圓錐曲線解題技巧和方法綜合經(jīng)典

1、圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識(shí)儲(chǔ)備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率點(diǎn)到直線的距離 夾角公式：（3）弦長(zhǎng)公式直線上兩點(diǎn)間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程：(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M滿足則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（ ）A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩

2、條射線；D、一條射線(5)、焦點(diǎn)三角形面積公式：（其中）(6)、記住焦半徑公式：（1），可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3）(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？ 第二、方法儲(chǔ)備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有，；兩式相減得=2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？ 設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)代入曲線方程得到兩個(gè)式子，然后-，整體消元·····

3、;·，若有兩個(gè)字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。例1、已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌

4、跡方程；解：（1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設(shè)直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點(diǎn)（0，設(shè)D（x,y），則，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系，如圖，若設(shè)C，代入，求得，進(jìn)而

5、求得再代入，建立目標(biāo)函數(shù)，整理，此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對(duì)可采取設(shè)而不求的解題策略,建立目標(biāo)函數(shù)，整理,化繁為簡(jiǎn). 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標(biāo)表示，回避的計(jì)算, 達(dá)

6、到設(shè)而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法例3已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過程略.分析2：如果

7、從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解問題關(guān)于x的方程有唯一解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為：于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q

8、的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓

9、方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過程。簡(jiǎn)解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡(jiǎn)得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，

10、難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率

11、k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)

12、該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）

13、中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評(píng)：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推

14、理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由。思維流程：寫出橢圓方程由，（） 由F為的重心（）兩根之和，兩根之積得出關(guān)于m的方程解出m 消元 解題過程： （）如圖建系，設(shè)橢圓方程為,則又即 ， 故橢圓方程為 （）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則設(shè)，故，于是設(shè)直線為 ，由得， 又

15、得 即 由韋達(dá)定理得解得或（舍） 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對(duì)邊，然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零例7、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、三點(diǎn)（）求橢圓的方程：（）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)心的坐標(biāo)；由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)設(shè)方程為得到的方程組解出思維流程：（） 由內(nèi)切圓面積最大轉(zhuǎn)化為面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大為橢圓短軸端點(diǎn)面積最大值為（） 得出點(diǎn)坐標(biāo)為解題過程： （）設(shè)橢圓方程為，將、代入橢圓E的方程，得解得.橢圓的方程 （），設(shè)邊上的高為 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，

16、因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為定值6所以， 所以的最大值為所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為.點(diǎn)石成金：例8、已知定點(diǎn)及橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；（）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.思維流程：（）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將代入， 消去整理得 設(shè) 則 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得，解得，符合題意。所以直線的方程為 ，或 . （）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù). 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時(shí) 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)， 亦有 綜上，在軸上存在

17、定點(diǎn)，使為常數(shù).點(diǎn)石成金：例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m0），交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。 （）求橢圓的方程； （）求m的取值范圍； （）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.思維流程：解：（1）設(shè)橢圓方程為則 橢圓方程為（）直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m又KOM= 由直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)， （）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè) 則由而故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形例10、

18、已知雙曲線的離心率，過的直線到原點(diǎn)的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程：解：（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點(diǎn)是，則即故所求k=±.點(diǎn)石成金: C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBECD;例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1 （）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維流程：解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（II）設(shè)聯(lián)立得，則又因?yàn)橐詾橹睆降膱A過橢圓的右頂點(diǎn)，即. 解得：，且均滿足當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)