《直線面所成的角與面角》同步練習(xí)

1、2013年同步練習(xí)一、填空題1. （3分）在邊長為 a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角 B - AD - C后，BC= a,這時(shí)二面角 B2-AD - C的大小為（）2. （ 3分）（2008?四川）設(shè)直線I?平面a,過平面a外一點(diǎn)A與I, a都成30角的直線有且只有（）3. （3分）（2009?浙江）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BBiClC所成角的大小是（）4. （ 3分）如圖，正三棱錐 A - BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上.并且翌疋二1 （ 0 X + ,設(shè)a為EB_FD異面直線EF與A

2、C所成的角，B為異面直線EF與BD所成的角，貝U a+B的值是（）a丄平面 3, A a, B AB與兩平面(X、3所成的角分別為:和二過A、B分別作兩平5. （ 3分）如圖，平面A 、 B ，貝U AB : A B =(6. （3分）（2009?四川）如圖所示，已知正三棱柱ABC - AiBiCi的各條棱長都相等， M是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，則異面直線ABi和BM所成的角的大小是 .7. （3分）有一個(gè)角為30的三角板，斜邊放在桌面內(nèi)，三角板與桌面成30的二面角，則三角板最短邊所在的直線與桌面所成的角的正弦值為 .&（ 3分）二面角a-I - 3的平面角為i20。，在面a內(nèi)，AB丄I于B, AB

3、=2在平面3內(nèi)，CD丄I于D, CD=3 , BD=i , M是棱I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 AM+CM的最小值為 _一 .二、解答題9.如圖，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，二 看廠AF=1 , M是線段EF的中點(diǎn).(1) 求證AM /平面BDE ;(2) 試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CD所成的角是6010. (2009?西城區(qū)一模)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BCD=90。又AB=BC=PC=1 , PB= 爲(wèi) CD=2 , AB 丄 PC.(I)求證：PC丄平面ABCD ;(H)求PA與平面ABCD所成角的大小;(川)求二面角 B-

4、PD- C的大小.11.如圖，直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB丄AC , D、E分別為AA 1、BiC的中點(diǎn)，DE丄平面BCC1.(I) 證明：AB=AC ;(II) 設(shè)二面角A - BD - C為60求B1C與平面BCD所成的角的大小.AtG2013年同步練習(xí)參考答案與試題解析一、填空題1. （3分）在邊長為 a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角 B - AD - C后，BC= a,這時(shí)二面角 B2-AD - C的大小為（）A . 30B. 45C. 60D. 90考點(diǎn)：二面角的平面角及求法.專題：空間角.分析： 在邊長為a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二

5、面角B - AD - C,由定義知，/ BDC為所求二面 角的平面角，由此可求二面角B - AD - C的大小.解答： 解：在邊長為a的正 ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角B - AD - C,由定義知，/ BDC為所求 二面角的平面角，又BC=BD=DC=BDC為等邊三角形，2/ BDC=60 ,故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角大小的計(jì)算，考查圖形的翻折，正確找出二面角的平面角是關(guān)鍵.2. （ 3分）（2008?四川）設(shè)直線I?平面a,過平面a外一點(diǎn)A與I, a都成30角的直線有且只有（）A . 1條B . 2條C . 3條D . 4條考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.分析：利用圓

6、錐的母線與底面所成的交角不變畫圖，即可得到結(jié)果.解答： 解：如圖，和 a成30角的直線一定是以 A為頂點(diǎn)的圓錐的母線所在直線，當(dāng)/ABC= / ACB=30 直線AC , AB都滿足條件故選B .點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查線線角，線面角的關(guān)系，以及空間想象能力，圖形的對(duì)稱性; 數(shù)形結(jié)合，重視空間想象能力和圖形的對(duì)稱性；3. （3分）（2009?浙江）在三棱柱 ABC - AlBlCl中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BBiClC的中心，則AD與平面BBiClC所成角的大小是（）A . 30B. 45C. 60D. 90考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.專題：計(jì)算題.分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是

7、線面夾角，由已知中側(cè)棱垂直于底面，我們過D點(diǎn)做BC的垂線，垂足為 E,貝U DE丄底面ABC，且E為BC中點(diǎn)，則E為A點(diǎn)在平面BBiClC上投影，則/ ADE即為所求線面夾角，解三角形 即可求解.解答：解：如圖，取 BC中點(diǎn)E，連接DE、AE、AD ,依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AE丄平面BB1C1C，故/ ADE為AD與平面BB1C1C所成的角.設(shè)各棱長為1，則AE二亠-；,21AE 2 _ rDE= , tan/ ADE= - “ 二 二:2/ ADE=60故選Cfi點(diǎn)評(píng)：求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系.（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)

8、造-作出或找到斜線與射影所成的角；設(shè)定-論證所作或找到的角為所求的角；計(jì)算-常用解三角形的方法求角；結(jié)論-點(diǎn)明斜線和平面所成的角的值.AF CF4. （ 3分）如圖，正三棱錐 A - BCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上.并且 詈晉二X （ 0V入V + ）,設(shè)a為異EB FD面直線EF與AC所成的角，B為異面直線EF與BD所成的角，則 a+B的值是（）A .兀B. _3C. _2D .與入的值有關(guān)考點(diǎn)：丿異面直線及其所成的角.專題：1計(jì)算題.分析：:先證明正三棱錐的對(duì)棱 AC 與 BD垂直，此結(jié)論由線面垂直得來， 再由異面直線所成的角的定義，在冋一平面內(nèi)找到a與3,最后在三角形中發(fā)現(xiàn) a+=

9、，從而做出正確選擇.2解答：彳解：如圖，取線段 BC上一點(diǎn)H，使二-，取BD中點(diǎn)0,連接AO , COHB正三棱錐 A - BCD中每個(gè)側(cè)面均為等腰三角形，底面 BCD為正三角形， BD丄AO , BD丄CO ,/ AO nCO=O , BD 丄平面 AOC , AC ?平面 AOC BD 丄 AC ： .-丨丨，., EH / AC,：,1. , HF / BDEBHBFDHB/ HEF就是異面直線EF與AC所成的角，/ HFE就是異面直線 EF與BD所成的角，/ EHF就是異面 直線BD與AC所成的角， a= / HEF, 3= / HFE , / EHF=90 a+ 3,2故選C點(diǎn)評(píng)：本

10、題考察了異面直線所成的角的作法和算法，正三棱錐的性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的過程5-（3分）如圖，平面a丄平面A “ B邙AB與兩平面所成的角分別為號(hào)和牛過A、B分別作兩平 面交線的垂線，垂足為 A、B,貝U AB : AB=（）A . 2: 1B. 3: 1C. 3: 2D . 4: 3考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：設(shè)AB的長度為a用a表示出AB的長度，即可得到兩線段的比值.解答:TT解答 解：連接AB和AB，設(shè)AB=a，可得AB與平面a所成的角為；,在Rt BAB中有AB=a，同理可得AB與平面B所成的角為 ZABA7 =, 2 6所以，丄因此在 Rt

11、 AAB中 AB=2所以 AB : AB=門；_ ；_ ,2故選A.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系，要用到勾股定理及直角三角形中的邊角關(guān)系有 一定的難度二、填空題6. （3分）（2009?四川）如圖所示，已知正三棱柱 ABC - AiBiCi的各條棱長都相等， M是側(cè)棱CCi的中點(diǎn)，則異 面直線AB i和BM所成的角的大小是90 .考點(diǎn)：異面直線及其所成的角.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析： 由題意設(shè)棱長為 a,補(bǔ)正三棱柱 ABC - A2B2C2,構(gòu)造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出 BM，利用勾 股定理求出A2M，從而求解.解答： 解：設(shè)棱長為a,補(bǔ)正三棱柱 AB

12、C - A2B2C2 （如圖）.MBA 2即為ABi與BM所成的角,平移AB i至A2B，連接A2M，/在厶A2BM 中，A2B=Qa, BM=八，Bl點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了異面直線及其所成的角和勾股定理的應(yīng)用，計(jì)算比較復(fù)雜，要仔細(xì)的做.7. （3分）有一個(gè)角為30的三角板，斜邊放在桌面內(nèi)，三角板與桌面成30 勺二面角，則三角板最短邊所在的直線與桌面所成的角的正弦值為考點(diǎn)：二面角的平面角及求法.專題：空間角.分析： 過C作CD丄平面 a過D作DE丄AB于E，連接CE，則/CED為二面角的平面角， / CBD為CB與平面a所成的角，利用三角函數(shù)，可求其正弦值.解答： 解：如圖，過 C作CD丄平面a

13、,過D作DE丄AB于E,連接CE,則/ CED為二面角的平面角，/ CBD 為CB與平面a所成的角.設(shè) BC=a，則 AB=2a , AC=二a,所以 CE=a,2在 Rt CDE 中,在 Rt CDB 中,CD=a,4sin/ CBD=-：CB 4故答案為：A2M=3 L晅 廠 V = a，.A222A2B +BM =A2M ,/ MBA 2=90 故答案為90At點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出空間角是關(guān)鍵.&（ 3分）二面角a-l 的平面角為120 在面a內(nèi)，AB丄I于B, AB=2在平面B內(nèi)，CD丄I于D, CD=3 , BD=1 , M是棱I上的

14、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 AM+CM的最小值為考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.專題：計(jì)算題.分析：要求出AM+CM的最小值，可將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，將二面角展開成平面中在BD上找一點(diǎn)使AM+CM 即可，而當(dāng) A、M、C在一條直線時(shí) AM+CM 的最小值，從而求出對(duì)角線的長即可.解答：解：將二面角 a- I - B平攤開來，即為圖形當(dāng)A、M、C在一條直線時(shí) AM+CM的最小值，最小值即為對(duì)角線 AC而 AE=5 , EC=1 故 AC= T 故答案為：亍點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面的翻折問題，同時(shí)考查了將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題的能力，屬于中檔題.三、解答題9. （2010?煙臺(tái)一模）如圖，已知正方形ABCD和

15、矩形ACEF所在的平面互相垂直，匚 .：,AF=1 , M是線段EF的中點(diǎn).（1）求證AM /平面BDE ;（2）試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CD所成的角是60考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面平行的判定.專題：空間角；空間向量及應(yīng)用.分析：（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量平行得到線線平行，從而說明線面平行；（2）設(shè)出線段AC上P點(diǎn)的坐標(biāo)，由PF與CD所成的角是60 得到向量麗與所成的角的余弦值的絕對(duì)值等于 ，由此可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).2解答：（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AC ABD=N ,連結(jié)NE，則ilE (0, 0, 1).門-一 二又f G丄山，”3

16、 ，17. I.- ,且NE與AM不共線, NE / AM，又 NE?平面 BDE , AM ?平面 BDE , AM /平面 BDE .(2)設(shè) P (t, t, 0)i 二.1 ,則亠二.一 ”. . ,|=冷：V又 I與|所成的角為60 _1(V2t)2+2+l*V2 豆解之得一.二或二（舍去），故點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí)滿足題意.本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與直線所成角的求法，解答的關(guān)鍵是建立正確的右手系, 利用向量證明線面平行時(shí)，最后要回歸到直線與平面平行，是中檔題.10. （2009?西城區(qū)一模）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BCD=90。又A

17、B=BC=PC=1 , PB= :, CD=2 , AB 丄 PC.（I）求證：PC丄平面 ABCD ;（n）求PA與平面ABCD所成角的大??；（川）求二面角 B- PD- C的大小.考點(diǎn)：直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.專題：1計(jì)算題；證明題；綜合題.分析：2 2 2（I）由 BC2+PC2=PB2,得 PC 丄 BC,再由 AB 丄 PC,得 PC 丄平面 ABCD .（n）先找或作出角，再求解，由（I）知PC丄平面ABCD，則/ PAC為PA與平面ABCD所成的角.（川）在圖中不存在，同作出角來，/CMB為二面角B - PD - C的平面角，求解時(shí)

18、放在 CMB中.解答： 解：(I)證明：在 PBC 中，BC=PC=1 , PB= :,2 2 2- BC +PC =PB ,/ PCB=90 即 PC丄 BC ,/ AB 丄 PC, AB ABC=B , PC丄平面ABCD .（n）如圖，連接 AC,由（I）知 PC丄平面ABCD AC為PA在平面 ABCD內(nèi)的射影，/ PAC為PA與平面ABCD所成的角.在厶ABC 中，/ ABC=90 AB=BC=1 ,在 PAC 中，_ 二“【：:?- 黔, PA與平面ABCD所成角的大小為 二.十十2(川)由(I)知 PC丄BC ,又 BC 丄 CD, PCnCD=C , BC丄平面PCD .如圖，過 C作CM丄D于M，連接BM , CM是BM在平面PCD內(nèi)的射影， BM 丄PD,/ CMB為二面角 B - PD - C的平面角.在厶 PCD 中，/ PCD=90 PC=1 , CD=2 ,又 CM 丄 PD, PD?CM=PC?CD , 6舉畧 在厶CMB 中，/ BCM=90 BC=1 , CH=，5二面角B - PD - C的大小為 二.十二211. 如圖，直三棱柱 ABC - A1B1