圖1配 了【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）應(yīng)加【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直的定義得到 /BEC=/ACB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 /EBO/CAF,即可得到結(jié)論；（2）

40、連接CD, DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BE=CF, CE=AF,證得 DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=J2DE, EF=C&BE,進(jìn)而得至ij DE的長(zhǎng).試題解析：解：（1）BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°,Z EBC+Z BCE=Z BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點(diǎn) F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE與AACF中， EBC ACF , .ACHCBE(AAS);BC AC(2)如圖 2,連接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC

41、=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BC&/ACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點(diǎn) F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE與ACAF中， EBC ACF ,ABCEACAF (AAS)；BC ACBE=CF. ,點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn),，CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而B(niǎo)E CF /EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 BDE與CDF中， EBD FCD ,BD CF.,.BDEACDF (SA9 , . / EDB=/FDC, DE=DF, / BDE+/ C

42、DE=90 ； / FDG/ CDE=90 ；即 / EDF=90 ； . EDF是等腰直角三角形，. EF=& DE,EF=CE+CF=CE+BE. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=472 , . BC=4 .又一/ CBE=30°,.CE=1bC=2, BE=V3cE=2 73,EF=CE+BE=2+2V3 , DE= = 23 =四+76.點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形 斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，證得 BCEACF是解題的關(guān)鍵.10.在正方形 ABCD中，連接 BD.(1)如圖1, AEXBDT E.直接寫(xiě)出/BA

43、E的度數(shù).(2)如圖1,在(1)的條件下，將 4AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30。后得到 AB' E'AB'與BD交于M, AE'的延長(zhǎng)線(xiàn)與 BD交于N.依題意補(bǔ)全圖1 ; 用等式表示線(xiàn)段 BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(3)如圖2, E、F是邊BC CD上的點(diǎn)，4CEF周長(zhǎng)是正方形 ABCD周長(zhǎng)的一半，AE、AF 分別與BD交于M、N,寫(xiě)出判斷線(xiàn)段 BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫(xiě)出完 整推理過(guò)程)【答案】(1) 45° (2) 補(bǔ)圖見(jiàn)解析；BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,證明見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)

44、解析.【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可；(2)依題意畫(huà)出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線(xiàn)段的關(guān)系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可；(3)利用4CEF周長(zhǎng)是正方形 ABCD周長(zhǎng)的一半，判斷出 EF=EG再利用(2)證明即可.解：(1) BD 是正方形 ABCD 的對(duì)角線(xiàn)，/ABD=/ ADB=45 ,AE± BD,/ ABE=Z BAE=45 ,°(2) 依題意補(bǔ)全圖形，如圖 1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是 BM2+MD2=MN2 ,將 AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到AEB,/ ADB=Z F

45、BA, / BAF=Z DAN, DN=BF, AF=AN, .在正方形 ABCD 中，AE± BD, . . / ADB=/ABD=45/ FBM=Z FBA+Z ABD=ZADB+Z ABD=90 ；在RtA BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B2+BM2=FM2,旋轉(zhuǎn) 4ANE 得到 AB1E1, ./日AB=45；/ BAB1+/DAN=90° - 45 =45 °, / BAF=DAN/ BAB + / BAF=45°,/ FAM=45°,/ FAM=Z E1AB1, .AM=AM, AF=AN,AAFMAANM, . FM=MN ,1.

46、fb2+bm2=fm2, l- dn2+bm2=mn2,(3)如圖2,DGH E將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得到AARG,，DF=GR正方形 ABCD的周長(zhǎng)為4AB, 4CEF周長(zhǎng)為EF+EC+CF CEF周長(zhǎng)是正方形 ABCD周長(zhǎng)的一半，4AB=2 (EF+EC+CF , . 2AB=EF+EC+CF EC=AB- BE, CF=AB- DF, . 2AB=EF+AB- BE+AB- DF, . EF=DF+BE DF=GB, .1. EF=GB+BE=GE 由旋轉(zhuǎn)得至U AD=AG=AB) . AM=AM ,AAEGAAEF, / EAG=/ EAF=45,°和(

47、2)的一樣，得到dn2+bm2=mn2.熏睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判 斷出(AFNANM,得到FM=MM是，是解題的關(guān)鍵.11. (1)觀察猜想如圖，在4ABC中，/BAC=90, AB=AC點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).以點(diǎn) D為頂點(diǎn)作正方形DEFG使點(diǎn)A, C分別在DG和DE上，連接AE, BG,則線(xiàn)段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是,(2)拓展探究將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于 0°,小于或等于 360°),如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng) 說(shuō)明理由.解決問(wèn)題若BC=D

48、E=2在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) AE為最大值時(shí)，直接寫(xiě)出 AF的值.E2【答案】(1) BG= AE.(2)成立.如圖，連接AD. ABC是等腰三直角角形，Z BAC= 90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE. 分7(3)由(2)知，BG= AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 270°時(shí)，BG最大，如圖.若 BC= DE= 2,貝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF

49、2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF=-.【解析】解：（1） BG= AE.（2）成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC= 90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.（3）由（2）知，BG= AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.Z+X+X+KDG為半徑的D逆時(shí)針?lè)较蛞驗(yàn)檎叫蜠EFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn) D為圓心, 圓，故當(dāng)正方形 DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC

50、的延長(zhǎng)線(xiàn)上（即正方形 DEFG繞點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)270。）時(shí)，BG最大，如圖 .若 BC= DE= 2,貝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2= AE2+ EF2= (AD+ DE)2+ EF2= (1 + 2)2+ 22= 13. -AF=a/B .即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=Jfj .12.已知4ABC是等腰三角形， AB=AC.(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DE/ BC時(shí)，有DB_ EC (填 > 之”或 冶(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖 1中的4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a ( 0°< “V 180°)到圖2位置， 則(1)中的結(jié)論

51、還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展運(yùn)用：如圖 3, P是等腰直角三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，/ACB=90,且PB=1, PC=2, PA=3,求/BPC的度數(shù).【解析】【分析】試題(1)由DE/ BC,得至U DB 型，結(jié)合AB=AC,得至U DB=ECAB AC(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出DAB0 4EAC,得到DB=CE(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出 CPg4CEA再用勾股定理計(jì)算出 PE,然后用勾股定理逆定理判斷 出 PEA是直角三角形，在簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】(1) DE/ BC,DB EC AB AC ',.AB=AC, ，DB=EC 故答案為二,(2)成立.證明

52、：由易知AD=AE,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 / DAB=Z EAC,X / AD=AE, AB=AC DABZ EAC,DB=CE(3)如圖,將CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90。得ACEA,連接PE.,.CPBACEA.CE=CP=2 AE=BP=1, /PCE=90 / CEP4 CPE=45,°在RtPCE中，由勾股定理可得，PE=2J2，在4PEA中，Pm=(2T2)2=8, AE2=12=1, pK=32=9, .PE2+AE2=AP2, PEA是直角三角形/ PEA=90 ,°/ CEA=135, °又. ACPBACEA/ BPC=Z CEA=135 , °【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：幾何變換綜合題；平行線(xiàn)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例13.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，A (1, 7)、B (5, 5)、C (7, 5)、D (5, 1) .(1)將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段 BE.當(dāng)BE與CD第