第五章連續(xù)系統(tǒng)的S域分析

1、第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域二、收斂域三、三、(單邊單邊)拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質5.3 5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換5.4 5.4 復頻域分析復頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數二、系統(tǒng)函數三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖四、電路的四、電路的s域模型域模型5.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換 一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換 有些函數不滿足絕對可積條件，求

2、解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實常數）乘信號f(t) ，適當選取的值，使乘積信號f(t) e-t當t時信號幅度趨近于0 ，從而使f(t) e-t的傅里葉變換存在。相應的傅里葉逆變換為相應的傅里葉逆變換為 Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數），雙邊拉氏變換（或象函數），f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數）。雙邊拉氏逆變換（或原函數）。二、收斂域二、收斂域只有選擇適當的選擇適當的值值才能使積分收斂，信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題

3、。收斂域的問題。 解：例1 因果信號f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯變換。可見，對于因果信號，僅當Res=時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。 解：解：例例2 反因果信號反因果信號f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換?？梢姡瑢τ诜匆蚬盘?，僅當Res=時，其收斂域為Res的一個帶狀區(qū)域，如圖所示。如圖所示。 解解例4 求下列信號的雙邊拉氏變換。f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)f2(t)= e -3t (t) e-2t (t)f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t)可見，象函數相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換

4、必須標出收斂域。結論： 1、對于雙邊拉普拉斯變換而言，F(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2、不同的信號可以有相同的F(S)，但他們的收斂域不同；不同信號如果有相同的收斂域，則他們的F(S)必然不同！三、單邊拉氏變換 通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。本課程主要討論單邊拉氏變換。四、常見函數的拉普拉斯變換 1、(t) 1，Re(S) - 2、(t)或1 1/s , Re(S) 0 3、 (t) 1， Re(S) - 4、 t(t) 1/s2 , Re(S) 0 解：例例5.15求復指數函數（式中求復指數函數（

5、式中s0為復常數）為復常數）f(t)=es0t (t)的象函數的象函數ReRe,1)(000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若s0為實數，令s0，則有Re,1)(Re,1)(sstesstett若s0為實數，令s0j，則有0Re,1)(0Re,1)(sjstesjstetjtj1212( )( )( )( )ax tbx taX sbXs則則ROCROC至少是至少是12RR5.25.2拉氏變換的基本性質拉氏變換的基本性質v 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質。這里只著重于性質。這里只著重于ROCROC的討論。的討論。1. 1.

6、 線性（線性（Linearity Linearity ）：）：11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC: R若若112( )1,11sX sss ROC:1 21( ),1XssROC:1 12( )( )1x tx tt而而ROC為整個為整個S平面平面 當當 與與 無交集時，表明無交集時，表明 不存在。不存在。1R2R( )X s例例. .)()()(1tettxt)()(2tetxt2. 時移性質（時移性質（Time Shifting）:( )( ),x tX sROC:R若若00()( ),stx ttX s eROC不變不變則則3. S域平移（域

7、平移（Shifting in the s-Domain）:( )( ),x tX sROC:R若若則則00( )(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是將是將 的的ROC平移了平移了一個一個 。0()X s s( )X s0Res例例. .1( ),1X ss1 顯然顯然ROC:3 )()(tetxt31)2()().(32SSXteetxttRe sa R 4. 時域尺度變換（時域尺度變換（Time Scaling）:ROC:R( )( ),x tX s若若1()()sx atXaaROC : aR則則當當 時時 收斂，收斂， 時時 收斂收斂R( )sXaRR

8、e sa( )X s例例. .1 11)()()(ssXtetxt求求 的拉氏變換及的拉氏變換及ROC)()2(2tetxt12( ),1212X sss1ROC:2 可見：可見：若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在在S平面上作相反的尺度變換。平面上作相反的尺度變換。()(),xtXs ROC:R特例特例1212( )( )( )( )x tx tX s XsROC:12RR包括包括 5. 卷積性質卷積性質:11( )( ),x tXs1ROC : R22( )( ),x tXs2ROC:R若若則則121RR顯然有顯然有:例例. .11( ),1X ss

9、21( ),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121( )( ),23X s Xsss2, ROC擴大擴大 原因是原因是 與與 相乘時，發(fā)生了零極點相相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現象。當被抵消的極點恰好在抵消的現象。當被抵消的極點恰好在ROC的邊的邊界上時，就會使收斂域擴大。界上時，就會使收斂域擴大。2( )X s1( )X s6. 時域微分時域微分: :（Differentiation in theTime Domain）( )( ),dx tsX sdt( )( ),x tX sROC:RROC包括包括R, ,有可能擴大。有可能擴大。若若則則7. S域微分域微分:（Diffe

10、rentiation in the s-Domain）( )( ),x tX s( )( ),dX stx tds若若則則ROC: RROC: R21( )()X ssaROC:a的像函數例，求)()(ttetxt答案答案8、時域積分特性（積分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 則)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf已知后者，也已知后者，也可推出前者可推出前者例例2:已知因果信號已知因果信號f(t)如圖如圖,求求F(s)9、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函數f(t)初值定理設函數f(

11、t)不含(t)及其各階導數，終值定理若f(t)當t 時存在，并且f(t) F(s) , Res0,？05.3 拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換-復變函數積分復變函數積分。比較困難比較困難 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性質（3） 部分分式展開-結合 若象函數若象函數F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為若若mn （假分式）,可用多項式除法將象函數F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。 由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數構成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開

12、法 若F(s)是s的實系數有理真分式（m0dtetfjFtj)()(分析因果信號兩種變換的關系分析因果信號兩種變換的關系設設Res 0(1) 00;收斂域在虛軸右邊，在s=j處不收斂，傅立葉變換不存在 這時有：(1) 00;收斂域包含虛軸，在s=j處收斂，傅立葉變換存在。jssFjF| )()(例如：例如：Re,1)(, 0),()(sssFtetft其拉普拉斯變換為其傅立葉變換為其傅立葉變換為jsFjFjs1| )()( 分析：因為分析：因為 00，所以在虛軸上有極點，即，所以在虛軸上有極點，即F(s)的分母多項式的分母多項式A(s)=0必有虛根。必有虛根。 設A(s)=0有N個虛根（單根）j1, j2, jn,將F(s)展開成部分分式，并把它分成兩部分，極點在左半平面的部分令為Fa(s)。則有(1) 00;在虛軸上不收斂在虛軸上不收斂。NiiiajsKsFsF1)()( 因為因為如令如令L-1Fa(s)=fa(t),則上式的拉普拉斯變換為則上式的拉普拉斯變換為NitjiateKtftfi1)()()()(1)(iitjwjeLi所以，f(t)